中考数学一模测试试卷

中考数学第一次模拟考试数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在﹣3，7，2，−2A．﹣3 B．−23 C．72．下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C.D.禁止驶入两侧变窄 环岛行驶 两侧通行3．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风5C液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风﹣5C液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同4．中国天宫空间站搭载的巡天空间望远镜，是航天员的“千里眼”，它未来计划对整个太空进行普查，预计发现数以亿计的天体，如果巡天望远镜最终发现了30600000000个天体，这个数字用科学记数法表示为（）A．3.6×1010 B．30.6×109 C．3.06×1010 D．3.06×1095．已知a≠0，则下列运算错误的是（）A．3a﹣2a＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a2•a＝a3 D．a6÷a2＝a46．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，可列出符合题意的一元一次方程11x9A．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱7．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝55°，则∠BDC的度数为（）A．155° B．145° C．135° D．125°8．从﹣1，1，2这三个数中不重复地任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实数根的概率为（）A．13 B．12 C．239．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数y=x+1x的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数A．函数图象的对称中心是（1，1） B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．当x＞1时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数y＝x2的图象与函数y=x+1+110．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+bx+c﹣5≥0的x的取值范围是x≤﹣3或x≥1．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．已知点P（2+a，3a﹣6）在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则a＝．12．公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作AB，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝cm2．13．我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．例如计算：（6+i）+（2﹣3i）＝（6+2）+（i﹣3i）＝8﹣2i．根据上述材料，将3+i2−i化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）14．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上，BE＝DF，M为EF的中点，点N在边AB上，∠AMN＝45°．若AB＝7，AM＝5，则MN的长为．15．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3）…均在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，则y2026的值为三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）（1）计算：|2（2）先化简，再求值：a2−2a+1a17．（8分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹．（2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形．（3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB＝∠DAE＝90°，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．18．（8分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法．【问题探究】数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题：如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是线段BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求DE+DF的值．他们用两种方法表示△ABC的面积：方法一：如图，作AG⊥BC于点G，计算△ABC的面积．解答过程如下：…方法二：连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD=12AB⋅DE+1（1）请将方法一的解答过程补充完整；（2）结合方法一、二可以算出DE+DF＝．【学以致用】如图2，直线y=34x+32与x轴交于点A，且经过点D（1）求直线CD的解析式；（2）在直线CD上有一动点P，且点P到直线AD的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点P的坐标．19．（10分）为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间x（单位：h）分为A（x＜2），B（2≤x＜3），C（3≤x＜4），D（x≥4）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．两次调查数据统计表时间平均数中位数众数学期初2.82.92.8学期末3.53.63.6（1）在学期初调查数据条形图中，B组人数是人，并补全条形图；（2）在扇形图中，A组所在扇形的圆心角的度数是.（3）七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数；（4）该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB的中点，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，E是OB的中点，连接CE并延长交DB延长线于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF交⊙O于点H，连接BF，且AO＝2，求BH的长．21.（9分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下：（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆OP、量角器90°刻度线OC与铅垂线OG相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角∠QOK=∠GOC，请说明这两个角相等。（2）实地测量：①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为37°，测得旗杆底部B处的俯角为22°，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离QB为12米.请用小红所测得的数据求旗杆AB的高度.（结果精确到1米.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为θ，则他由此计算出旗杆的高度为12tanθ米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了1.5m，请你帮小明分析一下原因.22．（11分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数），（1）若（﹣1，0），（0，5）两点在该函数图象上，求此函数的表达式；（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若c＝2b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为8，直接写出b的值．23．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝30°，点D在AC边上，BD平分∠ABC，AD＝2，求AB的长；（2）如图2，若∠BAC＝30°，点D在AC边上（点D不与点A，C重合），将射线BD绕点B顺时针旋转60°，在旋转后的射线上取一点E，连接AE，使得AE＝BE，过点E作EG⊥AC于点G，过点D作DH⊥AB于点H，探索线段BC，EG，DH之间的数量关系，并证明；（3）如图3，若点D在直线AB下方，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AD，AE，∠EAD＝75°，AB＝6，当四边形ADBE的面积取最小值时，在直线AB上取一点P，连接DP，将△DBP沿BD翻折到四边形ADBE所的平面内得到△BDQ，连接AQ，当AQ取最小值时，请直接写出△ADQ的面积．中考数学第一次模拟考试数学·参考答案（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）题号12345678910答案CABCBABBCC二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．112．413．1+i14．15．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）【详解】（1）解：原式（2分）＝3．（4分）（2）解：，（6分）∵a2﹣1≠0，a（a﹣1）≠0，∴a≠1或a≠﹣1或a≠0，（7分）∴当a＝2时，原式．（8分）17．（8分）【详解】解：（1）如图1所示，△ABD和△BCD是偏等积三角形；（2分）（2）如图2所示，△ABC和△DEF是偏等积三角形；（4分）（3）如图3所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H．∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠HAC+∠DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°．∴∠BAH＝∠DAC．（5分）在△ABH和△ACD中，，∴△ABH≌△ACD（AAS），∴BH＝CD，（6分）∵S△ABEBH•AE，S△ACDAD•CD，∵AE＝AD，CD＝BH，∴S△ABE＝S△ACD，（7分）又由图知，这两个三角形不全等，∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．（8分）18．（8分）【详解】解：【问题探究】（1）作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴BG＝CG＝5，在Rt△ABG中，AG12，则S△ABCBC•AG60；（2分）（2）连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB•DEAC•DF（DE+DF）＝60，则DE+DF，故答案为：；（3分）【学以致用】（1）把D（2，m）代入y得：m＝×2+，解得m＝3；∴D（2，3），（4分）设直线CD解析式为yx将点C（6，0）和点D（2，3）代入yx得，解得∴直线CD解析式为yx；（5分）（2）过D作DG⊥AC于G，过P作PH⊥AC于H，连接AP，当P在线段CD上时，如图：yx，令y＝0得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∵D（2，3），C（6，0），∴AC＝8，AD＝5，DG＝3，（6分）∵S△ACD＝S△ADP+S△ACP，点P到直线AD的距离为2，∴8•PH，解得PH，即点P的纵坐标为：x，解得：x，∴P（，）；（7分）当P在线段CD延长线上时，如图：∵S△ACD＝S△ACP﹣S△ADP，∴，解得PH，同理可得：P（，）；综上所述，P的坐标为（，）或（，）．（8分）19．（10分）【详解】解：（1）B组人数为50﹣（9+15+6）＝20（人），（2分）补全图形如下：（4分）故答案为：20；（2）A组在扇形图中所占的百分比是1-28%-52%-16%=4%，360°×4%=14.4°故答案为：14.4°（6分）（3）500×（52%+16%）＝340（人），答：估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3h的人数约为340人；（8分）（4）学期末比学期初有提高.（9分）由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了，∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高．（10分）20．（10分）【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴，OA＝OB，根据垂径定理得：OC⊥AB，（2分）在△ABD中，OA＝OB，AC＝CD，∴OC是△ABD的中位线，∴OC∥BD，（3分）∵OC⊥AB，∴BD⊥AB，即BD⊥OB，（4分）又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；（5分）（2）解：∵AO＝2，∴OC＝OB＝OA＝2，∴AB＝OA+OB＝4，∵BD是⊙O的切线，OC⊥AB，∴∠COE＝∠FBE＝90°，（6分）∵点E是OB的中点，∴OE＝BE，在△COE和△FBE中，，∴△COE≌△FBE（ASA），（7分）∴OC＝BF＝2，∵∠FBE＝90°，∴△ABF是直角三角形，由勾股定理得：AF，（8分）∵AB是⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，即BH⊥AF，由三角形面积公式得：S△ABFAF×BHAB×BF，（9分）∴BH．（10分）21．（9分）【详解】（1）∵∠QOC=∠KOG=90°∴∠QOC-∠COK=∠KOG-∠COK即∠QOK=∠GOC（3分）（2）①如图，过点P做PC⊥AB于点C，则四边形PCBQ是矩形，∴PC=QB=12m，（4分）在Rt△PCB中，∵∠CPB=22°，tan∠CPB，∴BC=PCtan22°≈12×0.40=4.8m（5分）在Rt△PCA中，∵∠CPA=37°，tan∠CPA，∴AC=PCtan37°≈12×0.75=9m（7分）AB=AC+BC=9+4.8=13.8≈14m答：旗杆AB的高度约为14m.（8分）②测量时，测角仪到地面有一定距离，小明计算出的结果还要加上测角仪到地面的距离，才等于旗杆的高度.（9分）22．（11分）【详解】解：（1）已知（﹣1，0），（0，5）两点在函数y＝﹣x2+bx+c图象上，把（﹣1，0），（0，5）代入得：，（1分）解得，∴此函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；（3分）（2）函数y＝﹣x2+4x+5的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，令y＝0，得：﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝5或﹣1，∴B（5，0）（4分）令x＝0，得：y＝5，∴C（0，5），∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴顶点A的坐标为（2，9），（5分）平移后顶点坐标为（2，9﹣m）．（6分）过点A作y轴的平行线交BC于点H，如图，设直线BC的解析式为y＝kx+5，把点B的坐标代入得：5k+5＝0，解得k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，（7分）当x＝2时，y＝3，∴H（2，3），函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9，解得0＜m＜6；（8分）（3）b的值为2或．理由如下：若c＝2b2，则y＝﹣x2+bx+2b2，∴函数的对称轴为直线，当，即b≥0时，x＝0时，y取得最大值，即2b2＝8，解得：b＝2或﹣2（不合题意，舍去）；（9分）当，即﹣4＜b＜0时，时，y取得最大值，即，解得：或（不合题意，舍去）；（10分）当，即b≤﹣4时，x＝﹣2时，y取得最大值，即﹣（﹣2）2﹣2b+2b2＝8，解得：b＝3（舍去）或﹣2（舍去）；综上所述，b的值为2或．（11分）23．（11分）【详解】解：（1）∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，又∵BD平分∠ABC，∴，∴∠BAC＝∠ABD＝30°，∴AD＝DB＝2，（1分）在Rt△DBC中，，由勾股定理得，，在Rt△ABC中，；（2分）（2）.（3分）证明如下：如图，连接ED，过点E作EK⊥AB，∵AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形，∴EK为△AEB的中垂线，∴AK＝BK，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，2BC＝AB，∴AK＝BK＝BC，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，又∵∠EBD＝60°，∴∠EBK+∠KBD＝∠KBD+∠DBC＝60°，∴∠EBK＝∠DBC，在△BEK和△BDC中，，∴△BEK≌△BDC（ASA），（4分）∴BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD，∠BDE＝60°，又∵DH⊥AB，∠BAC＝30°，∴∠ADH＝90°﹣∠BAC＝60°，∴∠ADE+∠EDH＝∠EDH+∠HDB＝60°，∴∠ADE＝∠HDB，∵AE＝BE，∴AE＝DE，又∵EG⊥AD，∴AG＝GD，即，（6分）在Rt△ADH中，∠HAD＝30°，，，∴AG＝GD＝DH，在△EGD和△BHD中，，∴△EGD≌△BHD（SAS），∴EG＝