2026届高考数学二轮复习：函数及其性质（培优讲义）（全国适用）解析版

专题02函数及其性质

目录

第一部分研•考情精析锁定靶心高效备考

第二部分理♦方法技巧梳理知识总结技巧与方法

第三部分攻,题型速解典例精析+变式巩固

【题型01】函数的定义域

【题型02】函数的解析式

【题型03】求已知函数的值域

【题型04］已知函数值域求参

【题型05】分段函数不等式求解

【题型06】函数的单调性

【题型07】函数的奇偶性

【题型08】函数的单调性和奇偶性综合

【题型09】函数的图像

【题型10］函数的模型及实际应用

【题型11】函数的零点

【题型12］构造函数比较大小

【题型13］函数零点的综合应用

第四部分练•决胜冲剌精选好题+通关训练

NO.l

析•考情精析

函数及其性质是高考数学的核心考点，贯穿选择、填空、解答全题型，侧重考查逻辑

推理与应用能力。核心考点包括：一是函数的三要素（定义域、值域、对应关系），定义

域求解常结合根式、对数、分式等限制条件，值域常考单调性法、换元法：二是函数的单

调性与奇偶性，单调性需掌握定义证明、导数判断及复合函数单调性规律，奇偶性侧重图

考向聚焦

像对称性应用及参数求解；三是函数图像与零点，常考图像变换（平移、对称）、零点存

在性定理及零点个数判断，多与不等式、方程综合；四是二次函数、指数函数、对数函数

的模型应用，结合实际问题考查最值求解。备考需紧扣定义，强化数形结合思想，重点突

破复合函数、分段函数的综合问题。

函数及其性质的应用解题关键能力主要包括：能准确理解函数的概念，掌握定义域、

值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能灵活运用它们分析问题。解题时要善于

关键能力将实际问题转化为函数模型，利用图像直观判断函数的变化趋势。同时要具备代数运算能

力，能通过求导、配方、换元等方法研究函数的性质。还要注意分类讨论思想、数形结合

思想和转化与化归思想的运用，从而有效解决各类函数综合题。

高考备考中，函数及其性质的应用是核心板块，需要系统规划、分层突破。首先，要

夯实基础，熟练掌握函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，

并能准确判断和证明。其次，要强化图像意识，通过绘制和分析函数图像，培养数形结合

能力，这在解决方程根的分布、不等式恒成立等问题中尤为重耍。

在题型训练方面，应重点突破四类综合问题：函数性质的综合应用、函数与方程及不

备考策略等式的交汇、函数模型的实际应用、含参函数的分类讨论。复习时要总结常见题型的解题

模板，如利用单调性比较大小、利用奇偶性简化运算、利用周期性处理三角函数问题等。

同时，要注重数学思想的渗透，特别是分类讨论、转化与化归、数形结合和函数与方

程思想。通过典型例题的训练，提升分析问题和解决问题的能力。最后，要加强限时训练

和错题整理，及时杳漏补缺，提高应试速度和准确性。通过系统训练和持续反思，可有效

提升函数板块的备考效果。

NO.2

•方法技巧

◊方法技巧01函数及其性质的应用常用方法

函数及其性质的应用常用方法和技巧包括：

i.数形结合法：通过绘制函数图像，直观分析单调性、奇偶性,最值、零点等，是解决函数问题最常用的

方法。

2、分类讨论法：对含参函数，根据参数的不同取值范围讨论函数的性质，如单调性、极值、零点个数等。

3、转化与化归法：将复杂函数转化为基本函数，或将方程、不等式问题转化为函数的单调性、最值问题。

4、换元法：通过变量代换简化函数结构，常用于处理复合函数、根式函数、指数对数函数等,

5、配方法与代数变形：用于求二次函数、可化为二次型的函数的最值和单调性。

6、导数法：研究函数的单调性、极值、最值，是解决高次函数、分式函数、指数对数函数的重要工具。

7、利用函数性质简化运算：如利用奇偶性化简表达式，利用周期性减少计算量，利用单调性比较大小。

8、构造函数法：根据问题特征构造新函数，常用于证明不等式或研究方程根的分布。

◊方法技巧02函数及其性质的常用解题技巧

函数及其性质的选填题（选择题与填空题）在高考中通常占据较大分值，且要求解题速度

快、准确率高，

核心解题策略

1.小题小做，不择手段

选填题不需要展示解题过程，因此要摒弃“大题小做”的思维。优先使用特殊化、排除法、估算法等技

巧，力求在『5分钟内得出答案。

2.数形结合，直观求解

函数问题最直观的方法就是画图。

技巧：只要题目涉及单调性、奇偶性、零点、最值或不等式，首先尝试画出函数草图。

应用；通过图像的高低、交点位置直接观察出答案，避免繁琐的代数运算。

3.特殊化思想（特值法）

这是解决选填题的“杀手铜”。

取特殊值：如令x=0』,-1或边界值代入验证。

取特殊函数：题目中说“对于任意函数...”或“某类函数…”，可选取最简单的函数（如

/（X）=xj\x）=x2J\x）=|XI）进行验证。

取特殊点/特殊数列：在抽象函数或复杂曲线问题中使用。

常见题型与技巧

1.抽象函数问题

技巧：“具体化

方法：根据抽象函数满足的性质（如/（Ay）=/（A-）+/Cv））,联想具体的基本初等函数（如对数函数），用

具体函数去检验选项，排除错误答案。

2.函数性质（奇偶、单调、周期）综合

技巧：“赋值法”与“图像变换

方法:

利用奇偶性判断图像对称性。

利用周期性将大自变量转化为小自变量(如f(2025)=f(l))o

利用单调性脱去函数符号“俨，转化为普通不等式求解(注意定义域)。

3.为数零点与方程根的问题

技巧：“分离参数”与“图像交点工

方法：

将方程f(x)=O转化为g(x)=h(x),分别画出两边函数的图像，看交点个数。

对于含参方程，常采用分离参数法(如a=(p(x)),转化为求函数(p(x)的值域或最值问题。

4.比较大小问题

技巧：“搭桥法”与“构造函数

方法：

搭桥：找中间值(如进行传递比较。

构造：若无法苴接比较，构造一个新函数F(x),利用导数研究其单调性，从而比较F(a)与F(b)的大小。

5.分段函数求值

技巧：“由内向外”与“整体代换”。

方法：

求值时遵循“由内向外'’的原则，逐步代入。

若求f(f(a)),先求f(a)=b,再求f(b)o

若已知f(a)=k求a,需对a的范围进行分类讨论。

6.不等式恒成立问题

技巧：“最值法”。

方法：

fM>a恒成立0/(x)min>ao

fM«a恒成立=/'(X)maxJ0。

选填题中可直接观察图像最高点或最低点。

避坑指南

定义域优先：在处理单调性、奇偶性、求值问题时，务必先看定义域是否关于原点对称或是否有意义。

陷阱识别：注意题目中的与“X=0”的区别；注意“单调递增”与“区间上单调递增”的

区别。

端点取舍：在求参数范围时，注意临界点是否能取到(等号的取舍)。

NO.3

攻•题型速解

◊题型01函数的定义域

典I例I精I析

典例1|.函数)，=男士»的定义域为(

x-l

A.{x|x>-l}B.{山刊

C.{小>1}D.3吊一1且xwl}.

【答案】D

【分析】根据真数大于零，分母不为零求解.

【详解】由题意得，”+1>0日”一1工0,则x>-lH.rwl,

则函数的定义域为{小〉-1且X"}.

故选：D

典例]已知函数y=/"+i)的定义域为[T4],则的定义域为()

A.(1,2]B.[-1,9]

C.(1,9]D.[-1,2]

【答案】A

【分析】求出函数/(x)的定义域，对于rJ宁+1),可得出关于实数1的不等式组，即可解得函数

x/x-l

=/(丁;)的定义域.

x/x-\

【详解】对于函数y=/(x+l)，有一则0WX+1K5,

所以，函数/“)的定义域为[0,5],

f(2.v+l)(0<2x+l<5

对于函数则有1t八，解得1<X«2,

Vx-1[^-1>0

因此，函数，="尸：”的定义域为(1,2].

Vx-I

故选：A.

典例*若函数/（力=2LI的定义域为足,则实数上的取值范围是（）

------vfcr+kx-\

A.（0,4）B.（0,4]

C.[0,4）I）.k<0或〃>4

【答案】C

【分析】由题意可知不等式收2+&+|>。的解集为R,分情况讨论，即可求解.

【详解】当xeR时，不等式心2十人十1〉。恒成立.

当）=0时,1>0恒成立;

当时，则需满足。[k>0,2〃

[△=上-4攵<0

综合可得攵的取值范围是[0,4）.

故选：C

思维定势：遇到X只想到x之0,忽略了分母不能为0、对数真数大于0等其他限制条件。

复合函数漏层：求/（以为）定义域时，只限制了“，忘记了内层函数g（x）的值域必须在/"）的定义

域内。

实际问题忽视背景：应用题中，除了数学表达式有意义，还需满足实际意义（如长度、时间、人数等

必须大于0）O

参数讨论不全：含参函数中，未对参数进行分类讨论，导致定义域范围求解错误。

变形改变范围：在化简函数解析式时（如平方、去分母），未注意等价变形，导致定义域扩大或缩

变I式I巩I固

变式1|.集合M={y|y=log2（2T）},集合％=卜卜=7^二7卜则等于（）

A.[-3,2）B.[0,2）

C.[-3,3]I）.[0,3]

【答案】C

【分析】求出集合M、N,利用交集的定义可求得集合McN.

【详解】因为M={y|y=log2（2r）}=R,N=卜y=的-斗怦-/叫=[-3,3],

因此，McN=[-3,3].

故诜:C.

变式2|.已知函数的定义域为卜1,2],则函数g(x)=/(2x)+Jj三的定义域为()

A.[0,1]B.[-1,0]

1J「11

C.卜5再D.

【答案】D

【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可.

【详解】由题意可得：＜八，解得

1-2＞02

变式*“函数/(x)=[r^—7的定义域为R"是"0＜。＜4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件I).既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由函数=；的定义域为R,即以2-at+lwO对任意xwR恒成立，可得a的范围，则

ax-ax+\

可得“函数、f(x)=r^—；的定义域为R”是“0＜。＜4”的必要不充分条件.

ax--ax+\

【详解】因为函数/")=一~；的定义域为R,

ax-av+1

所以尔-ar+1工0对任意彳£14恒成立，

①当。=0时，1工0对任意xwR恒成立；

②当。工0时，只需A=a2-4a＜0,解得：0＜«＜4；

所以0Wa＜4.

记集合A二(0,4),3=[0.4).

因为所以“函数/(月=一一;的定义域为R”是“0＜。＜4”的必要不充分条件.

ax'-ttv+l

故选:B.

◊题型陌函数的解析式

典I例I精I析

典例R.已知函数0),则/(力=()

X

A.吊广仆°)

44

(二百5)。•百”

【答案】B

【分析】通过换元法及常数分离进行求解.

【详解】令［=17,则x=l-f,且XWO,则f¥l,

可得/(尸犬=舟"’('？

所以/(%)=77^7"?1).

(人-1)

故选：B

典例才已知函数g(x)=4x+lj(2x+l)=g(x+l),且/(2)=】，则2的值为()

A.0B.1

C.-1D.2

【答案】C

【分析】求出/(x)=2x+3,得到方程，求出答案.

【详解】/(2X+1)=4(X+1)+1=4X+5=2(2A+1)+3,

所以/(x)=2x+3,

又即22+3=1,解得；1=-1.

故选：C

典例才已知函数/*)的定义域为且满足/。)+2/仕］=6彳+立则/*)的最小值为()

-----X

A.2B.3

Q

C.4D.-

3

【答案】D

【分析】令］二,，可得2/(X)+/(')=4X+9,然后化简求得利用基本不等式即可求解.

xxx33x

【详解】由/*)+2/(3=6X+±①，

XX

令H=，，2/(x)+/(3=4x+色②，

XXX

Q

由②x2—①得3/(x)=2x+-,

所以/(小如导2栏

33xV33x3

7Q

当且仅当;x=F，即x=2时，取等号,

33x

所以/(%)的最小值为*

故选：D

匚,日圆圆

忽视定义域：求解析式时，往往只关注表达式的形式，忽略了使原函数有意义的X的取值范围，导致

定义域扩大或缩小。

换元不还原：使用换元法(如令7=«+1)时，求出/⑺后忘记将/换回X；或者换元时未确定新元

t的范围，导致后续求解出错。

分段函数“分家”：分段函数求值或解方程时，未根据自变量的范围选择对应的解析式，导致代入

错误。

实际问题缺背景：在解决应用题建立函数模型时，忽略了实际问题中的限制条件(如xwN*),导

致解析式不符合实际意义。

抽象函数乱赋值：解决抽象函数问题时，赋值缺乏目的性或未遵循函数定义域的限制，导致推导逻

辑不严密。

变I式I巩I固

变式川.若函数”X)是二次函数，满足〃0)=2,/(》+2)­/(工)=4一则〃力=()

A.f+x+2B.—2x+2

C.x2-x+2D.x2+2x+2

【答案】B

【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.

【详解】设/'(x)=o?+bx+c(g0),由/(0)=2,则C=2,

由f(x+2)-/(x)=4x,则a(x+2)2+b(x+2)+2-^ax2+〃x+2)=4x,

4“=4(a=1

整理可得4or+4a+2Z?=4x,则｛,解得〈，

4c/+2/2=0[b=-2

所以/(x)=*-2x+2.

故选：B.

变式2|.已知=+则/（"=（）

A.X2+2B.X2-2

C.x+-（|x|>2）D.x2+2（|A^2）

【答案】D

【分析】由配凑法结合基本不等式求出x的范围即可得解.

X

【详解】因为/（x+/）=/+g+4=（x+：J+2,

.EL+—>2Jx，=2（x>0）,或K—2Jx.工=-2（.v<0）,

当且仅当工=,即％=±i时取等.

X

所以7•（力=3+2（国之2）.

故选：D.

|变式可己知定义在R上的奇函数/（.»）和偶函数g"）满足/（M+g（X）=2、，则下列说法错误的是（）

A.“X）在区间（0,y）上单调递增B.g（x）在区间（0,y）上单调递增

C./（力无最小值D.g（x）无最小值

【答案】D

【分析】结合奇偶性定义可构造方程组求得/（x）,g（x）,由指数函数单调性、复合函数单调性的判断方法可

知AB正误;由奇偶性可确定/（x）,g（x）单调性,进而确定CD正误.

【详解】由题意得：/（T）+g（r）=—〃x）+g（x）=2f,

_/3+8(%)=2-,.7~x/、2、+2T

得：〃力一"g(M==―

f(x)+g(x)=

对于A,•.•），=2'在（0,+8）上单调递增，），二2一”在（0,y）上单调递减,

\/（%）在（。，+e）上单调递增，A正确；

对「B,设z=21则当x>0时，，>1：

•・・），=/+〃=/+；在上单调递增，/=2工在（。,y）上单调递增，

产2,+2-在（0,+动上单调递增，.“（另在（0,+8）上单调递增，B正确;

对FC,由A知：f（x）在（0,+e）上单调递增，又“X）为定义在R上的奇函数,

\/㈤在（3,0）上单调递增，又/（力为连续函数,\/（X）在R上单调递增,

\/(")无最小值，C错误;

对于D,由B知：g(x)在(。,+8)上单调递增，又g(x)为定义在R上的偶函数，

在(7,0)上单调递减，又g")为连续函数，「以⑴疝n=g⑼=1,D错误.

故选:I).

|变式4|.{%}表示不小于x的最小整数，如{2.1}=3,{-1.2}=-1,已知定义在R上的函数/(外满足

VxyFR./(r+/(y))=f(fM)+y,且〃0)=g,则"(2024)}=()

A.2025B.2024

C.2023D.2022

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果.

【详解】定义在R上的函数满足Vx,yeRJ(x+f(y))=/(/(%))+y,

取I二0,yeR,得/(/()，))=/(八O))+y,则/(/(%))=/(/(0))-x,

取y=0,xeR,得/(x+/(0))=/(/*)),于是/*+/(0))=/(/(0))+x,

而f(0)=；,则/(x+g)=/(；)+「当x=时，/(0)=/(1)-1,

因此/(；)=1，/(x+；)=l+x,HOf(x)=/[(x-l)+l]=l+(x-1)=x+1,

乙乙乙乙乙乙

所以/(2024)=2024+；,{/(2024)}=2025.

故选:A

◊题型03求已知函数的值域

典I例I精I析

典例下.取整函数(也叫高斯函数)〃力=次1的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，[-3.5|=-4,

[2.1]=2,[3]=3,[-2]=-2,则函数g(x)=x-[x],其中“W[-5,5]的值域为()

A.[0,1)B.(0,1]

C.(-1,0)D.(—1,1]

【答案】A

【分析】由题可知国"<国+1,从而得到函数g(”的值域为[()4).

【详解】根据取整函数的定义，对任意实数巴有可得0"-3<1；

故函数g(x)的值域为[0,1).

故选：A

典例另函数/(x)=^/^万-2x的值域为()

5

A.-oo,--

【2j

C.(-<o,-2]

【答案】D

【分析】换元法，令Vx-1=fN0，得至叮=

【详解】令\jx-\=z>0»则x=J+1,

15

则y二,-2"2+1)=-2/+1—2=—2

T

故当/=!时，八耳=-2。-』1取得最大值，最大值为一二，

4(4)88

.___(15

所以/(人)=5/人一1一27的值域为2,1■—.

故选：D

典例3|.对于任意实数〃，b,定义：F(a,b)=ra-b,若函数/(©=/,g(x)=x+2,

则函数

-------[b,a<b

G(x)=F(/(x),g(x))的最小值为()

A.0B.1

C.2D.4

【答案】B

【分析】运用新定义，分别讨论f之工+2和/<4+2时函数G(x)的范围，即可得到其最小值.

【详解】解：根据新定义可得：

当fzx+2,即或xN2时.G(x)=F(/(x),g(x))=x2e[1,-H»)；

当f<x+2,即-l<x<2H寸，G：x)=F(/(x),g(x))=x+2e(l,4),

故函数G(x)=F(/(x),g(x))的最小值为1.

故选:B.

典例4函数/(x)=4+\At-|网匚司的最大值为()

A.4B.2

4121

C.D.

20To

【答案】C

【分析】令f=6+(r>0),通过/求出，的范围，则/(x)=g(f)=-，2+f+［配方后即可求得最大

JJ

值.

【详解】由解析式易知/(X)的定义域为［0,4］,

令7=«+令-X(/>())»

所以尸=4+2小(47)，则JX(4T)="2,

由P=JX(47),0WxW4可知，

0WyW2,所以4W/W8，则2M/K2正，

2(\\\4

所以/(力=且(/)=/一1孑/-2=--/2+/+-(2W2&)，

则==+-<-»

“'’"512)2020

所以/(火)的最大值为年41.

故选：C.

C0SO

忽视定义域：求值域时未先确定定义域，导致在错误区间内求最值，结果失真。

变形不等价：通过平方、去分母、两边同乘等变形时，未注意变量范围的变化，使值域扩大或缩小。

换元不标范围：换元法中未写出新变量的取值范围，导致后续计算失去约束。

忽视函数单调性：直接代入端点求最值，忽略函数在区间内可能不单调，造成最值判断错误。

含参讨论不全：含参函数中未对参数分类讨论，导致值域漏解或错解。

实际问题缺限制：应用题中忽略实际意义(如长度、面积、人数等必须非负)，使值域不符合题意。

变I式I巩|固

变式1|.已知函数/(x)=q/，(x>l),则它的值域为()

A.(0,-HX))B.(-3,0)

C.(-1,0)D.(-2,0)

【答案】D

44

【分析】化简函数f(x)=-2+-结合%>1,求得一；的取值范围，即可求解.

x+1x+\

【详解】由题意，函数/(力=2在=*±±匕=-2+—匕,(X>1)

X4-1X+lX+1

4

设/=x+l,贝打>2,可得7«0,2)

故/(力=-2+白。>1)的值域为(—2,0).

故选：D.

变式才.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号•设xwR，用k］表示

不超过X的最大整数，则尸国称为高斯函数，例如：［-0.5］=-1,=1.已知函数

/(X)=^X2-3X+4(1<X<4),则函数y=［/(x)］的值域为()

A.B.{-1,0,1)

C.{-1,0,12}D.{0,1,2)

【答案】B

【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.

【详解】/.(x)=g/-3x+4(lWxW4),

所以仆)=*—3)T(1K4),

所以函数在(1,3)单调递减，在(3,4)单调递增，

所以〃矶4f(力4

又/⑴=*/(4)=0,

所以y=［〃x)］的值域为{-1，0，1}.

故选:B.

变式可下列函数中，值域为［1,长0)的是()

A.y=x2-2x+l(x>0)B.y=^j(x<-l)

2丫，、1

C.y=］+［(x>0)D.y=x--+l(x>1)

【答案】D

【分析】根据二次函数、分式型函数等单调性及基本不等式求各函数在给定区间上的值域.

【详解】A：y=V—2x+l=(x-1『在［0,］)上递减，在(1,内)上递增，值域为［0,+8),错：

r-l7

B：y=--=1——；在(-^,-1)上递增，值域为(l,xo),错；

X+lX+1

2x2-2,

c：JV+IV+12FT在X=1取等号，结合对勾函数性质知，在(0,+8)上的值域为(0,1］,错；

D：)，=X-L+1在［1,用)上递增，故值域为［1,位)，对.

X

故选：D

变式』.若函数/(x)满足。4/(支)<〃(。<〃)，定义匕-〃的最小值为/(力的值域跨度，则下列函数中值域

跨度不为2的是()

A./(x)=cos2x+lB./(x)=V2x+l-x2

C./W=H-|x-l|D./(x)=^|7

Jl"L

【答案】B

【分析】由余弦函数的性质判断A；利用配方法求解函数值域判断B；将函数写为分段函数的形式，求得值

域判断C；采用分离常数法求得函数值域判断D.

【详解】V-1<COS2X<1,.\0<COS2A:+1<2,

即函数〃x)=cos2x+l的值域为［0,2］,值域跨度为2；

V-X2+2X+1=-(X-I)2+2<2,

・・・f(x)=J2、+1-Y的值域为［。,应］，值域跨度为收；

f-l,x<0

Vf(x)=|x|-\x-1|=<2x-1,0<x<1,

:.函数/(力=>-卜-1|的值域为［-1』，值域跨度为2；

乙、3l-2x3v+2v-2-2l,22,2/一、

r(X)=---------=-------------------=1------------=I--------------G(—1,1)

•/3'+2、3'+2'3*4-2*1(3丫，值域跨度为2；

故选:B.

【点睛】本题主要考查函数值域的求法，掌握初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.

◊题型04已知函数值域求参

典1例L精四

典函.已知函数)，=Jo?+br+c的定义域与值域均为［0,1］,则实数〃的取值为()

A.-4B.-2

C.1D.-1

【答案】A

【分析】依题意知），=依2+法+C的值域为[0,1],则方程ad+/u+c=o的两根为X=O或1，可得。=0,Ci=-b,

从而确定当x=；时，），=〃卜-;取得最大值为1，进而解得。=7.

【详解】依题意，），=4+灰+c的值域为[0』，且湛+"+八0的解集为[0』,

故函数的开口向下，。<0,

则方程ax2+bx+c=0的两根为x=。或1,

则。=0,---=，即a=一〃.

2a2

/[Y“

则y=a/+灰+0=0¥2—依=ax————■»

*I2）4

当工=:时，y=〃口一，丫一@取得最大值为1,

2I2）4

即-4=1，解得：a=-4.

故选:A.

典例4函数/（/=f-以-6的定义域为[0,间,值域为[70,-6],则，〃的取值范围是（）

A.[0,4]B.[4,6]

C.[2,6]D.[2,4]

【答案】I）

【分析】因为函数/（x）=Y—4x-6的图象开口朝上，由〃0）=/（4）=-6J（2）=-10,结合二次函数的图

象和性质可得小的取值范围.

【详解】函数〃力=/-以-6的图象是开I」朝上，

且以直线x=2为对称轴的抛物线.

故f（0）=/（4）=-6J（2）=T0,

•/函数=f-4工-6的定义域为[0,问,值域为为10,-6],

月i•以2，利，/|,

即阳的取值范围是[2,4],故选[）.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答

问题的能力.

典例可已知函数十）[,-""：："""的值域为R,则实数a的取值范围是（）

------llog3x,x>l

A.(-2,4)B.[-2,4)

C.（-oo,-2]D.{-2}

【答案】B

【解析】首先求函数在xNl时函数的值域，再根据函数的值域为A,确定X<1时函数的单调性和端点值的范

围，求实数。的取值范围.

【详解】时，y=log3x>0,

乂•・"（X）的值域为R,则x<l时，/。）=（4一。）工+3〃的值域包含

4-67>0

>（4-a）l+3«>0,解得：~2-a<4-

故选：B

典例a已知函数/（幻=，心-2）+3,g（x）=x、4x+3若对任意内40,4],总存在七使得

/（再）>川冬）成立，则实数，〃的取值范围是（）

（33、

A.〃?€（—2,2）B.me

\2L）

C.-2）D.〃[€（-[*）

【答案】A

【解析】问题转化为/（外.小⑴脸,求出g。）在[L4]上的最小值,而/（切11dli为〃0）或“4）,解不等式

>

/（°）^Wmin

,即可求解.

/（4）>晨叫

【详解】g（x）=『-4x+3=（x-2）’一1,当人匕[1,4]时最小值为一]

对任意Ne[0,4],总存在赴w[1,4],使得/（x）>g（s）成立,

只需>仪6.，即/⑴喃>一1”似41，

而“力喻为“0）或”4），

f/（0）=-2w+3>-l

只需%o「一解得-2<m<2.

1/（4）=2〃?+3>-1

故选:A

【点睛】本题考查不等式存在成立和恒成立问题，转化为函数的最值是解题的关键，属于中档题.

忽视定义域限制：盲目套用公式求最值，忽略了参数对定义域的影响，导致求出的参数范围包含了

使函数无意义的值。

分类讨论不全：特别是二次函数在动区间上的最值问题，未对对称轴与区间的位置关系(左、中、

右)进行全面讨论，导致漏解。

忽视等号成立条件：在使用基本不等式求值域时，忽略了“一正、二定、三相等”中的“相等”

条件，导致参数取值范围扩大。

混淆“恒成立”与“存在性”：题目要求值域包含某区间(存在性)与值域完全等于某区间(恒

成立)是不同的，容易因概念不清而求错参数。

导数法应用不当：利用导数求最值时，未正确判断极值点是否在定义域内，或未比较端点值与极值

的大小，导致参数计算错误。

变I式I巩I固

变式1|.已知函数/(x)=d—4x在［0,〃?］上的值域为［TO］,则实数m的取值范围是()

A.(0,2］B.［2,4］

C.(0,4］D.(f2]

【答案】B

【分析】根据二次函数的图象和性质，结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围.

【详解】函数/(x)=f-以在［0,2］上单调递减，在［2,+8)上单调递增，

/(0)=lJ(2)=-4J(4)=(),x>4时/(.r)>0,0<x<4Hj-^</(x)<0,

函数/(x)=』-叙的部分图象及在［0,向上的图象如图所示.

所以为使函数=f-以在［0,间上的值域为［<0］,实数m的取值范围是［2,4］,

故选：B.

变式斗函数=”<1的值域为A则实数q的范围()

------lnx,x>1

A.(^o,-l)B.-J

c.国)D.M

【答案】c

【分析】结合函数单调性来求解分段函数的值域，讨论和工<1两种情况

【详解】当时，//«:>()

为满足题意函数/(力=［。-22"+3：的值域为我,

bvc,x>1

则f(x)=(l-勿)x+M，x<l为单调增函数

且当xvl时，(l-2«)x+3a<0

即1一勿>0时，a<—,

2

当x=l时'，1一%+3。20,«>-1

「・一1WQV一,

2

故选C

【点睛】本题主要考杳了分段函数的值域，在求解过程中，结合函数的单调性，比较端点处的取值，此类题

日为常考题型，需耍掌握解题方法.

QK4-ZJr<*zj

变式3.已知函数.f“)=2:，若函数“X)有最小值，则实数”的取值范围是()

C.(-1，。)&+8)D.S-l]u[og

【答案】I)

【分析】先求出/(M在(-M)上的范围，再结合函数的最值分-。工。、-。两种情况讨论.

【详解】当xv♦时，ave，+4<e"+a,

函数/(x)有最小值，则最值必在,，长。)上取得，且其最小值小于等于明

若-aWa,则〃a)=/+2c』=3a*a,得OWaW；,

若-a>°,贝lJ/(-a)=-/«a,得〃4一1,

则实数〃的取值范围是(-8，-1]0,1.

故选：D

|变式4已知函数〃x)=ln(ad+2x+l),若/(x)的值域为R,则实数。的取值范围是()

A.[OJ]B.(0,1)

C.(1,4-09)D.[0,+<x>)

【答案】A

【分析】借助/(x)的值域为R可得〃=ad+2x+l要取遍所有的正数，对〃进行分类讨论即可得.

【详解】若函数〃力的值域为R,则〃=加+2工+1要取遍所有的正数.

a>0

所以。=0或・解得OWaWl,

A=4-4a>0

即实数〃的取值范围是[()/].

故选:A.

变式5.已知函数/(入)=告吆，g(x)=or—2(〃>0).若％wR,ar2e[l,2],/(x.)=^(x),则。的取

---------2+COSA

值范围是()

-21「2」

A.1,-B.不2

L3j[_3J

C-K[4TJD.已「4叼)

【答案】C

【解析】根据条件求出f(。的值域,与g(x)的值域,由％",3^e[1,2],f(x)=g(w)，可得两值域

的包含关系，即可求得参数。的取值范围.

【详解】解：因为"x)=2：8s,I=]_「j,1釉+cosx3,所以/(x)的值域为卜].

2+cosx2+cosxL3_

「2~1

因为。>0,所以g(x)在[1,2]上的值域为k―2,勿—2],依题意得0,-0a-2,2a-2],则

«-2,,0,

4

..2解得;副/2.

2a-2.・・一，3

3

故选：C

【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.

。题型05分段函数不等式求解

典I例I精I析

典例1|.设函数/("=|2则满足/*)+/=二]>1的x的取值范围是(

)

【答案】C

【分析】对x的取值范围分xWO,三种情况进行分类讨论，分别求解对应的不等式即可得

22

到最终结果.

【详解】当…，则工-白彳,

IX

J'(x)=Tx>20=1,fx--i=2rX>22>1,

+1成立.，

当工>■!■时，x_l>o,

22

(13

-x+1-x——+1>1,解得：x<—.

12)4

I3

・・一VX<一.

24

当OvxW,时，x--<0

22

.•./1—£|=2卜之2。=1,/(X)=-A+1G

•，-/(X)+/(x-g>1成立，

3

综上所述：A<-.

4

故选：C

典亟.已知⑶表示不超过x的最大整数，例如=卜行]=-2等，定义国二工-国，则下列结论正

确的有()

A.YxwR、[x]>{x}

B.不等式W-4[[v0的解集为(0,5)

C./("={x}的值域为口1)

D./一)={/是周期函数

【答案】CD

【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；解不等式国2-4国<0可判断B选项的正误；取

工4〃,〃+1)(〃£2)可判断(：选项的正误；验证〃x+l)=/(x)可判断D选项的正误.

【详解】对于A,当工二一1.2时，3=-2,{x}=-1.2-(-2)=0.8,不满足}]之{%},故A错误；

对于B,由团2-4[司<0可得0<区<4,故国的取值集合为{123},故―,故B错误；

对于C,对于函数〃x)={x},若〃eZ且/?Wx<〃+1,则[x]=〃,则/(x)={x}=x-[x]e[0,l),C选项正确;

对于D,对任意的xwR,存在〃wZ使得〃Wx<〃+1,则㈤=〃，

n+\<x+l<w+2,故[x+l]=〃+l,

所以，/(X4-l)={x+l}=X+l-[x+l]=X+I-(7?+l)=X-77={x}=/(X),

故函数/(x)={W为周期函数，D选项正确.

故选:CD.

I

忽视定义域：解不等式时未严格按各段定义域分类，导致解出的范围超出原函数定义区间。

分类讨论不全：遗漏某一段或某一临界点，使解集缺失。

端点处理错误：对分段点(如3=0)是否包含在解集中判断不清，导致等号取舍错误。

求解后未合并：各段解出后忘记求并集，或合并时出现逻辑错误。

忽略函数单调性：在利用单调性解不等式时，未注意不同段的单调性可能不同，导致错误地统一处

理。

变I式I巩I固

2_%<o

变式1|.已知函数/(“二厂”’则使不等式成立的X的取值范围是____________.

------\/x,x>0,

【答案】(T0)U(0,l)

【分析】由分段函数的解析式分)=()、x>()、工<0三种情况讨论可得.

【详解】因为Yzo,所以/(W