2026年天津高中数学竞赛一试试题及答案

2026年天津高中数学竞赛一试试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.2D.0【答案】B【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离，即3。2.若复数z满足z²=1，则z的值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】z²=1的两个解为z=1和z=-1。3.抛掷两个均匀的六面骰子，则点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】点数之和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，概率为6/36=1/6。4.在△ABC中，若a²+b²=c²，且∠C=90°，则△ABC是（）（2分）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】根据勾股定理，a²+b²=c²说明△ABC是直角三角形。5.已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=5，则b的值是（）（2分）A.-1B.1C.2D.-2【答案】D【解析】f(1)=a+b+c=3，f(-1)=a-b+c=5，两式相减得2b=-2，所以b=-1。6.设集合A={x|x²-3x+2>0}，则A的补集是（）（2分）A.{x|x≤1}B.{x|x≥2}C.{x|1<x<2}D.{x|x≤1或x≥2}【答案】C【解析】x²-3x+2>0的解集为x<1或x>2，所以补集为1≤x≤2。7.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则公比q是（）（2分）A.2B.4C.-2D.-4【答案】A【解析】a_4=a_1q³，16=2q³，解得q³=8，所以q=2。8.函数y=sin(x+π/3)的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C.原点D.直线x=π/3【答案】D【解析】y=sin(x+π/3)的图像关于直线x=-π/3对称，平移π得直线x=π/3。9.若直线l：y=kx+b与圆O：x²+y²=1相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k∈RB.k∈(-1,1)C.k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)D.k∈[-1,1]【答案】B【解析】直线与圆相交，斜率k需满足|k|<1。10.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+1)，则f(x)的定义域是（）（2分）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.RD.[0,2]【答案】D【解析】x²-2x+1>0，解得x≠1，所以定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，但需排除x=0，故为[0,2]。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若a>b，则a²>b²B.若a²>b²，则a>bC.若a>b，则1/a<1/bD.若a>b>0，则√a>√b【答案】C、D【解析】A错误，如a=-1，b=-2；B错误，如a=-2，b=-1；C正确，倒数关系保持不等号方向；D正确，正数平方根保持不等号方向。2.在△ABC中，若∠A=60°，a=3，b=√7，则△ABC的解是（）（4分）A.有唯一解B.有两解C.无解D.不能确定【答案】B【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，sinB=bsinA/a=(√7/2)/3≈0.583，所以B≈35.5°或B≈144.5°，有两解。3.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（）（4分）A.y=-x²B.y=log₂xC.y=e^xD.y=1/x【答案】B、C【解析】y=log₂x和y=e^x在(0,+∞)上单调递增，y=-x²单调递减，y=1/x单调递减。4.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则下列结论正确的是（）（4分）A.|a|=5B.a+b=(4,-2)C.a·b=-5D.2a-3b=(-7,14)【答案】A、B、C【解析】|a|=√(1²+2²)=√5；a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)；a·b=1×3+2×(-4)=-5；2a-3b=(2-9,4+12)=(-7,16)，D错误。5.已知f(x)=x³-px+1，若f(1)=0，则p的值是（）（4分）A.2B.-2C.3D.-3【答案】A、B【解析】f(1)=1-p+1=0，解得p=2或p=-2。三、填空题（每题4分，共20分）1.已知圆O的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，则圆心坐标是______，半径是______（4分）【答案】(2,-3)；√13【解析】圆心为(-b/2a,-c/2a)，即(4/2,-6/2)=(2,-3)，半径为√(2²+(-3)²-(-3))=√13。2.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则a₁=______，d=______（4分）【答案】0；5【解析】a₁+4d=10，a₁+9d=25，解得a₁=0，d=5。3.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是______，值域是______（4分）【答案】[1/2,1]；[-π/2,π/2]【解析】2x-1∈[-1,1]，解得x∈[1/2,1]，值域为[-π/2,π/2]。4.已知锐角△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c=______（4分）【答案】5【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=3²+4²-2×3×4×cos60°=25-12=13，所以c=√13。5.已知函数f(x)=x²-mx+2在x=1处取得极值，则m=______（4分）【答案】3【解析】f'(x)=2x-m，f'(1)=2-m=0，解得m=3。四、判断题（每题2分，共10分）1.若a²+b²=1，则a和b一定是单位圆上的点的坐标。（）（2分）【答案】（×）【解析】a²+b²=1表示a和b的平方和为1，但不一定都在[-1,1]范围内，如a=2，b=0。2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上存在反函数。（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增的函数不一定处处可导，如f(x)=x在Q上单调递增，但无反函数。3.若复数z₁和z₂满足z₁²=z₂²，则z₁=z₂。（）（2分）【答案】（×）【解析】如z₁=1，z₂=-1，则z₁²=z₂²=1，但z₁≠z₂。4.若向量a和b共线，则存在唯一实数k使得a=kb。（）（2分）【答案】（×）【解析】若a=0，则任何向量b都与a共线，不存在唯一k，如a=(0,0)，b=(1,2)。5.若直线l与圆O相切，则直线l到圆心的距离等于圆的半径。（）（2分）【答案】（√）【解析】直线与圆相切，切点到圆心的距离等于半径。五、简答题（每题4分，共20分）1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。（4分）【答案】最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。【解析】f(x)在x=-2和x=1处取得最小值，最小值为|-2-1|+|-2+2|=3。2.已知函数f(x)=2cos²x-sin2x，求f(x)的最大值和最小值。（4分）【答案】最大值为3/2，最小值为-1/2。【解析】f(x)=1+cos2x-sin2x=1+√2sin(2x+3π/4)，所以最大值为1+√2，最小值为1-√2。3.已知等比数列{a_n}中，a_4=16，a_6=64，求a₁和公比q。（4分）【答案】a₁=4，q=2。【解析】a_6=a_4q²，64=16q²，解得q=2，a₁=a_4/q³=16/8=2。4.已知直线l：y=kx+b与圆O：x²+y²=1相切，求k²+b²的最小值。（4分）【答案】最小值为1。【解析】直线到圆心的距离等于半径，|b|/√(1+k²)=1，即b²=1+k²，所以k²+b²=2b²≥2，最小值为1。5.已知函数f(x)=x³-3x+2，求f(x)的单调区间。（4分）【答案】单调增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调减区间为(-1,1)。【解析】f'(x)=3x²-3，令f'(x)>0得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，令f'(x)<0得x∈(-1,1)。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的解析式，并画出其图像。（10分）【答案】f(x)={-2x-1,x<-23,-2≤x≤12x+1,x>1}图像为折线段，三个顶点为(-2,-3)，(1,3)，(1,3)。2.已知函数f(x)=x²-px+q，若f(x)在x=1和x=3处取得相同值，求f(x)的最小值。（10分）【答案】最小值为-2。【解析】f(1)=f(3)，1-p+q=9-3p+q，解得p=4，f(x)=x²-4x+q，最小值为-2。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，求c的值，并判断△ABC是否为直角三角形。（25分）【答案】c=5，△ABC是直角三角形。【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=3²+4²-2×3×4×cos60°=25-12=13，所以c=√13。由勾股定理a²+b²=c²，所以△ABC是直角三角形。2.已知函数f(x)=x³-px+q，若f(1)=3，f(-1)=-1，求f(x)的解析式，并判断f(x)是否有极值。（25分）【答案】f(x)=x³-2x，无极值。【解析】f(1)=1-p+q=3，f(-1)=-1+p+q=-1，解得p=2，q=4，f(x)=x³-2x，f'(x)=3x²-2，无极值点。---标准答案（最后一页附）一、单选题1.B2.A、B3.A4.C5.D6.C7.A8.D9.B10.D二、多选题1.C、D2.B3.B、C4.A、B、C5.A、B三、填空题1.(2,-3)；√132.0；53.[1/2,1]；[-π/2,π/2]4.√135.3四、判断题1.（×）2.（×）3.（×）4.（×）5.（√）五、简答题1.最小值为3，取得最小值时x∈[