2024-2025学年广东广州黄广牛剑高级中学高一下学期5月月考数学试题含答案

高中2024-2025学年黄广牛剑高中高一下学期5月月考数学试题满分：150分时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.3.如图，为的边上的中线，且，那么为（）A. B. C. D.4.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则5.中，内角所对边分别为，若，则的大小为（）A. B. C.或 D.或6.在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.7.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）AB.图象的对称中心为C.直线是图象的一条对称轴D.将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象8.已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（）A B.2 C. D.3二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（）A.复数的虚部为 B.C. D.若复数z满足，则最小值为10.在中，，，，为边上一动点，则（）A.B.当为角的角平分线时，C.当为边中点时，D.若点为内任一点，的最小值为11.已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，中点．则以下选项正确的是（）A.直线平面B.平面平面C.直线、、三线共点D.过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知球的表面积为,则该球的体积为______.13.已知向量，则在方向上的投影向量为______.14.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，.3D打印所用原料密度为0.9.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知平面向量（1）求的值（2）计算值16.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正弦值．17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求（2）若，的面积为，求的周长．18.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19.如图，在直三棱柱中，为，N，M分别为AB，的中点，且.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.（3）若，求二面角的正切值.

2024-2025学年黄广牛剑高中高一下学期5月月考数学试题满分：150分时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算计算即可得解.【详解】，则.故选：A.2.如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据斜二测画法及已知确定原图的高和底边长，即可求面积.【详解】由斜二测画法知，原四边形的高为，，所以四边形的面积为.故选：A3.如图，为的边上的中线，且，那么为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解.【详解】由，所以，故选：A.4.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定即可.【详解】对于A，由，，得或，A错误；对于B，由，，，得或是异面直线，B错误；对于C，当相交，其交线垂直于平面，满足，，不平行，C错误；对于D，由，，得，又，则，D正确.故选：D5.中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求解即得.【详解】在中，由余弦定理得，而，所以.故选：A6.在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离．【详解】如图，连接，正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形，，设点到平面距离为，由，得，可得，则点到平面的距离为．故选：C．7.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.图象的对称中心为C.直线是图象的一条对称轴D.将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象【答案】B【解析】【分析】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断.【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，且为正弦型函数的振幅，所以.设函数的周期为，根据正弦函数图象性质，，则，所以，此时.已知函数图象过点，将其代入可得，即.因为，所以，，解得，那么.对于A，将代入，得，所以选项A错误.对于B，对于正弦函数，其对称中心的横坐标满足，.令，，解得，，此时，所以图象的对称中心为，，选项B正确.对于C，对于正弦函数，其对称轴方程满足，.令，，解得，.当时，，，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误.对于D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.根据诱导公式，，所以选项D错误.故选：B.8.已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】取中点，的中点，连接，，，.在正方体中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值.【详解】取的中点，的中点，连接，，，，如图所示.在正方体中，∵，且，∴四边形是平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.∵，分别是和的中点，∴.同理可知，∴.又平面，平面，∴平面.又，平面，平面，∴平面平面.∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，∴点在线段上运动.在中，易求，，为等腰三角形，∴点为线段的中点时，取得最小值.此时，即的最小值为.故选：A.【点睛】本题的解题关键是：根据平面分析出动点的运动轨迹，在三角形中利用平面几何即可求解.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（）A.复数的虚部为 B.C. D.若复数z满足，则最小值为【答案】AD【解析】【分析】由复数的定义判断A；由两个复数不能比较大小，可判断B；由复数的模及四则运算判断C；由复数的几何意义判断D.【详解】解：对于A，由复数的定义可知复数的虚部为，故A正确；对于B，因为两个复数不能比较大小，故B错误；对于C，设，则，而，故只有当，即复数为实数时，成立，故C错误；对于D，因为，所以复数所对应的点在以原点为圆心的单位圆上，又因为，所以表示点到单位圆上点的距离，又因为点到原点的距离，所以最小值为，故D正确.故选：AD.10.在中，，，，为边上一动点，则（）A.B.当为角的角平分线时，C.当为边中点时，D.若点为内任一点，的最小值为【答案】AB【解析】【分析】根据余弦定理求解，判定A正确；结合三角形面积公式，利用等面积法建立方程求解，可判定B正确；结合，结合模的计算公式，可判定C错误；建立平面直角坐标系，表示出、和从而得到，利用即可求得最小值，可判定D错误.【详解】对于A中，在中，由余弦定理得即，所以，所以A正确；对于B中，当为角的角平分线时，由等面积法得，即，解得，所以B正确；对于C中，由为边中点时，可得，则，所以，所以C错误；对于D中，以为原点，以为轴，过A垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，所以，设，则，，，，因为，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.所以D错误.故选：AB11.已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是（）A.直线平面B.平面平面C.直线、、三线共点D.过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为．【答案】ACD【解析】【分析】利用线面平行判定推理判断A；作出过点的正方体的截面，计算判断BD；借助三角形中位线性质判断C.【详解】在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，对于A，连接，，平面，平面，则平面，A正确；对于B，直线与的延长线交于点，连接与分别交于点，由，得，则，由，得，，则直线与不平行，而平面，于是与必相交，又平面，平面，即平面与平面有公共点，B错误；对于C，由，令直线，则是的中点，同理直线，是的中点，因此重合，C正确；对于D，由选项B知，五边形是过三点的正方体截面，，而，则，同理，因此五边形周长等于，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知球的表面积为,则该球的体积为______.【答案】【解析】【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积．【详解】设球半径为，∵球的表面积为，∴，∴，∴该球的体积为．故答案为．【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．13.已知向量，则在方向上的投影向量为______.【答案】##【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】在方向上的投影向量为故答案为：14.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，.3D打印所用原料密度为0.9.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，，四棱锥O−EFG的高3cm，∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知平面向量（1）求的值（2）计算的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量夹角的坐标运算代入即可求得结果；（2）根据向量坐标运算法则以及模长公式计算即可.【小问1详解】易知，又，所以，【小问2详解】易知，所以.16.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.【小问1详解】连接交于，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；【小问2详解】由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，因此有，在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有，由余弦定理可知：，因此.17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果；（2）由三角形的面积可求得，再结合（1）中得到的式子可求出的值，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】因为，，（为外接圆的半径），又因为，所以，即，所以，由余弦定理得，因为，所以．【小问2详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以的周长为618.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点．（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，证明，即可得证线面平行；（2）用等体积法求点面距，进而可得线面夹角．【小问1详解】连接交于点，连接，因为底面为正方形，则为的中点