2024-2025学年广东广大附中高一下学期3月测试数学试题含答案

高中2024级广州大学附属中学高一下学期3月测试卷数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，，若，则k＝（）A. B.6 C. D.－62.（）A. B. C. D.3.若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（）A. B.C. D.4.已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是()A. B.C. D.5.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（）A. B.4 C. D.36.已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（）A B. C. D.7.已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.8.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，是复数，则下列说法正确是（）A.若是纯虚数，则B.若，则C.若，则D.若，则10.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.B.在向量上的投影向量为C.若，则P为的中点D.若P在线段上，且，则的取值范围为11.已知函数，，，，下列选项中正确的有（）A.函数、、都是偶函数B.若且，则C.若且，则+=1D.若，则三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为________.13.如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为___________平方海里.14.如图，菱形的边长为6，，，则的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知两个非零向量与不共线.（1）若，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和共线.16.已知，复数，.（1）若在复平面内对应点位于第三象限，求的取值范围；（2）设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求.17.中，，，，点，在边上且，.（1）若，用，表示，并求线段的长；（2）若，，求的值.18.已知函数．（1）求函数的解析式及对称中心；（2）若，且，求的值．（3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围．19.若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.求解析式；求函数在内的“和谐区间”；若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.

2024级广州大学附属中学高一下学期3月测试卷数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，，若，则k＝（）A. B.6 C. D.－6【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为，，，所以，解得.故选：A.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦两角和公式和诱导公式化简即可得解.【详解】.故选：D3.若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】且与不同向，进而求解即可得答案.【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，由，共线得，得，故.故选:D.4.已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意判断出三角形有两解时，满足的不等关系求解即可．【详解】因为，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，所以只需满足，即，解得.故选：C5.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（）A. B.4 C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值.【详解】如图，延长交于点，因点是的重心，则，①因三点共线，则，使，因，，代入得，，②由①，②联立，可得，，消去即得，，则，当且仅当时等号成立，即时，取得最小值，为.故选：C.6.已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由垂直关系推出数量积关系，代入化简求得关于t的表达式，根据二次函数的图象与性质即可求出的取值范围，再根据余弦函数的图象与性质即可求得两向量夹角的最小值.【详解】因为，所以，，，又因为，所以，所以，的夹角的最小值为.故选：C【点睛】本题考查平面向量数量积、向量的夹角，涉及余弦函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.7.已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围.【详解】时，，函数在上单调递减，，令可得，作出函数与函数的图象如图所示：由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．故选：D．8.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，即，又由，所以，由因为，所以，所以，即，因为，由余弦定理可得，解得，则的面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，是复数，则下列说法正确的是（）A.若纯虚数，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可，对于C设，求得即可判断正误，对于D设代入验证即可求得.【详解】A.，则，故A正确；B.当时，，但得不出，故B错误；C.设，则，，所以，C正确；D.设则得，又，，故成立，D正确.故选：ACD.10.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.B.在向量上的投影向量为C.若，则P为的中点D.若P在线段上，且，则的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示计算可得、投影向量、满足的点可能是ED的中点也可能是AH的中点、，依次判断即可.【详解】如图，以所在直线为y轴，GC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，整理得，，设.A：，得，故A正确；B：，得，即投影向量为，故B正确；C：，，由，整理得，即，满足此等式的点可能是ED的中点，也可能是AH的中点，故C错误；D：，由，得，整理，得，所以，故D正确.故选：ABD11.已知函数，，，，下列选项中正确的有（）A.函数、、都是偶函数B.若且，则C.若且，则+=1D.若，则【答案】CD【解析】【分析】首先求出、、解析式，再对各选项一一计算即可判断；【详解】因为，，，，所以，，，所以的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误；当时，，即，即，同理可得，所以，当时，，故B错误；当，即，所以或，解得，（且），，故C正确；设，因为，所以，当时，则，，，，所以，，，则当时，同理可知，，故D正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：解决本题D选项的关键在于，解出、、、的值进行求解.三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为________.【答案】5【解析】【分析】作出三棱锥的侧面展开图，进行求解即可．【详解】解：作出三棱锥的侧面展开图，如图，则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.在中，，由，得即此绳在A、B之间的最短绳长为5．故答案为：513.如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为___________平方海里.【答案】①②.【解析】【分析】先求得，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，从而求得三角形的面积.【详解】圆的内接四边形对角互补，为锐角，，在三角形中，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，整理得,（负根舍去）.所以平方海里.故答案为：；14.如图，菱形的边长为6，，，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】设，则，然后根据平面向量基本定理把用基底表示，再利用向量数量积的运算律求解，结合余弦函数的性质可求得答案.【详解】设，则，因为，，所以，，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知两个非零向量与不共线.（1）若，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和共线.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论；（2）利用共线定理构造方程组即可解得.【小问1详解】由可得；显然，即共线，又因为它们有公共点，所以可得三点共线；【小问2详解】若和共线，且向量与不共线，则存在实数满足，因此，解得；即存在，使和共线.16.已知，复数，.（1）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；（2）设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得.（2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模.【小问1详解】依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限，则，解得，所以m的取值范围为.【小问2详解】依题意，，，由，得，解得或，而时，为原点，不符合题意，因此，，，，所以．17.在中，，，，点，在边上且，.（1）若，用，表示，并求线段的长；（2）若，，求的值.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】(1)由向量的线性运算得到，再由向量的模的运算求解；(2)因为，所以，，再分别计算数量积与向量的模，再由求解．【小问1详解】依题意，，则，故，由，则，故线段的长为：．【小问2详解】因为，所以，，则，，，故．18.已知函数．（1）求函数的解析式及对称中心；（2）若，且，求的值．（3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围．【答案】（1）,对称中心（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；（2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可；（3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解