山西省运城市重点中学2026届中考数学四模试卷含解析

山西省运城市重点中学2026届中考数学四模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2:3，则S△DEF:S△ABF=（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：252．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70° B．60° C．55° D．50°3．函数与在同一坐标系中的大致图象是（）A、B、C、D、4．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O是以原点为圆心，半径为圆，则⊙O的“整点直线”共有（）条A．7 B．8 C．9 D．105．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A． B． C． D．6．下列四个实数中，比5小的是()A． B． C． D．7．如图，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝(m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则不等式kx＋b＞的解集为()A． B． C． D．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S1．若S2=48，S1=9，则S1的值为（）A．18 B．12 C．9 D．19．如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（）A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC10．下列各式属于最简二次根式的有（）A． B． C． D．11．下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4 B．a5•a2=a7 C．（a2）3=a5 D．2a2﹣a2=212．由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．函数y=114．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B＝_______°．15．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是_____．16．分解因式8x2y﹣2y＝_____．17．对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为__．18．如图，矩形ABCD，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得矩形AEFG，连接CG、EG，则∠CGE=________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？20．（6分）已知：如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠OAB=10°，OA=1．以点O为原点，斜边OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P（4，0）为圆心，PA长为半径画圆，⊙P与x轴的另一交点为N，点M在⊙P上，且满足∠MPN=60°．⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为ts，解答下列问题：（发现）（1）的长度为多少；（2）当t=2s时，求扇形MPN（阴影部分）与Rt△ABO重叠部分的面积．（探究）当⊙P和△ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标．（拓展）当与Rt△ABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围．21．（6分）如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，1．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从图A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连线跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳．（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率P1；（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？22．（8分）观察下列各式：①②③由此归纳出一般规律__________.23．（8分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．24．（10分）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．25．（10分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：171816132415282618192217161932301614152615322317151528281619对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下．频数分布表组别一二三四五六七销售额频数79322数据分析表平均数众数中位数20.318请根据以上信息解答下列问题：填空：a=，b=，c=；若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有位营业员获得奖励；若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．26．（12分）某校为了解本校学生每周参加课外辅导班的情况，随机调査了部分学生一周内参加课外辅导班的学科数，并将调查结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整统计图（其中A：0个学科，B：1个学科，C：2个学科，D：3个学科，E：4个学科或以上），请根据统计图中的信息，解答下列问题：请将图2的统计图补充完整；根据本次调查的数据，每周参加课外辅导班的学科数的众数是个学科；若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科（含3个学科）以上的学生共有人．27．（12分）“中国制造”是世界上认知度最高的标签之一，因此，我县越来越多的群众选择购买国产空调，已知购买1台A型号的空调比1台B型号的空调少200元，购买2台A型号的空调与3台B型号的空调共需11200元，求A、B两种型号的空调的购买价各是多少元？

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】试题分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，从而DE：AB=DE：DC=2：5，所以S△DEF:S△ABF=4：25试题解析:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BA=DC∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∴DE：AB=DE：DC=2：5，∴S△DEF：S△ABF=4：25，考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．2、A【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．考点：平行线的性质．3、D．【解析】试题分析：根据一次函数和反比例函数的性质，分k＞0和k＜0两种情况讨论：当k＜0时，一次函数图象过二、四、三象限，反比例函数中，－k＞0，图象分布在一、三象限；当k＞0时，一次函数过一、三、四象限，反比例函数中，－k＜0，图象分布在二、四象限．故选D．考点：一次函数和反比例函数的图象．4、D【解析】试题分析：根据圆的半径可知：在圆上的整数点为(2，2)、(2，-2)，(-2，-2)，(-2，2)这四个点，经过任意两点的“整点直线”有6条，经过其中的任意一点且圆相切的“整点直线”有4条，则合计共有10条.5、C【解析】

从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行中间有一个正方形，故选C．6、A【解析】

首先确定无理数的取值范围，然后再确定是实数的大小，进而可得答案．【详解】解：A、∵5＜＜6，∴5﹣1＜﹣1＜6﹣1，∴﹣1＜5，故此选项正确；B、∵∴，故此选项错误；C、∵6＜＜7，∴5＜﹣1＜6，故此选项错误；D、∵4＜＜5，∴，故此选项错误；故选A．【点睛】考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键.通常使用夹逼法.7、B【解析】

根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【详解】解：不等式kx+b＞的解集为：-6＜x＜0或x＞2，

故选B．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．8、D【解析】

过A作AH∥CD交BC于H，根据题意得到∠BAE=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】∵S2=48，∴BC=4，过A作AH∥CD交BC于H，则∠AHB=∠DCB．∵AD∥BC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH=BH=AD=2，AH=CD=1．∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=1，∴S1=1．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9、D【解析】

解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，∴AE∥BC，故C选项正确，∴∠EAC=∠C，故B选项正确，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，故选D．【点睛】本题考查作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．10、B【解析】

先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】A选项：，故不是最简二次根式，故A选项错误；B选项：是最简二次根式，故B选项正确；C选项：，故不是最简二次根式，故本选项错误；D选项：，故不是最简二次根式，故D选项错误；

故选：B．【点睛】考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．11、B【解析】

根据整式的加减乘除乘方运算法则逐一运算即可。【详解】A.，故A选项错误。B.，故B选项正确。C.，故C选项错误。D.，故D选项错误。故答案选B.【点睛】本题考查整式加减乘除运算法则，只需熟记法则与公式即可。12、C【解析】试题分析：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数所以图中的小正方体最少2+4=1．故选C．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、x＞1【解析】试题分析：二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义，故需要满足x-1≻0⇒x≻1考点：二次根式、分式有意义的条件点评：解答本题的关键是熟练掌握二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义；分式的分母不能为0，分式才有意义.14、1°【解析】

根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得到∠BAC=∠DAE，AB=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，∴∠BAD=∠EAC=40°，∴∠B=（180°-40°）÷2=1°，故答案为1．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．15、（2，0）【解析】【分析】作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠APB=90°，再证明△BPE≌△PAF，根据PE=AF=3，列式可得结论．【详解】连接PB、PA，过B作BE⊥x轴于E，过A作AF⊥x轴于F，∵A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），∴OE=1，AF=3，∵∠ACB=45°，∴∠APB=90°，∴∠BPE+∠APF=90°，∵∠BPE+∠EBP=90°，∴∠APF=∠EBP，∵∠BEP=∠AFP=90°，PA=PB，∴△BPE≌△PAF，∴PE=AF=3，设P（a，0），∴a+1=3，a=2，∴P（2，0），故答案为（2，0）．【点睛】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线构建三角形全等是关键．16、2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】

首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】8x2y-2y=2y（4x2-1）=2y（2x+1）（2x-1）．故答案为2y（2x+1）（2x-1）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．17、1≤a≤1【解析】

根据y的取值范围可以求得相应的x的取值范围．【详解】解：∵二次函数y＝x1﹣4x+4＝（x﹣1）1，∴该函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为：x＝﹣，把y＝0代入解析式可得：x＝1，把y＝1代入解析式可得：x1＝3，x1＝1，所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，故可得：1≤a≤1，故答案为：1≤a≤1．【点睛】此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．18、45°【解析】试题解析：如图，连接CE，∵AB=2，BC=1，∴DE=EF=1，CD=GF=2，在△CDE和△GFE中∴△CDE≌△GFE(SAS)，∴CE=GE，∠CED=∠GEF，故答案为三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、规定日期是6天．【解析】

本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设工作总量为1，规定日期为x天，则若单独做，甲队需x天，乙队需x+3天，根据题意列方程得

解方程可得x=6，

经检验x=6是分式方程的解．

答：规定日期是6天．20、【发现】（3）的长度为；（2）重叠部分的面积为；【探究】：点P的坐标为；或或；【拓展】t的取值范围是或，理由见解析．【解析】

发现：（3）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；（2）先求出PA=3，进而求出PQ，即可用面积公式得出结论；探究：分圆和直线AB和直线OB相切，利用三角函数即可得出结论；拓展：先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论．【详解】[发现]（3）∵P（2，0），∴OP=2．∵OA=3，∴AP=3，∴的长度为．故答案为；（2）设⊙P半径为r，则有r=2﹣3=3，当t=2时，如图3，点N与点A重合，∴PA=r=3，设MP与AB相交于点Q．在Rt△ABO中，∵∠OAB=30°，∠MPN=60°．∵∠PQA=90°，∴PQPA，∴AQ=AP×cos30°，∴S重叠部分=S△APQPQ×AQ．即重叠部分的面积为．[探究]①如图2，当⊙P与直线AB相切于点C时，连接PC，则有PC⊥AB，PC=r=3．∵∠OAB=30°，∴AP=2，∴OP=OA﹣AP=3﹣2=3；∴点P的坐标为（3，0）；②如图3，当⊙P与直线OB相切于点D时，连接PD，则有PD⊥OB，PD=r=3，∴PD∥AB，∴∠OPD=∠OAB=30°，∴cos∠OPD，∴OP，∴点P的坐标为（，0）；③如图2，当⊙P与直线OB相切于点E时，连接PE，则有PE⊥OB，同②可得：OP；∴点P的坐标为（，0）；[拓展]t的取值范围是2＜t≤3，2≤t＜4，理由：如图4，当点N运动到与点A重合时，与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=2；当t＞2，直到⊙P运动到与AB相切时，由探究①得：OP=3，∴t3，与Rt△ABO的边有两个公共点，∴2＜t≤3．如图6，当⊙P运动到PM与OB重合时，与Rt△ABO的边有两个公共点，此时t=2；直到⊙P运动到点N与点O重合时，与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=4；∴2≤t＜4，即：t的取值范围是2＜t≤3，2≤t＜4．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．21、（1）落回到圈A的概率P1=；（2）她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．【解析】

（1）由共有1种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；【详解】（1）∵共有1种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，∴落回到圈A的概率P1=；（2）列表得：12311（1，1）（2，1）（3，1）（1，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（1，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（1，3）1（1，1）（2，1）（3，1）（1，1）∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有（1，3），（2，2）（3，1），（1，1），∴最后落回到圈A的概率P2==，∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A，需要两次和是1的倍数．22、xn+1-1【解析】试题分析：观察其右边的结果：第一个是﹣1；第二个是﹣1；…依此类推，则第n个的结果即可求得．试题解析：（x﹣1）（++…x+1）=．故答案为.考点：平方差公式．23、（1）ab﹣4x1（1）【解析】

（1）边长为x的正方形面积为x1，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（1）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．【详解】解：（1）ab﹣4x1．（1）依题意有：，将a=6，b=4，代入上式，得x1=2．解得x1=，x1=（舍去）．∴正方形的边长为．24、（1）y=﹣x2+2x+4；M（1,5）；（2）2＜m＜4；（3）P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．【解析】试题分析：（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．试题解析：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣（x﹣1）2+5，∴点M的坐标为（1，5）；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，解得：∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC==，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP==3∴PH=3÷=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．考点：二次函数综合题25、(1)众数为15；(2)3，4，15；8；(3)月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目