河南省豫北2025-2026学年高二年级上册阶段性测试（二）数学试题

河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试(二)

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.双曲线。:2/-3)*=6的离心率为()

A.巫B.-C.巫D.-

2332

2.在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为()

A.2B.242C.4D.8

3.已知NAOB的三个顶点分别为0(0,0),4(6,0).8(0,8),则V4O8的外接圆的方程为()

A.(x+3『+(y+4)2=25B.(x+6)2+(y+8)2=100

C.(x-6)2+(y-8)2=100D.(x-3)2+(y-4)2=25

4.记S.为等差数列｛4｝的前〃项和，若％=16,S7=70.则。3=()

A.7B.9C.11D.13

5.已知圆M的方程为1+)，2=9,圆N的方程为(4-3)2+)，2=16,则这两个圆的位置关系

为()

A.外切B.相交C.内切D.内含

6.如图，在四棱锥P-ABC。中，平面平面48CD,

PA=PB=3,AHUDC,DC=2AH=24。=4,AB_L3C,E为夕。的中点，则点。到平面ABE

的距离为()

A•半B-fC.GD.4

7.已知抛物线C：V=2PMP>0）的焦点为尸，点A/e在C上且均位于第一象限，若

2

|刊=4,|冏=10,且直线的斜率为则|阴=（）

A.6B.2MC.2713D.8

8.已知数列｛q｝中，^=2,^=1--,设％=2"q,则数列｛包｝的前30项和为（）

二、多选题

9.已知直线/：依一y+2八1二0和圆。：（工一1『+（），+1『=4,则下列说法正确的是（）

12

A.若直线/过圆。的圆心，则A=0B.^--<k<0,则直线/与圆C相交

19

C.若直线/与圆C相切，则&=-?D.圆心C到直线，的最大距离为加

10.记s”为数列上｝的前〃项和，已知叫+（〃_1）%+…+a“=2S”-l,则（）

A.｛〃”｝为等比数列B.⑸｝为等比数列

7194-1

C.45+/52+―+。（5。=—^—D.4+2%+…+204"）=19x219+1

II.如图，在正方体A8CD-A8cA中，P为棱CG的中点，DQ=^QB（A>0）,则下列结

论正确的是（）

A.麻是平面AGR的一个法向量

B.当4=1时，Q户=g33；+；3C；+De

C.若;;是平面P/3Q的一个法向量，则=0恒成立

D.直线。。与AC所成角的余弦值的最大值为亚

3

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.记S“为等比数列｛q｝的前〃项和，若S“=3”+〃？(m为常数)，则％=.

13.已知点A8分别在直线，：x—2)，+3=0和—2y-7=0上，若A8的中点户恰好在直

线x+)，-l=0上，则点尸的坐标为.

22

14.已知双曲线二-二=1的左、右焦点分别为吊尸2,点。在双曲线的右支上且位于第一

169

象限，若直线尸得的斜率为白，则△尸的鸟的内切圆面积为.

四、解答题

15.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(2,)b)到其焦点的距离为3.

(I)求C的方程；

(2)若直线/与C交于A8两点(与坐标原点。不重合)，且满足OA_LO8,求/与工轴的交点

坐标.

16.记正项等比数列｛4｝的前〃项和为5.，已知2%+%=18必=%+2%.

(1)求凡;

⑵证明：对任意正整数〃?，总存在正整数攵，使得-1.，鼠+1,5m+2成等差数列.

2a

17.已知数列｛《,｝满足4=2.

n

(I)证明数列是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

⑵若数列佃｝满足;=…求｛4｝的前〃项和。；

Dna\a24an

(3)设c”=2%\求数列匕｝中的最小项.

18.如图，正方形A3砂与梯形ABCO所在平面垂直，AD//BC,AB1BC,48=8C=2,A。=1.

E

(1)证明：AE±FC；

(2)证明：AE〃平面R2O；

⑶若点P满足户=且平面24。与平面"C。的夹角的余弦值为直，求力

6

的值.

22

19.已知椭圆。:£+方=1(〃>/>>0)的右焦点为尸(1,0),离心率为g.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为AB,点。在第一象限且O3_LA8,直线D4与C的另一

个交点为E,以5。为直径作圆，判断直线?尸与该圆的位置关系；

|PM|+|PN|

(3)设尸是y轴正半轴上的一点，直线P/与。交于M，N两点，求的取值范围.

阳

试卷第4页，共4页

《河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试（二）数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CBDABACBBDBCD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】确定双曲线的标淮方程.求的值,即可求得答案.

【详解】由双曲线。：2/-3_/=6可得其标准方程为《=1,

32

故a=6,b=无、:.c=<a，+/??=,3+2=石,

故双曲线的离心率为e=£=W=巫，

V33

故选：C

2.B

【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解.

【详解】设4=1,则％=64,

所以4'=9=64,

q

因为42M3，/w（°，y），所以4>0

所以q=2夜.

故选：B.

3.D

【分析】设所求圆的方程是=产.首先判断出VAOB是直角三角形，再分析

出斜边44的中点即为外接圆的圆心，斜边"的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，

代入方程即可得解.

【详解】设所求圆的方程是（x—a）2+（y—〃>=/.

已知VAO8的三个顶点分别为0（0,0）,A（6,0）,8（0,8）,

因为OA=6,O8=8,A8=J（0-6y+（8-0『=10,

且所以VA08是直角三角形，

答案第1页，共16页

‘6+00+8

所以NAOB的斜边AB的中点=(3,4),即为外接圆的圆心,

AD

斜边AB的一半即为外接圆的半径，即「二3=5,

所以VAOB的外接圆的方程为"-3)2+()，-4『=25.

故选：D

4.A

【分析】利用等差数列的通项公式和前〃项和公式，结合一知条件求出首项和公差，进而求

【详解】•.•{%}是等差数列，设首项是4,公差是d，

•y+(〃T",，夕4+凡)，

7

a6=a{+5d,S7=—(«1+-a7)=70,

(4+54=16fa,+5d=16=1

a.4-^^20^[«,4-36/=10^^=3*

.,.43=4+24=1+2x3=7,故A正确.

故选：A.

5.B

【分析】利用两圆的圆心地和两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系.

【详解】圆M的圆心为“(0,0),半径为4=3：

圆N的圆心为N(3,0),半径为4=4.

因为|MZV|=3,卜一q=1,4+4=7,,一目＜|加凶＜彳+与,

所以圆M与圆N相交.

故选：B

6.A

【分析】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可

用空间向量法求出点到平面的距离.

【详解】由以=。民取A8的中点为O,连接P。，则PO_LA8,

因为平面PABJ_平面ABCD，POu平面平面PABc平面ABCD=AB,

答案第2页，共16页

所以PO_L平面/WC。，

又因为ABJ.AC,所以可如图建立空间直角坐标系:

由PA=PB=3,A8〃OC.DC=2A3=28C=4,则P0=V^3[=2拉，

可得：A(0.2,0),D(2,4,0j,P(0J,2^),

乂因为E为叨的中点，所以小|,友),

即BA=(0,2,0),4g=(BD=(2,4,0),

设平面ABE的一个法向量为亓=(x,Fz),

BAw=(0,2,0)(x,y,z)=2y=0

"8启-(x,y,z)=x+-|y+\flz=0

令z=l,则y=0,x=-&,所以万=(一夜,0,1),

|万・丽|(-72,0,1)(2,4,0)

则点。到平面ABE的距离为d=

Im卜"。」)|

故选：A.

7.C

【分析】作出图象，由抛物线的定义结合勾股定理计算可得.

【详解】

如图，作八A.夕用垂直于准线上A，M两点，作人刍_L"用于/,

答案第3页，共16页

由抛物线的定义可知|"|二|四|=4,忸同=忸4|=10,

所以忸闻=6,

2lABd2..

又直线A8的斜率为:，所以tan/A84=4^=5,即n员|=4,

所以在RtZ\ABB?中，|4«=V42+62=2^13.

故选：C.

8.B

【分析】由递推公式求出数列也｝是周期数列，再结合等比数列求和公式求出数列｛仇｝的前

30项和G.

【详解】因为％=2,%+]=1-丁，则生-1,4=2,

nJ

4+2=1——L=1-----~T==7an+3=1------=1-----=\+an-\=an

且’%i-±〃“T/-1，所以，“+2—

为4-1

所以｛勺｝是周期为3的周期数歹I],

因为々=2"・丹,

设数列出｝的前30项和为七,

则数列｛2｝的前30项和为

lx22-Ix23+2x24+ix25-lx26+...+2x228+-x229-lx230

&=2x2i+

222

=2x(2'+24+...+228)+^X(22+25+...+229)-1X(23+26+...+23(>)

23-233

1-2321-23I-23

13,3233

=­2X(2-2)+1X(2-4)-1X(2-8),

7

所以&=g(232+2*_233_4_2+8),

23I-2

所以40=-

7

故选：B.

9.BD

答案第4页，共16页

【分析】确定圆心C的坐标，根据直线经过C点求k的值，判断A的真假；根据点到直线

的距离小于圆C的半径求A的取值范围，判断B的真假；根据点到直线的距离等于圆C的半

径求〃的值，判断C的真假；问题转化为直线过定点，圆心C到直线/的最大距离为圆心与

定点的距离，判断D的真假.

【详解】对A：圆C的圆心为C(l,-1),半径为2.

若直线/过圆C的圆心，则4+1+2k+l=0=A=-|.故A错误；

对B：由"广22+"v2nM5A+12)＜0n上＜k＜O所以若-乜＜左＜0,则直线/与圆C

收+i55

相交.故B正确；

对C：由"：2八1|=2=&=―或一),所以若直线/与圆C相切，则左=一9或*=().

JF+155

故C错误;

对D：因为直线/：k(x+2)—()，—l)=0,所以直线/过定点M(—2,1),所以圆心。到直线」的

22

最大距离|CM|=^(1+2)+(-1-1)=布.故D正确.

故选：BD

10.BCD

【分析】利用两式作差可得4+。2+・-+。.+%=2%,再转化为S»1=2S“，从而可判断B,

.I,w=1

通过求出S“=2"」和q=可判断A,再利用等比数列求和可判断C,利

2,n>2jiGN

用错位相减法求和可判断D.

【详解】由四+(〃—1)%+…+q=2S„—1,可得：

(〃+l)q+华+…+q+|=2S”+「1,

两式相减得：4+6f2+---4-^+^+1=2an+l,即Sn+I=2a/l+l=2(Sn+l-Sn)=>Sn+l=2Stl,

所以｛S.｝为等比数列，故B正确；

再由〃4+(〃-1)%+…+4=2S”-1,可得4=2SI-1=2q-1=4=S,=1,

即S.=2"，

答案第5页，共16页

当〃22时，有=S“f=2"T-2”"=2鹏,

,1,/:=1

由于q=1不满足上式，所以凤二《皿〃之2〃WN*'故A错误;

由〃5+%52+…+4050=1+20'21+2、22+-+2隈29

2s…2-十■二号,故C正确,

由5=勾+2。2+…+20/o=l+2x2"+3x2i+4x22+...+20x2iR,

则2s=2+2x21+3x2:+4x23+..,+20x2i9,

2（1-218）

两式相减得:25-5=-l-（2'+22+23+...+2I8）+20X2I9=-I-+20x219

1-2

S=H2（1-218）t20x2l9=l219I20x2,9=lI19x219,故D正确;

故选：BCD

11.ACD

【分析】以。为原点建系，利用坐标计算9•麻=(),鸵•竭=0,再结合线面垂直的判

定定理证明"CJ•平面4。6即可判断A；利用向量的加减运算化简即可判断B；求出i的坐

标，利用坐标计算小码即可判断C；求出卜3态,明，结合一元一次函数求最值判断D.

【详解】以。为原点，分别以。AQC,。。所在直线为X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

设正方体的棱长为2,

则勺(222)1(0,2,0),A(2,0,0),〃(0,0,2),G(0,2,2),

则科=(-2,0,2),国'=(0,2,0),麻^(W),

故碣麻=4-4=0,配.峪=0,即碣_L屈屏1函

又AD\CDG=D「AD..u平面AD,C,,故与。_L平面AD.C,,

故麻是平面4G。的一个法向量，故A正确;

当a=1时，DQ=QB,

答案第6页，共16页

则QP=QB+BC+CP=LDB+BC；+-CC；=-(DA+QC)+B~C\+-CC；

2222

《(-+8C+1BB；=1BB；+；DC,

故B错误；

因为尸(021),所以而=Q0,T),丽=(2,2Q),

PB-n=2x—z=0、.，.、

设万=(x,y,z),则，—,不妨令x=l,则万=1,一1,2),

DBn=2x+2y=0

又属*=(—222),则"；；=一2—2+4=0,故C正确;

因为力0=4@(2>0),所以。

222222-2

则迎二-2,-11,

I1+义1+2)I1+冗1+2

4/14

+

又而=(-2,2,0),则gsPQ国=同•眼i+IiTI

22Y二2

+1

i+I

(1+/

=&•

5储+2，+5

令，=1+2>1,所以

令吁*(。/)，则2小狗=扇三］

当"Z=g时8"『-8〃?+5有最小值3,

故直线尸。与八C所成角的余弦值的最大值为如，故D正确.

3

故选：ACD

答案第7页，共16页

12.2

【分析】根据条件，求出的，阳的值，根据等比中项的性质，即可得答案.

【详解】因为S“=3”+m,所以〃2=52-S1=32+〃L(3+"，)=6,

2

a3=S3—S2=33+m—(3+m)=18,

因为｛〃“｝为等比数列，

所以生2=4%,即6?=4K18,解得％=2.

故答案为：2

【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点户在两条平行直线等距的直线上，求出那条

直线，然后与工+丫-1=0我立即可求出答案.

【详解】直线6与直线乙是平行关系，所以的中点P在两直线等距且平行的直线上：设

/3:A-2J+C=0,因为直线。与直线乙和直线〃等距，所以。=?二-2,

x-2y-2=041

又因为P在直线(又在直线x+y-1=()上，所以।八，解得％=:，)，=一：，即

x+y-1=033

故答案为:明(4，-§1.

14.37r

【分析】由双曲线的性质和定义求出0鸟坐标，进而求出比用，结合已知条件求出点P坐

标，进而求出归用,归周，再根据三角形内切圆的性质列方程求出内切圆半径，最后根据面

积公式求解.

【详解】

答案第8页，共16页

.•.£(-5,0),玛(5,0),故源段=勿=10,

•.•点尸在双曲线的右支上且位于第一象限，则%>0,»>0,

.•.归周一归段=2々=8,

・•・宜线P6的斜率为

・・・直线PF?的方程为y=6(X—5),

联立直线与双曲线方程得V[6(x-5)]_L化简整理得13/—160X+448=0,

169

解得x=8或x寸(X专时，不合题意舍去)，

xp=8,yp=3G,

周=，(8-5『+(36-。Y=6,

|叫=|峭+勿=6+8=14,

设△?「人的内切圆半径为，，圆心为E,则S&EPF、+SAEPF、+S3再~S『g，

即;(麻㈤叫+忻曰)"=；忻研力,

.•.(14+10+6).r=10x36,解得/•=△

△夕匕鸟的内切圆面积为5=兀/=兀(\/5)=3冗.

故答案为：37r.

15.(1)/=4x

(2)(4,0).

答案第9页，共16页

【分析】（1）由题意结合他物线的焦半径公式求出P,即可得答案;

（2）设AG，%）,*%,%），/的方程为x=〃D'+/，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，

结合QAJ_OB,可得。l0方=Mw+y%=O,即可求得，的值，继而求出答案.

【详解】（1）因为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点P（2,y0）到其焦点的距离为3,

根据抛物战的定义，可知点P到。的准线的距离也为3,即得2+g=3,即〃=2,

故C的方程为V=4x.

（2）设孙力），，的方程为工二殁+，，由题意知f=0,

y2=4x

由〈，得9一4〃少-4/=0,需满足△=16〃『+16/>0,

x=my+t

I,

则Ji.y2=一4"/=n（）'1乃）-=产

因为O4_LO3,所以03•。月二百赴十^^二/一中二。，

解得f=4或，=0（舍去），

所以/的方程为x=〃h+4,/与x轴的交点坐标为（4,0）.

16.⑴%=2”T

（2）证明见解析

【分析】（1）根据条件求出公比和首项，再根据等比数列的通项公式求出：

（2）利用等比数列的求和公式求出工=2"-1,再利用等差中项求出攵=〃?+1即可.

【详解】（1）设正项等比数列｛凡｝的公比为g（q>0）,

因为%=生+2%,所以，一g-2=。，解得4=2或“=-1（舍去）.

ill2«1+4?5-18,代入夕=2得2%+6/==18,所以外一1,

答案第10页，共16页

故/=〃"1=2小.

(2)由(1)得邑=三=2"-1,

1—2

所以—S&+Sg_2(S“+1)=1-2人+2'"+2-l-2-2m=2,n+,-2。

当A=〃z+1时,-Sk+Sm+2-2Sm-2=(),

即-S-0+1),

所以对任意正整数〃?，只需令k=m+l,

即使得-SQSW+LS”.成等差数列.

2

17.(1)证明见解析,%=一

【分析】（1）将《用=急取倒数后，根据等差数列定义求解即可;

*

（2）整理通项后，运用裂项相消求解；

（3）运用作商求出数列单调性，即可求出数列最小项.

167+211111

【详解】（1）由题可知可工。，贝J一；一+「即=0.

2%an2为“an2

所以，，是公差为g的等差数列

111,n2

所以/=1+5（〃一1）=5,故可

U«“144二/

11111

（z2）—=1-----FF•••H-----=一$(1+2+3+・••+〃)=———,

勿4坦%（ln

,4（\11

则2=/□.八=4.

故（=4+a+4+…+a=4[11一1W1\}(\1\\.(.14〃

—I+------+・・・+-------------=41------------1=-------

2)123J\n〃+n+\J〃+1

（3）由题意知c"=2"a：=二丁>

n~

答案第11页，共16页

2"

则/匚=2x

c.空〃+1

〃2

易知34缶关于〃单调递增,当12时，当心时,2x（3人,

所以G>c?>。3V/vc$V…，

故数列｛%｝中的最小项为。3=三.

18.（1）证明见解析

⑵证明见解析

⑶石；

【分析】（1）方法一：利用空间向量证明线线垂直即可；

方法二：连接用，由面面垂直的性质定理和判定定理可得；

（2）方法一：利用空间向量方法证明线面垂直即可；

方法二：设所与AE交于点。，爪的中点为M,连接MO,MQ,由中位线的性质结合线面

平行的判定定理可得；

（3）分别求出平面尸8。和平面A3。的法向最，代入空间二面角公式计算可得.

【详解】（1）方法一：因为平面平面A4c。，平面ABEEc平面

ABCD=AB,8Cu平面ABC。，

所以AC_L平面ABM,又BE上AB,所以84,8C,BE两两互相垂直，

故以8为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得8(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),0(2,1,0),E(0,(),2)](2,0,2).

(1)屏=(-2,0,2),定=(-2,2,-2),

答案第12页，共16页

所以荏•定=—2x(—2)+0x2+2x(—2)=0,所以AE_LFC.

方法二：如图，连接用.

因为人A_LAC,平面ABEF±平面ABCD，平面ABEFc平面ABCD=人8,8Cu面ABCD,

所以BC_L平面ABEP,4Eu平面A4EF,

所以8CJ.AE.

囚为四边形八8£尸是正方形，所以AE_L6尸，

又BFcBC=B,BFcBC=B,

所以AE_L平面3CF,"u平面8C/,

因此AEA.FC.

(2)设平面厂CO的法向量为"二(x,y,z),因为丽=(0,-1,2),反=(-2/,0),

«•DF=-y+2z=0.、

所以—；取丹=(1,2,1).

n-DC=-2x+y=0

则通不=-2x1+0x2+2x1=0，

又AE<z平面R7O,所以AE〃平面R7Z).

方法二：设所与AE交于点。，AC的中点为M,连接历O,M。.

因为O是m的中点，M是尸。的中点，所以OM//BC,且OM=[BC.

2

因为八。二，8。，所以AQ//CM,AD=OM,

2

所以四边形4DWO是平行四边形，所以AE//DW.

又平面R?O,OMu平面R7O,所以AE〃平面

(3)丽=(2,1,0),而=(-22-2),则丽=心定二(一21,2九―24),

从而*2-2424,2-2孙所以丽=(2-24242-2孙

设平面的法向量为枳=(G,C),

答案第13页，共16页

m•BD=2a+b=0,

则・_取比=（1一4”一2,34-1）.

［沆・丽=（2—2兄）4+2劝+（2—22）c=0,

易知平面ABCD的一个法向量为六（0,0,1）.

由题意知18sM=辐=-T=------=骼,

lwllvl^（1-2）f+（J22"-]2,）'+（3A-1）6

化简整理得2储=2,解得a或％=（）（舍去）.

19.（1）—+^=1

43

（2）直线E/与该圆相切

⑶[*）

【分析】（1）由撅意可知椭圆。的半焦距C=],再根据条件求出〃和〃的伯，即可得楙圆C

的标准方程；

（2）设。（2,。。＞0）,可得直线D4的方程为y=；（x+2）.联立直线D4与椭圆C组成的方

程组，利用韦达定理求出E点的横坐标及纵坐标，进而得到直线E户的方程，求出8。的中

点G到直线EF的距离d=幽，即可判断直线所与该圆的位置关系；

2

（3）设出直线尸尸的方程尸左（1-1），£＜°及％N两点的坐标时（与，凹），必^,必）小＞必，

联立直线p尸与椭圆c组成的方程组，利用三角形相似将叫产变形为IN+民|,分两

种情况，点尸在椭圆