公式法课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

3.公式法

——完全平方公式将下列各式分解因式，并说说你用到的方法？知识回顾（3）3ax2＋6axy＋3ay2

思考：这个正方形的面积是多少？你能把下面4个图形拼成一个正方吗？动手试一试.aabbabababa²b²ab新知探究这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=ababa²ababb²（a+b）2a2+2ab+b2=将上面的完全平方公式倒过来看，能得到：a2+2ab+b2a2－2ab+b2

我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个式子，回答：1、每个多项式有几项？3、中间项和第一项，第三项有什么关系？2、每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍探索新知1.请说出完全平方公式.完全平方公式1：

，完全平方公式2：

.2、反过来，x²＋2xy＋y²=

x²－2xy＋y²=

(x＋y)²=x²＋2xy＋y²(x－y)²=x²－2xy＋y²(x＋y)²(x－y)²从左边到右边的这个过程叫___________.从左边到右边的这个过程叫___________.因此，是因式分解中的一个公式.整式乘法因式分解对照，填空：1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²2.m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²mx22x+2m33m-3xaa2b2ba+2跟踪训练下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4;（2）1+4a²;

（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是不是不是分析：（2）因为它只有两项；（3）4b²与-1的符号不统一；不是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.是跟踪训练3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()².2.m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²；1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²；x2x+2aa2ba+2b2b对照

a²±2ab+b²=(a±

b)²，填空：mm-33x2m3针对训练

例3分解因式：(1)x2+4x+4；(2)16x2–24x+9.解：(1)x2+4x+4=x2+2·x·2+22分析：是完全平方式(2)16x2–24x+9=(4x)2–2·4x·3+32=(4x–3)2a2222·x·2=(x+2)2是完全平方式(4x)2322·4x·3教材P130例题例题精讲练习2.分解因式：（1）a2+2a+1；

（2）x2–12x+36；（3）4x2–4x+1；

（4）4p2+12pq+9q2；解：(1)a2+2a+1=a2+2·a·1+12=(a+1)2(2)x2–12x+36=x2–2·x·6+62=(x–6)2(3)4x2–4x+1=(2x)2–2·2x·1+12=(2x–1)2(4)4p2+12pq+9q2=(2p)2+2·2p·3q+(3q)2=(2p+3q)2【教材P131练习第2题】针对训练

例4

分解因式：(1)(a+b)2–12(a+b)+36；(2)–x2+4xy–4y2.解：(1)(a+b)2–12(a+b)+36=(a+b)2–2·(a+b)·6+62是完全平方式(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–[x2–2·x·2y+(2y)2]m2622·m·6=(a+b–6)2整体思想：设

a+b=m先提负号：是完全平方式–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2x22·x·2y(2y)2教材P130例题例题精讲归纳总结运用完全平方公式分解因式应注意什么？（1）先找平方项，再运用公式；（2）平方项可以是单项式，也可以是多项式；（3）若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式.

把多项式9x2－6x＋1因式分解.解：9x2－6x＋1=(3x－1)2.=(3x)2－2·3x·1+12例题讲解分析9x2=(3x)2

，3x=2·3x·，原式即可用完全平方公式进行因式分解.把下列多项式因式分解：（1）x2+2x+1；解：原式=x2+2·x·1+12=(x+1)2（2）x2+8x+16；原式=x2+2·x·4+42=(x+4)2（3）x2－10x+25；原式=x2－2·x·5+52=(x－5)2（4）16y2－24y+9；原式=(4y)2－2·4y·3+32=(4y－3)2【选自教材P13练习

第2题】跟踪训练把下列多项式因式分解：(2)－4x2＋12xy－9y2；解：原式＝－(4x²－12xy＋9y²)＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²]＝－(2x－3y)².(1)x5＋2x3y＋xy2.原式＝x(x4＋2x²y＋y²)＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²]＝x(x²＋y)².例题讲解（3）x4－2x2＋1原式＝(x²)²－2·x²·1＋1²＝(x²－1)²＝[(x＋1)(x－1)]²＝(x＋1)²(x－1)².

因式分解

时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.课堂小结整式的乘法相反变形因式分解a2+2ab

+b2=_______.a2-2ab

+b2=_______.(a+b)2(a+b)2=a2+2ab

+b2(a-

b)2=a2-2ab

-

b2完全平方公式(a-

b)2

两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的___(或___)的平方.和差当堂反馈

1.下列四个多项式，能因式分解的是(

D

)A.a＋2B.a2＋a＋1C.x2－yD.x2＋12x＋36D2.把多项式因式分解，正确的结果是(

A

)A.4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2B.a2－4b2＝(a－4b)(a＋b)C.a2－2a－1＝(a－1)2D.(a－b)(a＋b)＝a2－b2A当堂反馈3.若x2＋kx＋16能用完全平方公式因式分解，则k的值为(

D

)A.4B.－8C.4或－4D.8或－8D4.因式分解：(1)2x3＋4x2＋2x＝

；(2)(a2＋1)2－4a2＝

.5.如果a2－8ab＋16b2＝0，且b＝2.5，那么a＝

.2x(x＋1)2

(a－1)2(a＋1)2

10

当堂反馈

解：原式＝(m＋n－3)2.当堂反馈7.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2－4a－8b＋20＝0，求△ABC中最长边c的取值