2024-2025学年广东广州禺山高级中学高一下学期期中数学试题含答案

高中2024-2025学年第二学期高一期中数学学科试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合P=，，则PQ=（）A. B.C. D.2.的值是（）A. B. C. D.3.已知，，则（）A.1 B.2 C. D.4.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（）A. B.1 C.17 D.255.中，点满足，则（）A. B. C. D.6.若的面积为，，，则边的长度等于（）A. B. C.2 D.37.如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（）A. B.C. D.平面8.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为 B.z在复平面内对应的点位于第四象限C. D.10.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.最小值2 B.是奇函数C.上单调递减 D.在上单调递增11.在中，角的对边分别是，若，，则（）A.面积的最大值为 B.周长的最大值为6C.的取值范围为 D.的最大值为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，是水平放置的△OAB的直观图，，则的面积是_____．13.已知平面向量，，则向量在向量上投影向量的坐标为______．14.一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.平面向量，．（1）若，求；（2）若，求与所成夹角的余弦值．16.中，（1）求的值；（2）若，，求的值.17.在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．18.如图，在四棱锥中，，，，，分别是和的中点，（1）证明：；（2）证明：平面．19.双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）.（1）求的值；（2）证明：两角和的双曲余弦公式；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

2024-2025学年第二学期高一期中数学学科试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合P=，，则PQ=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式将角度转换成锐角再计算即可.【详解】.故选：A3已知，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求向量的坐标，再求其模.【详解】因为所以故选：C.4.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（）A. B.1 C.17 D.25【答案】D【解析】【分析】由题意确定对称轴为，进而得到，即可求解.【详解】由题意可知二次函数对称轴为：，即，解得：，所以，故选：D5.在中，点满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求解.【详解】因为所以.故选：C.6.若的面积为，，，则边的长度等于（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由面积公式得，再由余弦定理得．【详解】解：∵的面积为，，，∴由正弦定理的面积公式，得，即，解之得，由余弦定理，得，∴（舍负），故选：C．7.如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（）A. B.C. D.平面【答案】C【解析】【分析】根据记正方体的另一个顶点为C，设的中点为，可证，结合平行关系分析判断ABC；对于D：根据线面垂直的性质定理和性质定理可证平面，即可得结果.【详解】如图，记正方体的另一个顶点为C，连接，交于点O，设的中点为，连接，因为Q，D为的中点，则，又因为交于同一点，即与均不平行，故A，B错误；对于选项D：若平面，且平面，平面平面，可得，这与与不平行相矛盾，假设不成立，故D错误；对于选项C：因为为正方形，则，且M，N为所在棱的中点，则，可得，又因为平面，且平面，可得，且，平面，所以平面，由平面，所以，故C正确；故选：C.8.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【答案】D【解析】【分析】计算的值，可得出结论.【详解】因为，，，因此，点的轨迹经过的垂心，故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为 B.z在复平面内对应的点位于第四象限C. D.【答案】BC【解析】【分析】先求解z的值，再根据复数的相关定义逐个计算判断即可详解】由可得对A，z的虚部为，故A错误；对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确；对C，，故C正确；对D，，故D错误；故选：BC10.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.最小值是2 B.是奇函数C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项.【详解】对于A，因，故A错误；对于B，因函数的定义域为，关于原点对称，且，故是奇函数，B正确；对于C，任取，，因，故，即在上单调递减，故C正确；对于D，任取，，因，故，即在上单调递增，故D正确.故选：BCD.11.在中，角的对边分别是，若，，则（）A.面积的最大值为 B.周长的最大值为6C.的取值范围为 D.的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】由余弦定理得出，结合求出可判断A；结合可判断B；利用以及可判断C；令，消元得出关于的一元二次方程，利用即可判断D.【详解】由余弦定理可得，，因，则，等号成立时，则，故A正确；因，则，结合可得，，等号成立时，又，即，则，故B正确；因，，则，故C正确；令，则，代入中得，此关于的一元二次方程有解，则，解得，等号成立时，，故D错误.故选：ABC第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，是水平放置的△OAB的直观图，，则的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】根据直观图判断出是直角三角形，且，从而求出的面积．【详解】由直观图可知，是直角三角形，且，所以的面积是，故答案为：12．13.已知平面向量，，则向量在向量上投影向量的坐标为______．【答案】【解析】【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解.【详解】解：因为平面向量，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为：，故答案为：14.一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】【解析】【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为，因为圆锥母线长为，侧面积，所以，解得，所以，圆锥的高，设球半径为R，球心为，其过圆锥的轴截面如图所示，由题意可得，，即，解得，所以，．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.平面向量，．（1）若，求；（2）若，求与所成夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据共线向量的坐标表示，可得答案；（2）根据向量线性运算以及垂直向量数量积的坐标表示，求得参数，利用向量夹角的坐标公式，可得答案.【小问1详解】由，则，解得.【小问2详解】由题意可得，由，则，解得，所以与所成夹角的余弦值.16.在中，（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；（2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.【详解】（1）因为在中，，所以，；（2）由（1）知，，所以因为，所以又因为，由正弦定理，可得17.在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（Ⅱ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得．【详解】（Ⅰ）由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此（舍去）或，所以，.（Ⅱ）由，得，，故，，.18.如图，在四棱锥中，，，，，分别是和的中点，（1）证明：；（2）证明：平面．【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）由于，，又可得，进而命题得证;（2）由已知得是平行四边形，从而，由三角形中位线定理得，由此能证明平面平面．【详解】（1）证明：平面，平面又平面平面（2），为的中点又∴四边形为平行四边形分别是和的中点平面平面【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直，以及面面平行的判断的证明，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．19.双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）.（1）求的值；（2）证明：两角和的