高中数学一轮复习-解三角形

专题7.3解三角形

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r必背知识

1.正弦定理、余弦定理

在△/雨中，若角4B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bc-cosA

abc

公式-----=------=------=2Rb2=a2+c2—lac■cosB

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-lab,cosC

d2+c2-a2

①a：b：c=sinA:sinB:sinCcosA=-------------

2bc

②a=2R,sinA,b—2R'sinB,c—2R•sinCa2+c2-b2

常见变形cosB=--------------

@a-sinB=b-sinA,b-sinC=c-sinB,a-sinC=c-2ac

a2+b2-c2

sinAcosC=-----------

2ab

3.三角形面积公式

S4ABe=\ab'sinC=*sinA=^ac-sinB=^=1a+b+c）・r（r是三角形内切圆的半径），

4.则量中的常用术语

（1）仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在

水平视线下方叫俯角（如图1）.

⑵方位角।觇线,

从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角—水恢西一弋;东

叫作方位角.如8点的方位角为a（如图2）.।[]视线2，B

ra1图2

⑶方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）a（如图），ae（0,^）.

t北

①北偏东a即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向.

②北偏西a即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.F匕叫）目标

③南偏西等其他方向角类似.近二^_宏

RTK

⑷坡度（坡比）：坡面与水平面所成的二面角的正切值.即i=?=tanJ（i为坡比，8为坡角），•戈

解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.—J

显重要结论

L三角形中的三角函数关系

(l)sin(i4+5)=sinCx(2)cos(A+5)=—cosC；(3)szn^^=cosp(4)cos^-=sin^；

⑸斜三角形中：-tanC=tan(i4+B)=<=>tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

1-tanAtanB

2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=b-cosC4-c-cosB,b=a-cosC+c-cosA,c=a-cosB+b-cosA.

(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)

3.在△48C中，已知a,b和4时，解的情况如下：

4为锐角4为钝角或直角

C

图形AZl产盘

关系式a=bsinAbsinA<a<ba>ba<b

解的个数一解两解一解无解

4.边a,b,c之间的关系

⑴任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

(2j大边对大角，即a>bQ4>8QsiziA>s比8；

(3)设a>b,a>c,若a?)/十。2,则△/18C为钝角三角形;

若Q2=/J2+C2,则A/1BC为直角三角形；

若a2Vb2+则△ABC为锐角三角形.

5.在44BC中，AD平分NB4C,交BC于点D,则皆=未

DUCD

D教材变编

L【人教A版必修二6.4.3例8P47】418。中，己知下列条件：①b=3,c=4,3=30。；②a=5,匕=

Q.A=30。；③c=6,b=3口,B=60°：④c=9,b=12,C=60。.其中满足上述条件的三角形有两解的是

()

A.①④B.①②C.①②③D.③④

2.【人教A版必修二习6.4.3练习1P52】海中有一岛，周围2.1海里内有一暗礁。一船由西向东航行,

在4处观察到这岛在北偏东75。，肮行4海里后，观察到这岛在北偏东60。。若该船不改变航向继续前进，则

有无触礁危险？若有触礁危险，则从4处出发时应沿东偏南大于多少弧度的方向前进，才不至于触碓？

考点归

考点一判断三角形的形状

【方法储备】

1.判定三角形形状的途径：

⑴化边为角，通过三角变换找出角之间的关系，注意A+B+C=TI：

⑵化角为边，再进行代数恒等变换（因式分解、配方等），求出三边之间的数量关系,通过代数变形找出边

之间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁.

注意：

⑴无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.

⑵注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

2.常用结论

△ABC为直角三角形=Q2=匕2+c2或力2=Q2+c2或c2=小+炉.

AABC为锐角三角形oa2<b2+c2或<a2+c2或c2<a2+b2.

22222

AABC为钝角三角形oa>b+c?或炉>a+c2或c?>a+b.

若sin2A=sin2B,则A=8或A+Bg.

【典例精讲】

例1.（2025•广东省•模拟题）在4力BC中，角4B,L所对的边分别是Q,b,c,且满足4c2+M=心,则^ABC

的形状为（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

例2.（2025•山东省聊城市•模拟题已知ZL4BC的三个内角所对的边分别为见匕,一满足改2/1-328+

cos2C=14-sinAsinC,且sin>+sinC=1,则的形状为（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.顶角为150。的等腰三角形D.顶角为120。的等腰三角形

【拓展提升】

练1.（2025•浙江省•月考）在ZL4BC中，已知Q+匕=三十二，则2MBe的形状一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

练1-2（2024•河南省开封市期中）（多选）三角形△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b，c,下列条

件能判断4718c是钝角三角形的有（）

A.a=6,b=5,c=4

B.AB-BC=2a

「a-bsinC

C7+dsinA+sinB

D.b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC

【方法储备】

考点二利用正、余弦定理解三角形

1.已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量：在AABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,

a_b

⑴已知两角和一角的对边：即已知角A,B及边QQ,一高加Q求出入C0

C=n—A-B或cosC=-cos（A+8）

__c___a_

sinCsinA______；

c2=u2+b7-2ubcusC

⑵已知两边和一边的对角：即已知边a,b及角Aago求出sEBu>

sinAsinB

（求sinC=sin（A+B）o

.1sinCsinA.

［求cost*<=>c2=a24-/72—2abcosC

求出si〃8,角B在（0,;r）内可取锐角和钝角，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行取舍.

⑶已知两边和它们的夹角：即已知边a,b及角C^c2=a2+b2-2abcosC=三=-三=-4u>求出

sinCsinAsir.B

A,B；

222

,八口有一fT■々人砧Hnnwf.Ab+c-a（余弦定理求角8、C

⑷已知二边求各个角：即已知边a,b,c=cosA=————={.

2bcI正弦定理求角8、C

2.与三角形面积有关的基本量计算解题策略：

⑴利用正、余弦定理解三角形，求出相关的边角后，选择合适的面积公式求解；

⑵把面积作为已知条件，与正、余弦定理结合求出三角形的其他量.

3.与三角形边长有关的问题

己知三角形的一边,利用正、余弦定理分别求其他两边长,或者用整体思想求另外两边的和，即可求得周

长.

【典例精讲】

例3.（2025•湖北省•联考）在△48C中，内角力，B,。所对的边分别是a,b,c,且C=%c=6,△48。面

积为。为边上一点，CD是NACB的平分线，贝“CD|=（）

A.CB.1C.?D.1

例4.(2025•河南省・联考)记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,bsinC+csinB=

bcosC+ccosB.

⑴求△ABC的面积.

(2)若通-AC=1.

(i)求be的值;

(⑷求△内切圆的半径.

【拓展提升】

练2-1.(2025•浙江省杭州市•期末考试)(多选)在梯形中，AB//CD,AB=1,CD=3,cos^DAC=

cos^ACD=%则()

A.AD=学B.cosZ-BAD=一一

24

3

C.BA-AD=-7D.AC1BD

4

练2-2.(2025•江苏省无锡市•月考试卷)已知△"C中角4B,，所对的边分别为a,b,c,设其面积为S,

S=NT3

a2+b2—c24

(1)求角C；

(2)若c=2C5,点。在边48上，若CD是iC的平分线，且CO=L求S.

练2-3.(2024•重庆市联考)在A/WC中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且满足Ccos4(ccosB+

bcosC)=asin/l.

⑴求A

(2)已知。为BC边上一点，40平分乙4,△ABO的面积是△4DC的面积的2倍，若BD=2,求4D.

考点三解三角形的应用举例

【方法储备】

1.距离问题的类型及解法

⑴类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.

（2）解法：选择合适的辅助测最点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余

弦定理求解.

2.高度问题的类型及解法

（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.

（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.

（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.

3.角度问题的类型及解法

（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和

距嘀，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.

（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

【典例精讲】

例5.（2025•广东省・联考）北斗一:号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球

静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为儿将地球

看作是一个球心为。，半径为r的球，其上点A的纬度是指04与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某

一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的

纬度值为呢观测该卫星的仰角为£，则下列关系•定成立的是（）

Ar十九—rB九一「

'cos/?cos（a+/?）•cos/?cos（a+/?）

C1+-==D」==

'sin/?一sin（a+/?）'sin/?—sin（a+0）

例6.（2025•贵州省贵阳市•模拟题］贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔.如图，某人准备测量双子

塔中其中一座的高度（两座双了•塔的高度相同），在地面上选择了一座高为hm的大楼CD,在大楼顶部。处测

得双子塔顶部8的仰角为a,底部力的俯角为小则双子塔的高度为（）

人("+/?)m2/»«?/«(</+/?)/>“，?(〃+/?)2〃bn(“+/?)

A.B.mD.m

cosasinfisin2fi"sinacospsin2a

例7.（2025♦浙江省绍兴市•联考）如图所示，位于力处的信息中心获悉：在其正东方向相距40ne的B处有

一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30。、相距20九加设佗。处的乙船,

现乙船朝北偏东。方向沿直线CB前往E处救援，则cos。等于（）

3、FD•号

14

【拓展提升】

练3T.（2025•重庆市・月考试卷）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人

王之涣的诗作餐鹳雀楼少而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到

一座建筑物力B,高约为37m,在地面上点C处（8,C,N三点共线）测得建筑物顶部力，鹳雀楼顶部M的仰角分

别为30。和45。，在A处测得楼顶部M的仰角为15。，则鹳雀楼的高度约为（）

A.647nB.747nC.52mD.91m

练3-2,（2024•江苏省联考）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和

“表”两个部件组成）示意图，其中表高PM=h,日影长PN=i'.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点力

处治水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至FI正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬23。26'）在某地利用一表高为

2dm的圭表按图1方式放置后，测得口影长为2.98由九，则该地的纬度约为北纬（参考数据：tan34°«0.67,

tan56°«1.48）（）

A.23°26'B.32°34'C.34°D.56°

练3-3.（2025•河北省秦皇岛市•模拟题）如图，某公园内有一个半圆形湖面，。为圆心.现规划在半圆弧岸边取

点C,D,满足/力。。=“。。，在扇形40C和扇形BOO区域内种植荷花，在扇形COO区域内修建水上项目，

并在湖面上修建栈道AC,BD,CD作为观光路线，则当4C+8。+CD最大时，sin乙BOD=.

C

考点四求解平面几何问题

【方法储备】

与平面图形有关的解三角形问题的思路：

⑴把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

⑵寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

如：①四边形中，通过连接对角线，则可以构造成两个三角形；在三角形中，取其中一边上一点与其该边的

顶点相互连接,则会出现两个小三角形和一个大三角形,解决此类问题,一般可以通过求解其公共边进行解

决.

②在三角形中，取其中•条边上的•点，与该对边的顶点相互连接,则可构成两个三角形，其中这条边

的构侧所对应的两个互为补角的角所对应的余弦值互为相反数，因此可利用余弦定理分别在两个三角

形中去求解这两个角的余弦值，再根据两角间的关系建立等式.

③在多个三角形中可以通过线性运算和向量的数量积构建等式关系，解决两个三角形的解三角形问题，一

般要用公共边的向威表示其它边,再进行平方,进而结合向最知识与余弦定理的关系进行求解.

注意：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，

圆的相关知识，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合解决问题.

【典例精讲】

例&（2024•广东省联考）如图，在△A8C中，点。在边A8上，CDIBC,AC=5\f3,CD=5,BD=

2/10,贝必。的长为（）

A.4B.5C.6D.7

例9.(2024•浙江省杭州市模拟)托勒密定理指“圆内接凸四边形4BCD两组对边乘积的和等于两条对角

线的积”.若直径AC=2,AB=2AD=1,贝,cosA=.

例10.(2025•河南省•模拟题)如图，在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=c(sin8+cos8).

D

(1)求乙4C8的大小：

(2)若乙48。=乙4C8,。为△ABC外一点，DB=2,DC=1,求四边形A80C面枳的最大值.

【拓展提升】

练4-1.(2024•江苏省南京市模拟题)如图，在A48C中，4c=3,。为BC上一点，满足8。=2。。，且

乙BAD4-Z.BAC=7T,

(1)求AD的长：(2)若力8=目，求BD的长.

RC

练4-2.(2025•江苏省•月考试卷)△力BC内一点。，满足，Oz4c=WBA=则点。称为三角形的布洛卡

点,王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如NBOC=TT-乙ABC=^BAC+

^ACB,请你和他一起解决如下问题：

(1)若a,b,c分别是A,B,C的对边，LCAO=Z.BA0=LOBA=^.OCB,证明：a2=be;

(2)在(1)的条件下，若△力BC的周长为4,试把而•冠表示为a的函数/(a),并求而•元的取，'宜范围.

【方法储备】

考点五解三角形中的最值、范围问题

解三角形中的最值或范围问题的解决方法：

将圻求量表示出来，利用正、余眩定理，进行边角互化，转化为关于角或边的代数式.结合题意确定角或

边的范围，利用恰当的方法求最值或范围.

⑴将问题表示为边的形式：利用基本不等式求得最大值或最小值；

如求已知AABC中的边a及角A,求三角形周长最值或取值范围：利用层=b2+c2-2bccosA,将b+c看作

整体，利用基本不等式求出最值，注意取最值的条件；

⑵将问题用三角形某一个角的三角函数表示：利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或

范围.

如求已知AABC中的边a及角A,求三角形周长最值或取值范围：利用正弦定理，将b+c转化为

M(sinB+sEC)二意(sEB+sm(A+B)),转化为三角函数求最值或值域问题.

SlllriSI71A

【典例精讲】

例11.（2025•湖南省长沙市•模拟题）在团中，若sin?/Isin2BIsin/sinB=sin2。，且边上的中线长

为2,则团48c面积的最大值为.

例12.（2024•江苏省无锡市月考）在ZL4BC中，内角小B、C的对边分别为a,b,c,且，3sinC+cosC=

sin9+sinC

sin/1

（1）求角4

（2）若点。满足而=,正，|而|=/?，求的取值范围.

【拓展提升】

练5-1.（2025•湖南省株洲市•模拟题）已知团ABC外接圆的半径为2,S是团A8C的面积，a,瓦c分别是048c三

个内角48（的对边，若不等式。2+/+。2之"恒成立，则久的最大值为；点尸为团4BC外接圆上的

任意一点，当;I取得最大值时，可•丽的取值范围是.

练5-2.（2025•河南省•联考）（多选）2L48C中，BC=4,8c边上的中线力C=4,则下列说法正确的有（）

A.AB-n为定值B.AC2」AB2=20

C.?<cosA<1D.4840的最大值为30。

练5-3.（2024•山东省潍坊市联考）如图，P为半圆Q4B为直径）上一动点，。41。8,0A=y/~3>OB=1,

记乙8/P=0.

（1）当6=15。时，求P。的长;

（2）当A4P0周长最大时,求氏

新题放送

1.（2025•江苏省泰州市•模拟题）在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这

条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形/BCD中，若配=（1,2）,BD=（一2,3）,

则该四边形的面积为（）

7Q

A.巳B.4C.：D.5

2.（2025•河北省石家庄市♦联考）在△ABC中，^BAC=4BAC的角平分线力。交3c于点0,△力8。的面枳

是A力。。面积的3倍，则tanB=（）

AC<3厂3\f~3「6-<3

A--DTCMD.

3.（2025•江苏省•模拟题）侈选淀义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直

径”.在中，BC=1,边上的高等于tan4以△力8。的各边为直径向△48。外分别作三个半圆，

记三个半圆围成的半血区域为W,其“直径”为d,则（）

A.AB2+AC2=3B.△4BC面积的最大值为罕

4

C.当〃=狎，d=J|坦D.d的最大值刈要

【答案解析】

1.【人教A版必修二6.4.3例8P47]

解：△ABC中，①b=3,c=4,B=30°,

2

可得高=熹，sinC=->sin30°,

故满足条件的角C有2个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确;

②a=5,b=Q,A-300,可得.一sinB—>sin300,

sm30sinB5

故瞒足条件的角C有2个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确；

③c=6,b=3「，8=60。，可得三=坞，sinC=l,则C=今三角形有唯一的解，故错误；

sinesin60/

④c=9,b=12,C=60。，可得高二亮，sin8=^>l，则B不存在，三角形无解，故错误.

故选B.

2.【人教A版必修二习6.4.3练习1P52]

解：设这岛在点M,过M作MN1AB于N,

过4作圆M的切线，T为切点、,

如劄，由题意可得乙=15°,248M=150°,

.%LAMB=15。,\BM\=\AB\=4（海里）,

在RMMN8中，vZ.MBN=30°,

\MN\=^\BM\=2<2.1（海里）,

所以有触礁危险；

在Rt44TM中，|AM|=2x4cosl5°=2（yl~6+。），

\MT\=2.1,

•下\MT\2.1

smZ-MAT==i——=-=0.2718,

\AM\2（V6+V2）

LMAT=15046'，15°46'—15°=46'、0.0134Ml度,

从4处出发时，应沿东偏南大于00134弧度的方向前进，才不会触礁.

例1.解；山已知4c2+。2=乂,

利川余弦定理可得

22222222

Da+c—ha+c-(4c+a)3c£

COSD=-------------=------------------------=---=-|<0»

2ac2ac2ac2a

可得B为钝角，故三角形的形状为钝角三角形.

故选：B.

例2.解：cos?4—COS2B+cos2c=1+sinAsinC,

:.(1—sin271)—(1—sin2F)+(1—sin2C)=14-sinTlsinC,

二可得siM/l+sin2c—sin2F=-sin/lsinC,

••・根据正弦定理得a?+c2-b2=-ac,

•••由余弦定理得cosB==罗=

"嗜2ac一"2ac2

Be(0,n),

•・6=穹，

•••siMB=sin2/l+sin2c+sinAsinC.

二变形得7=(sinA+sinC)2-sin^sinC,

乂；得

sin4+sinC=1,sin/lsinC=74,

••・上述两式联立得sin/l=sinC=

•••OVAvg,0<C<p

•r=。=2

・•・△力BC是顶角为120。的等腰三角形.

故选Q.

练17解：因为0+b=潦^焉，

所以sin/+sinB=黑我+黑导=cosA+cosB,

cosAcos/?

整理可得siri4—cos4=—s\nB+cosB,

所以CsinJ—：)=-\T2s\n(B-^),

又因为A,B6(0,/r),所以8牛(一冷),

所以A-*=-(8-3),可得i4+B=],

所以△48。的形状一定是直角三角形.

练1-2.解：A：由a>b>c可知,4>8>C,且炉+c?=41>36=a?,所以力是锐角，故A不正确;

B：由•近=—accosB=2a，得cosBV0,则B为钝角，故B正确：

C:由正弦定理=三；，得b?+c?—标=一帅则cosA=-J,4=<故C正确；

c+ba+b23

。:±1正弦定理，条件等价于siMBsiM。+sin2Csin2B=2s\nBs\nCcosBcosC,

则sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,故8+C=则A=?，故。不正确.

故选BC.

例3解：根据三角形面积公式可得S="bsinC=I5,可得尤=4,

因为SMBC=S^ACD+S&BCD，

所以=1a|CD|sin^+1fe|CD|sinp

即q=3|CD|(a+b),

由余弦定理可得36=a2+d2-2x4x1,即M+〃=的，

则(a+b)2=a2+b2+2ab=48,即Q+b=4\T~3,

将a+b=4C代入C=；|C£)(a+b)中，得C=；|CD|x4<3,

解得|CD|=1.

故选用

例4解：(1)由正弦定理得sinBsinC+sinCsinB=sinficosC+sinCcosB,

即2sin8sinC=sin(F+C)=sinZ.

因为Q=2,

所以asinBsinC=sinA,

所以a・则史•竺财=sin/L又由题知si"人工0,

aa

则吧吧=1,即bcsin4=a=2,

a

所以SABC=^bcsinA=1.

(2)(i)因为n•h=1,所以bccos4=l,

因为bcsinR=2,且cosA*0,所以tanA=2,

所以4G(0,,所以sirt4=/2=-^=,cosA=/，

II2,92

所以be=cos/l

(ii)由余弦定理得炉+c2-a2=ZbccosA=2,

所以/+c2=6,

,,2

所以(b+c)?-2bc=6,即(b+c)2=6+2bc=64-2V-5=(\/~~5+1),

所以b+c=7-5+1.

所以△/BC内切圆的半径r=2SA„=2=2=3-C

a+b+c2+C+l3+C2

练2T.解：△力C£)中，cos乙DAC=‘cosz.ACD=7.

44

则sin血C=年Si山CD=?，

A。_

由正弦定理知CD

sinz.4CD—sin，04C'

CDsinz.ACD

即,40=二故A正确;

s\n^.DAC:宗=

cos^.ADC—cos(7r—Z.DAC-Z.ACD)

=-cos(z.DAC+Z.ACD)

=sinZ.DACsinz.ACD-cosz.DACcosz.ACD

■ri4<7c3<2

=---x--------x-=——，

44444

•:AB//CD,:.乙BAD=n-Z.ADC,

•••cosZ.BAD=cos(7i—Z.ADC)=-cosz/lDC=一亍，故B止确;

瓦?.同=|瓦51•|而|cos(7r-乙BAD)

=BAI-1彳力\cosz.ADC=1x普工x=,，故C错误；

4*T*1

AC-BD=(AD+DCy(BA+AD)

=AD-BA+DC-BA+AD2+DC-AD

34_,,3々、2,c3n/S、„

「1x3+(—)2+3x—x(--)=0,

故正_L前，AC1BD,故D正尚.

1

2

练2-2.解：⑴依题意上sinC_tanC__

2abcosC4cosc44

tanC=—\A-3,则C=与.

(2)△ABC^c2=a2+b2-2abeosC,a2+b2+ab=56.©

又3AACD+S^BCD=SMBC，

141C1W

X1XbX2-X1XaX2=abX2

2-22-

即a+b=ab,②

联立①②得Q282—就=56,**.ab=8.

S=|a/?sin^=2y/~3.

练2-3.解：(1)V-3coSi4(ccosF+bcosC)=asinA,

V-3coSi4(sinCcos5+sinficosC)=sin2/l,

即V3cosAsinA=siMA,

-0<A<n,:.sinAH0.

•••5cosA=sinA,•••tanA=A=?;

•3

(2)•••4。平分±4,A=^AZ-BAD=Z.CAD=7,

3fo

・•・△48。的面积是4力。。的面积的2倍，设4718。底边上的高为力,

rB-iRn5BDh^AB-ADsin/.BAD

则拉侬=\-=\-------------------=2,

'△AOC^CDh^ACADsinZ.CAD

BD=2c0,AB=2AC,

又；BD=2,：•CD=1,

/IM+ACZ-W

在AABC中，cos/1=

2ABAC-

解得?IC=口,

AB=2/_3,AAB2=AC2+BC2,

,c=2,

:，AD=V34-1=2.

例5.解：解:如图所示，

H

由正弦定理可得黑OB

s\nz.OAB，

即sinG-a-/?)=sin^+Z?),

化笥得两篇r费，

故选：A.

例6.解：由题意可得CD=h,ZDAC=p,zBDA=a+p,

则在团A"中,恐盗即皿=册

在自480中，Z,ABD=?一。,

由正弦定理得而编=而编'臼］_理

sin(a+/?)5。吗—a)'

ADsin(a+0)_/isin(a+夕)

所以48=

cosacosasin6

故选:A.

例7.解：如图所示，在△力8c中，AB=40,AC=20,=120°,

由余弦定理得8c2=AB2+AC2-2AB-AC•cosl20°=2800,所以BC=20「.

由正弦定理得sin乙4cB=釜•sin^BAC=胃.

oL/

^LBAC=120。知I乙4cB为锐角，故COS4ACB=

故cos。=cos(z.ACB+30°)=cosz/lCFcos300-sinZi4CFsin30°=

故选8.

练3-1.解：由题意得，在ABC中，4C=—^=74,

sin30

在AAMC中，/CAM=30°+15°=45°,匕ACM=180°—45°-30°=105°,

AC_MC

所以N4MC=30°,由止弦定埋

sinZ-AMCsinzC/lM,

得CM=•sin45°=74G

又在Rt^CMN中，MN=MC-sin450=74.

故选比

练3-2.解：由图1可得tana=7；^；40.67,又tan340土0.67,

所以a=34°,所以4MAN=90°—34°=56°,

图i用2

所以/?=56°-23。26'=32°34',

该地的纬度约为北纬32。34',

故选B.

练3-3.解:设圆的半径为1,设N»OC=乙COD=a,a€(0《)，

在ACMC中，由余弦定理得AC?=1+1_2x1x1xcosa,AC=V2-2cosa=2sin^,

在A。。0中，由余弦定理得=l+l-2xlxlxcosa,CD=V2-2cosa=2si吟

在A。08中，由余弦定理得=1+1—2xlxlxcos(zr-2a)=24-2cos2a,BD=V2+2cos2a=

2cosa,

所以4C+BD+CD=4sin^4-2cosa=4sin^+2(1—2sin2^)=—4sin2^+4sin^+2,

设t=sin^,y=-4t2+4t+2,所以当t=一吃=:时取得最大值3,

Z-"oZ

当「=5也3=；，即得3=1,a=£

ZZZ05

故答案为:吊或填60。).

例8.解：设力。=£,可得80=23BC=74c2-25,

在直角三角形BC。中，可得cosB=/空军,

在二用形/18C中，可得cosB=—/；

2-3t-V4t2-25

uV4t2-254t2-25+9t2-75

B即ri为一分一=-----,

2t2-3t-V4t2-25

即2(4d-25)=9t2-75,解得£=5,

可得40=5,

故选：B.

例9.解：圆内接凸四边形A8CD中，直径4C=2,AB=2AD=1,如图所示:

所以△A8c中，Z.ABC=90°,BC=VAC2-AB2=V4-1=

△中，N40c=90。，C£）=VAC2-AD2=4--=—f

yj42

由回内接凸四边形ABC。两组对边乘积的和等于两条对角线的积知,

ABCD+ADBC_lxy

""=AC=2=-4-

他2+川2_皿2_1+尸5+七66

1-3个

COSZ.BAD=

2ABAD-2xlx；-8-

故答案为：E产二手.

48

例10.解：(1)在△4中，•・•a=c(s-B+cosB),

sinA=sinC(sinB+cosB),:.sin(7i—F—C)=sinC(sinB+cosB),

：•sin(B4-C)=sinC(sinB4-cosB),:.sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB,

•••cosCsinB=sinCsinB,又•••8€(0,7r),故sivB。0,

cn^C=sinC,即=1.又:C(=(0,TF),:.C=

(2)在△BCD中，DB=2,DC=1,ASC2=l2+22-2x1x2xcosD=5-4cosD.

又乙ABC=由（1）可知41cB=%/BC为等腰直角三角形,

"ABC="xBCx：xBC=；BC?=5_cosD,

又；S^BDC=gxBDxDCxsinD=sinD,

四边形4BDC面枳S=/—cosD+sinD=*+<7sin(0-力.

，当丘加，四边形的C的面积有最大值，最大值为在吃

2

练4-1.解：（1）由80=2。。可知，SAABD=^SAABC,

Io1

即打8-AD-sinz.BAD=《x^AB-AC•sin/BAC,

j«5/

又sin乙BAD=sin(n—乙BAC)=sinZ.BAC,

解得AD=1AC=2.

(2)设4BAD=a,则4。4。=TT-2a,

ACCDCDABBD

由正弦定理可知，在44CD中,sinz.ADC-sin(jr-2a)-sin2af在中''"1",

sinz.ADBsina

且乙4084-LADC=Ti,得sinZJlDB=sin(7r-Z.ADC)=s\n/.ADC,

两式相除得胎二舞•生必，解得cosa二驾=、

ACCDsina128

因此BD?=AB2+AD2-2AB-AD-cosa=^+4-2xx2x1=义即80=—.

练4-2.解：(1)设2。4。=LBAO=Z.OAB=乙BCO=a,

在A80。和△力08中，由正弦定理得一^7="="=-77^，

sinz.BOCsinasinasin^AOB

又；sin乙BOC=sin(7r—4ABC)=sinz.ABC,s\nz.AOB=sin(7r—/.BAC)=sinz.BAC,

aaccasinLABC-^sinLABCb

，'sinzBOCsinLABCsinZTlOBsinLBAC'''csinZ.B/IC'sinZ.BACa,

:*-=-»即。2=be.

ca

―►__,c2+b2-a2c2+b2—be(c+h)2—3bc(4-a)2—3a2

(2)AB-AC=ebeosA=--------=--------=---------=--------=---------4----------=----------5----------

乙乙乙乙

-2a2-8a+16-

=------------------------=-a2-4a+8

乙

又；c,a,b成等比数列，可设6=卞c=aq(公比qN1)(6WaWc)

q31Ui

・•・Q+q>aq・解得：1工。<等，

qY

又由a+-+aq=4,得a=-y—e(V~5-1,&

qq+产J

8

.•.而•前二-(Q+2)2+12€际,6-2A/-5).

例11解：因为siM/+si/B+sinAsinB=si/C,所以由正弦定理可得a?+/+ab=。2,

即晨±b2-c2=—ab,所以cosC=成?=—又o<C<乃，

labj"L

所以C=KsinC=sin3=*,设”边上的中线为CD,

则而=I方+而)，则|而产=;(刀+而)2="(Q2+82一疑)=4,

22

所以16=a+b—ab>2ah—ab=ah,当且仅当Q=b=4时等号成立，

所以(S®48C)max=1(^)max，SinC=4，1

故答案为：4V