2024-2025学年广东广州执信中学高一下学期期中数学试题及答案

高中高中广东省广州市执信中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．若角的终边经过点，则的值是A． B． C． D．3．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．在正方体中，既与AB共面也与共面的棱的条数为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，现在沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则四面体的高为A． B．C． D．16．设，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．7．如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（

）A． B． C． D．8．在中内角所对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，复数，则下列说法正确的是（

）A．若复数z为纯虚数，则B．若复数z为实数，则C．若复数z的模为，则D．若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则10．已知中，，.则（

）A．若，则有两解B．若是钝角三角形，则C．若是锐角三角形，则D．的最大值是11．已知函数，下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．的最小正周期为C．关于对称 D．的值域为三、填空题12．已知，且在第三象限，则13．已知一个底面半径为r的圆锥的侧面积与半径为r的球的表面积相等，则圆锥侧面展开图的圆心角为．14．在中，是边的中点，是线段的中点.设，试用表示为；若的面积为，则当时，取得最小值.四、解答题15．已知向量，.(1)若，求实数的值；(2)若向量，且，求的最小值.16．由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)设平面与底面ABCD的交线为l，求证：.17．已知的内角，，所对的边分别为，，满足，且边上一点使得.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.18．已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.(1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在内的图象简图（要求列表）；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数；若是偶函数，求的最小值.(3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.19．现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.(1)求出所有可能的三角形的面积.(2)如图，在平面凸四边形中，，，，.①当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值.②当时，所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.高中高中参考答案1．C【分析】可根据交并补的概念算出各选项结果判断即可.【详解】由题意得．故选：C.2．A【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.3．A【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.【详解】设与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为.故选：A.4．C【分析】分与AB平行且与相交，与AB相交且与平行，与AB相交也与相交，列举出满足要求的直线，得到答案.【详解】AB与不共面，因此没有同时与这两条直线平行的直线，与AB平行且与相交的有CD，，与AB相交且与平行的有，，与AB相交也与相交的有BC，所以共有5条．故选：C．5．B【分析】折叠后，利用即可求得P到平面的距离．【详解】由题意可知两两垂直，∴平面∴设P到平面的距离为h，又∴∴故故选B【点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．6．D【分析】找中间值，得到，，，即可求得结果.【详解】因为，故；因为，故；因为，故；故故选：D7．A【分析】根据平行线分线段成比例可求得，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果.【详解】，，，，；，几何体为三棱台，设三棱柱的高为，，，.故选：A.8．C【分析】由正弦定理边化角得到，再由，得到，求得，结合可求解；【详解】由，得，结合正弦定理边化角可得：，所以，又，所以，所以中一个角为钝角，假设为钝角，所以，所以，解得：，，故选：C9．ABD【分析】先化简复数，再根据复数类型判断A，B选项，再根据模长判断C选项，根据复数所在象限得出参数范围判断D选项即可.【详解】，A中，若复数z为纯虚数，则，且，得．故A正确；B中，若复数z为实数，则，得．故B正确；C中，若复数z的模为，则，得．故C不正确；D中，若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，且，得．故D正确．故选：ABD.10．CD【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D.【详解】因为中，，，，由正弦定理得，，即，故，所以，故有一解，故选项A错误；因为，又因为为钝角三角形，当为钝角时，，即，故B错误；C选项，因为为锐角三角形，所以，所以，，又因为即，，故C正确；因为，当时，的最大值是，故D正确.故选：CD.11．ACD【分析】根据与的关系即可判断A；由与的关系即可判断B；与的关系即可判断C；令，利用换元法，即可判断D.【详解】的定义域为关于原点对称，对于A，因为，所以为偶函数，故A正确；对于B，因为，所以的周期为，故B错误；对于C，因为，所以关于对称，故C正确；对于D，令，则，，由于，所以，进而，所以，因为函数在上都是减函数，所以函数在上是减函数，且，所以函数在上是减函数因此的值域为，故D正确.故选：ACD.12．/0.75【分析】利用同角三角函数的关系求解即可.【详解】由，在第三象限，得，所以.故答案为：13．/【分析】先结合圆锥侧面积和球的表面积公式，求出圆锥母线和底面半径的关系，再由弧长公式求圆锥侧面展开图的圆心角.【详解】设圆锥的母线长为l，则，解得，则圆锥侧面展开图所对圆心角．故答案为：14．2【分析】根据向量加减法的线性运算即可求解，由的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值时、的值，再利用余弦定理求出的值．【详解】是边的中点，是线段的中点，则，所以如图所示，中，，所以的面积为，所以；所以；当且仅当时取等号，所以的最小值为6；所以此时，，，所以，所以．故答案为：；2．

15．(1)；(2).【分析】（1）由题可得，然后根据向量数量积的坐标表示即得；（2）利用向量模长的坐标表示结合二次函数的性质即得.【详解】（1）因为向量，，所以，又，所以，即，所以；（2）因为，，所以，即的最小值为.16．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；（2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面；（3）由线面平行证线线平行即可．【详解】（1）取的中点，连接，，是四棱柱，平行且等于，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）平行且等于，平行且等于，平行且等于，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面，由（1）得平面且，、平面，平面平面；（3）由（2）得平面，又平面，平面平面，．17．（1）；（2）【分析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到的值，从而得到的值；（2）根据条件得到为等边三角形，从而得到，根据正弦定理，得到的值，根据余弦定理，得到的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为在，由正弦定理所以得.所以.即所以，因为，所以（2）由（1）知，而为等边三角形.由于是的外角，所以.在中，由正弦定理得，即，所以.所以由余弦定理得，，即，所以，故，，所以.【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.18．(1)，作图见解析(2)(3)【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得；（2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值；（3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得.【详解】（1）设函数的最小正周期为，由题意，，且，解得，则，即有，将点代入，化简可得，则，即，因，故得，即.取函数在一个周期上的五点列表如下：0200在直角坐标系中作图如下：（2）依题意是偶函数，故，解得，即，因，则得，则时，取得最小值为.（3）由（2）分析可得，因，则，结合余弦函数的性质可得，故得，因对任意的，恒有成立，故得，解得或，即的取值范围为.19．(1)答案见解析(2)①，；②存在，【分析】（1）分三角形三边分别为3，3，4和2，4，4两种情况，利用三角形面积公式，求得三角形面积即可；（2）①利用余弦定理及三角恒等变换，结合已知条件计算可得；②假设存在符合条件的点，把绕点逆时针旋转，结合图形及线段关系可得最小值．【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为，3，4和2，，4，当三角形三边为，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，.当三角形三边为2，，4时，由余弦定理