2026年高考数学复习高效演练：第1课时 椭圆及其性质

第5讲椭圆

一、知识梳理

1.椭圆的定义

条件结论1结论2

平面内的动点例与平面内的两个定点人，

F1Fi、匕为椭圆的焦点

M点的轨迹为椭圆

附/i|+|M尸21=2。IQB1为椭圆的焦距

2。〉历项

［注意］若2a=\F}F^则动点的轨迹是线段FR;若2«＜|FIF2|,则动点的轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程和几何性质

、2

标准方程/+方=13>。>0)5+方=13>A>0)

图形x|r

c

Ai\FiO\h)A2«

一-bWxWb

范围

一bWyWb一

对称轴：X轴、V轴

对称性

对称中心：（0,0）

Ai(~a,0),42(小0)4(0,—a),A2(0,a)

顶点

5(0,-/?),&(0,b)S(i,0),Bi(b,0)

性质

长轴A1A2的长为2a

轴

短轴8任的长为四

焦距厂内|=区

离心率e=%e£(0,1)

4,b,c的关系2

3.点与椭圆的位置关系

已知点P（M）,和），椭圆，+方=13＞心0）,则

72

⑴点P（w泗）在椭圆内今当+多＜1;

(2)点P(xo，泗)在椭圆上0需+£=I；

⑶点尸(刖，党)在椭圆外今我+£>1.

常用结论

椭圆的常用性质

(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为〃+c,最小值为a-c.

2

(2)过椭圆的焦点且垂宜于长轴的弦长为2詈h.

(3)已知过焦点F｝的弦AB,则△A8B的周长为4a

(4)设巴4,3是椭圆上不同的三点，其中A,8关于原点对称，直线以，P4斜率存在

h2

且不为0,则直线以与尸B的斜率之积为定值一

(5)焦点三角形：椭圆二的点P(xo，yo)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.厂i=|PQ|,

72

n=m，NFiPF?=e,"F匹的面积为S，则在椭圆£+与=13>心0)中：

①当八=打时，即点P的位置为短轴端点时，。最大；

②S=ZAan§=°|泗|,当做)|=力时，即点P的位置为泡轴端点时，S取最大值，最大值为

be.

二、教材衍化

1.椭圆16f+25产=400的长轴的长,离心率.

答案：10j

2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为尸(1,0),离心率等于*则C的方程是.

答案：3+弓=1

3.椭圆C：*+得=1的左、右焦点分别为人，B，过3的直线交椭圆。于A、8两

点，则△QA8的周长为,△AQB的周长为.

答案：2016

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)平面内与两个定点F,,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()

(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()

(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.()

27

⑷力+*=13-力表示焦点在)'轴上的椭圆.()

(5)「+1与［+娟=1(〃＞匕＞0)的焦距相同.()

答案：(1)X(2)X(3)7(4)X(5)V

二、易错纠偏

常见误区|(1)忽视椭圆定义中的限制条件：

⑵忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论.

1.平面内一点M到两定点FKO,-9),F2(0,9)的距离之和等于18,则点M的轨迹是

解析：由题意知|MQ|+|MB|=18,但|尸1尸21=18,即|M尸I|+|MF2|=I外尸2|，所以点析的

轨迹是一条线段.

答案：线段凡尸2

2.已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程为

答案:袅或袅B1

第1课时椭圆及其性质

明考向•直击考例考法.

考点一椭圆的定义及应用(基础型)

复习指导|了解圆锥曲线的实际背景，从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握桶

圆的定义.

核心素养：数学抽象

甑(1)(2020•黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：1的左焦点为F,直线/：y

=fcr(kW0)与椭圆C交于A,8两点，则IAQ+I8F1的值是()

A.2B.2小

C.4D.4小

(2)(2020・徐州模拟)己知凡、&是椭圆C：的两个焦点，。为椭圆C

上的一点，且尸R_LP&，若的面积为9,则力=.

【解析】(1)设椭圆的右焦点为B，连接AB，BR,

因为04=08,OF=OF\,

所以四边形AFBFi是平行四边形.

所以田叶=吊户1|,

所以HF|+|»1=|AQ+|AB|=24=4,故选C.

(2)设|PF1|=门,1PBi=9，

r\+r2=2a,

亓+“=4/,

所以2〃r2=S+功)2—(rf+”)=4。2—4/=4b2,

所以5/\叩尸2=与心=序=9,所以。=3.

【答案】（DC（2）3

【迁移探究】（变条件）本例⑵中增加条件”△「尸正2的周长为18”，其他条件不变,

求该椭圆的方程.

解：由原题得/二片一/=9,又2a+2c=18,所以a—c=l,解得〃=5,故椭圆的方

2

程为各『5v

椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆:

二是当〃在椭圆上时，与椭圆的两焦点Q,6组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用

定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PQ|・|PBI，通过整体代入可求其面积等.

考法全练;

1.已知椭圆算+『I上一点P到椭圆一个焦点F的距离为3,则P到另一个焦点Fi

4J1

的距离为（）

A.2B.3

C.5D.7

解析：选D.因为苏=25,所以2。=10,所以由定义知，|PF||+|PF2|=IO,所以|尸修|

=10—修/11=7.

》+号=1的左、右焦点，若点

2.（2020・贵州六盘水模拟）已知点B，尸2分别为椭圆C：

P在椭I员IC上，且NQP尸2=60。，则SZ\QP&=.

解析：由仍尸||+仍尸2|=4,|PFIF+|P尸#一2仍尸］|・|P尸¥・cos6（r=历尸2『,得3|PF1|・|P&|

=12,所以|PR|-|PB|=4,则尸Fi|・|PF2|$inNF|PF2=；X4sin60°=小.

答案：小

3.已知厂是椭圆5『+9产=45的左焦点，户是此椭圆上的动点，A（l,1）是一定点.则

I附+IPQ的最大值为，最小值为.

解析：如图所示，设椭圆右焦点为Fi，则|PF1+|PF||=6.

所以|南|+|PQ=|%|一|尸Fi|+6.

利用一|AQ|W|网一（当P,A,Fi共线时等号成立）.

所以MI+|PF1W6+\E,附|+|PF|26-J1

故|布I+IP/I的最大值为6+立，最小值为6—也.

答案：6+g6-也

考点二椭圆的标准方程（基础型）

复习指导|掌握椭圆的标准方程.

核心素养：数学运算

例②（1）（一题多解）过点（小，一小），且与椭圆马+5=1有相同焦点的椭圆的标准方

程为（）

fy2

'•20+T=1

B.2小丁4

cx^

+=1D

J20T41-，+索=1

⑵若直线工一2），+2=（）经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为

【解析】⑴法一（定义法）：楠圆芸+与=1的焦点为（0,-4）,（0,4）,即。=4.

由椭圆的定义知，2〃=［（小-0尸+（一小+4）2+4（小-0）2+（一小一4门,解得〃=2小.

由1=/一从，可得）2=4

所以所求椭圆的标准方程为苏+5=1.

法二（待定系数法）：

设所求椭圆方程为十户7=1（攵＜9）,

将点（小，一小）的坐标代入，可得啜坐：+£"=1，

ZDKyK

解得A=5或2=21（舍去），

2y2

所以所求椭圆的标准方程为*+，=1.

法三（待定系数法）：设所求椭圆方程为5+£=1（。>人>0）.由题意得，1,解

d—护=16

a2=20

从=4，

所以所求椭圆的标准方程为1.

（2）直线与坐标轴的交点为（0,1）,（-2,0）,由题意知当焦点在A•轴上时，c=2,h=\,

所以/=5,

所求椭圆的标准方程为多+），2=1.

当焦点在y轴上时，b=2,c=\,所以标=5,

22

所求椭圆的标准方程为方+5=1.

【答案】（l）c（2方+），2=1或j+g=l

（1）用定义法求椭圆的标准方程

先根据椭圆的定义确定炉，片的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程.其中常用的关

系有:

@b2=a2—c2；

②椭圆上任意一点到腕圆两焦点的距离之和等于2a；

③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长内

（2）用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

根据条件判断椭圆的焦点是在%轴匕还是在y轴

作判断一

上，还是在两个坐标轴上都行可能

根据上述判断设方程：4+2=1（。>6>0）或1+4=1

2

设方程「Q"a

(O>6>0)IJK(m>0,n>0,

找关系F根据已知条件，建立关于4”或m,n的方程组

得方程g解方程组，将解代人所设方程，即得所求

［提醒］当椭圆焦点位置不明确时，可设为5+?=1（m>0,〃>0,/〃¥〃），也可设为

/lx24-Br=l(A>0,B>0,且A#8).

考法全练;

1.已知动点"到两个定点八（一2,0）,以2,0）的距离之和为6,则动点渺的轨迹方程

为（）

A.5+丁=1B.,=1

C.]+f=lD.5+5=1

解析：选D.由题意有6>2+2=4,故点M的枕迹为焦点在x轴上的椭圆，则2。=6,

c=2,故/=9,所以从=々2—/=5,故椭圆的方程为^■+为=].故选D.

2.设椭圆5+5=1(〃?>0,〃>0)的右焦点为(2,0),离心率为乎，则此椭圆的方程为

、巧9

解析：精圆的右焦点为(2,0),所以〃?2—〃2=%=^»所以”?=2m，代入〃z?一

?,2

〃2=4,得“2=4,所以椭圆方程为§+q=1.

o4

答案：?+4=,

3.已知椭圆C'的中心在原点，一个焦点厂(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2：5,

则椭圆C的方程是.

7)

解析：设椭圆。的方程为5+3=13>。>0),

/=及+，，

由题意知,a：8=2：小，解得/=]6,从=12.

£=2,

所以椭圆。的方程为旨十；；一1.

a案：16+12一1

考点三椭圆的几何性质(基础型)

复:习指导|掌握椭圆的简单几何性质.

核心素养：数学运算

角度一椭圆的长轴、短轴、焦距

侧⑶(2020♦泉州质检)已知椭圆二三+痣一=1的长轴在x轴上，焦距为4,则川等

//<乙1\zIII

于()

A.8B.7

C.6D.5

【解析】因为椭圆一一+；7邑=1的长轴在x加上,

in-210—〃？

w-2>0,

所以<10—〃>0,解得6V〃?V10.

,m—2>1（）一〃?,

因为焦距为4,所以日=〃?一2—10+加=4,解得〃?=8.

【答案】A

角度二求椭圆离心率的值（范围）

国⑷（1）（2018・高考全国卷II）已知尸2是椭圆C的两个焦点，P是。上的一点.若

PF^PF2,且NPB尸1=60。，则C的离心率为（）

A.1B.2-/

C.木2ID.y/3—l

（2）在平面直角坐标系xO.v中，点P为椭圆C：5+方=1（。>〃>0）的下顶点，M,N在

帏圆上，若四边形为平行四边形，。为直线ON的倾斜角，若。£倡今），则椭圆C

的离心率的取值范围为（）

A.（0,冽B.（0,坐）

C售,嗡■停嚼

【解析】（1）由题设知/尸砂尸2=90°,/。22尸1=60°,|尸产2|=2八所以|PB|=c,|PF||

。.由椭圆的定义得|PQ|+|PB|=2a,即J5c+c=2a，所以（1+l）c=2a,

故椭圆C的离心率e=.=小+]=小_1.故选D.

（2）因为。0MN是平行四边形，

所以MN//OP且MN=OP,

rz,

故）N=*代入椭圆方程可得川=竽，

所以八=由^=tana.又a£。,所以坐1，

所以aV小儿/<3（4一/）,解得ov^v坐，故选A.

【答案】（1）D（2）A

陶信明

求椭圆离心率或其取值范围的方法

⑴求出m）或〃，。的值，代入/=，=匕厂=1—0直接求.

（2）先根据条件得到关于4,4c的齐次等式（不等式），结合/=，一转化为关于a,c

的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或。2转化为关于。或/的

方程（不等式），再解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

角度三与椭圆性质有关的最值问题

屈国已知尸在椭圆］+），2=1上，A（O,4）,则|布|的最大值为（）

A.坪

C.5D.2小

【解析】设P（xo,yo）>则由题意得x2=4（1—y2）,

所以|%|2=总+（用一4产=4（1—附+而-8为+16

=-34一8%+20=—3°（>+§+竽，

又一加W1,所以当州=一1时，|以F取得最大值25,

即|以|的最大值为5.故选C.

【答案】C

陶信明

求解最值、取值范围问题的技巧

（1）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联

想到一个图形.

（2）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，一aWxWa,-bWyWb,0<e

VI,在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.

（3）最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.

考法全练

1.已知椭圆,+g=13>Q0）的一个焦点是圆炉+产一64+8=0的圆心，且短轴长为

8,则椭圆的左顶点为（）

A.（一3,0）B.（-4,0）

C.（-10,0）D.（-5,0）

解析：选D.因为圆的标准方程为（犬一3）2+产=1,

所以圆心坐标为（3,0）,所以c=3.又力=4,

所以。=也斗滔=5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为（一5,0）.

2.若点。和点尸分别为椭圆3+9=1的中心和左焦点，点尸为椭圆上的任意一点，

则5k9的最大值为（）

A.2B.3

C.6D.8

解析：选C.由椭圆，+，=l可得用一1,0）,点。（0,0）,设P（x,y）（—2WxW2）,

=；d+x+3=/x+2）2+2,-2WxW2,

当且仅当x=2时，。6而取得最大值6.

、2

3.已知椭圆也+方尸是椭圆的右焦点，人为左顶点，点P在椭圆上，PF

_Lx轴，若|PF|=%AQ，则椭圆的离心率为.

b2

解析：因为点P在椭圆上，且PEJLx轴，所以|PQ=",

又因为|4Fl=a+c,\PF］=^\AF\,所以4（片一。2）=。（。+（«）,即4（〃-c）=a,则3a=4c,

即鸿•

答案：J

>有电演练，③后突破练好题•突破高分瓶颈.

［基础题组练］

1.已知正数〃?是2和8的等比中项，则圆锥曲线/m1的焦点坐标为（）

A.（±V5,0）B.（0,土小）

C.（±V§,0）或（±75,0）D.（0,二小）或（4，0）

解析：选B.因为正数"？是2和8的等比中项，所以〃=|6,即/〃=4,所以椭圆x2

+?=1的焦点坐标为（0,土木），故选B.

2.（2019•商考北京卷）已知椭圆滔+京=13>〃>0）的离心率为贝立）

A.（r=2b-B.3/=4"

C.a=2bD.3a=4b

1Z3

fI—力2--

-所

解析：选B.由题意得，~=2»所以宗=不又/=及+/,所以-7一=2=

4T4*

以4〃=3标.故选B.

3•曲线总+缶=1与曲线就1+二£=1（女<144）的（）

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.离心率相等D.焦距相等

、2

解析：选D.曲线就耳+舟=1中/=169T-（I44—%）=25,所以c=5,所以

两曲线的焦距相等.

f2

V

7-

4.（2020•郑州模■拟）已知椭圆C：+■〃1（。>>>0）的左、右焦点分别为B，尸2,离心

率为|，过死的直线/交C于A,8两点，若△斯山的周长为12,则。的方程为（）

解析：选D.由椭圆的定义,知一「i|十|A尸2|=2小城产[|+山产¥=%，所以田的周

c2

长为|AFi|+|AF2|+|BFi|+|BF2|=4a=l2,所以〃=3.因为椭圆的离心率e=‘=1,所以c=2,

7,2

所以从=4一/=5,所以椭圆。的方程为方+g=],故选D.

5.（2020•昆明市诊断测试）已知B为椭圆C：汨方=1（4。>0）的左、右焦点，B

为C的短轴的一个端点，直线8Q与。的另一个交点为A,若为等腰三角形，见篇

=（）

A.；B.；

2

C.gD.3

解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得阳R|十田间

=2a,|AFi|+|ABI=2a,有题意知|A8|=|AF2l，所以|防|=朋1=小1m1=今依母尸票所

乙乙

.以,,|A扃Fi|=51•必故*选A人.

解析：由题意可得〃=C,则力2=q2—/=c2,a=pc,

故椭圆的离心率6=£=乎.

答案：*

7.（2020・贵阳模拟）若椭圆A+QgQO）的离心率喈，短轴长为4,则椭圆的标

准方程为________

解析：由题意可知e=§=坐，2/?=4,得b=2,

a=4,

所以，〃2，解得<

a2=〃+c2=4+/,c、=2小,

所以椭圆的标准方程喷+±L

答案:考r+v2K

8.（2020•浙江台州月考改编）已知户为椭圆5+1=1上一个动点，直线/过圆。-1）2+

尸=1的圆心与圆相交于A,8两点，则萩•丽的最大值为,最小值为

解析：由。-1）2+），2=1可得圆心0|（1,0）,V=1得椭圆右焦点的坐标为（1,（））.

0

因为荷•丽=（防|+加1）•（防|+6力）=（历|+54）•（防I一说!）=防彳一加1?=|而||2一

1.因为3-1WI防1区3+1,所以3WI防i|2-1W15,所以或成的最大值为15,最小值为3.

答案：153

9.已知椭圆的长轴长为10.两焦点R,6的坐标分别为（3,0）和（一3,0）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为短轴的一个端点，求△QPg的面积.

解：（1）设椭圆的标准方程为13>40），

2a=10,

依题意得|因此a=5,b=4,

c=3,

所以椭圆的标准方程为枭+£=I.

25lo

（2）易知|>W=4,又c=3,

所以SA「”X2C=1X4X6=12.

ZAr\rT2乙乙

10.分别求出满足卜列条件的椭圆的标准方程.

，2

⑴与椭圆，+勺=1有相同的离心率且经过点（2,一小）；

⑵已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3,过户且

与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.

222

解：⑴由题意，设所求楠圆的方程为，+，=八或亍+5=，2(小，2>0)，因为椭圆过点(2,

222

不、“…2)(―小尸-*(―A/5)(225

一43),所以fi=w+3=2,或/2=4+y=-p-

故所求椭圆的标准方程为卷+3=1或太+3=1.

oONDND

TT

902

(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为3+*=l(a>b>0)或，+$=1(〃

>Z?>0),

2a=5+3,

由已知条件得

(2C)2=52-32,

解得。=4,。=2,所以82=]2.

722J2

故椭圆的方程为为+卷=1或£+*=1.

Io12lo1Z

I综合题组练]

22

1.(综合型)设椭圆：也+g=1(〃>〃>0)的右顶点为4,右焦点为凡4为椭圆在第二

象限内的点，直线30交椭圆于点C,。为原点，若直线4〃平分线段4C,则椭圆的离心率

为()

A.；B.|

CiD1

解析：选B.如图，设点M为AC的中点，连接0M,则0M为△ABC的中位线，于是

丛OFMSRAFB,且庠+黑=:，即一J=；，解得6=5=：.故选B.

\rA\\AD\2a—c2.aJ

2.(2019•商考全国卷I)已知椭圆C的焦点为a(—I,0),B(1,0),过B的直线与C

交于A,B两点.若依尸2l=2|BB|,|AB|=|BFI|,则C的方程为()

解析：选B.由题意设横圆的方程为，+，=13>Q0）,连接“4令旧8|=〃?，则[ABI

=25，山川=3〃?.由楠圆的定义知，4〃?=2。，得加=1故|&4|=。=/圜，则点A为椭圆C

的上顶点或下顶点.令/OAB=J（O为坐标原点），则sin在等腰三角舷ABFi中，8S2。

a

=京~=4，所以4=1—2(^)2,得/=3又/=[,所以/?2=〃2—/=2,椭圆C的方程为£+5•

33aj2

T

=1.故选B.

3.（创新型）（2020•江西吉安一模）如图，用与底面成45。角的平面截圆柱得一截口曲线,

即椭圆，则该椭圆的离心率为.

解析：设圆柱的底面圆的直径为几则椭圆的短轴长为R因为截面与底面成45。角，所

以椭圆的长轴长为也凡所以椭圆的半焦距为q偿③二3

R

而_c___2___正

则°=广