必刷小卷4 解答题专攻练(4) 18+19 34分练 函数与导数（原卷版及解析）

高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！必刷小卷4解答题第18、19题专攻练[4]必刷小卷4解答题第18、19题专攻练[4]函数与导数🎯题型一函数单调性、极值点与零点不等式证明1.（2026·陕西咸阳二模）已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，试求出正整数的最小值，使存在唯一的极值点；（3）若在上有零点，求证：.规范规范答题🎯题型二切线方程、零点个数与导数不等式放缩2.（2026·山东青岛第二中学一模）已知函数，为的导数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论零点的个数；规范答题（3）设为的零点，证明：当时，．规范答题🎯题型三切线求解、含参单调性与恒成立求参3.（2026·江西吉安3月模拟）已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若，，讨论的单调性；规范答题（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围.规范答题🎯题型四极值点判定、个数分析与不等式证明4.（2026·河南焦作一模）已知函数．（1）证明：仅有一个极值点；（2）若有两个极值点，求的取值范围；（3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：．规范规范答题🎯题型五单调区间、不等式证明与整数最值求解5.（2026·安徽合肥市第八中学阶段检测）已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：时，；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．规范规范答题🎯题型六单调性分析、双零点范围与不等式证明6.（2026·广东深圳第一次调研）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点.（i）求的取值范围；规范答题（ii）证明：.规范答题🎯题型七唯一极值点、双零点约束与参数范围7.（2026·福建泉州质量检测）已知函数.（1）证明：有且只有一个极值点；（2）若恰有两个零点.（i）证明：；（ii）记的极值点为，若，求的取值范围.规范规范答题🎯题型八不等式证明、极值点判定与双参不等式8.（2026·河南洛阳一模）已知函数，．（1）证明：当时，（2）若是的极大值点，求的取值范围．（3）若，且，其中，证明：．规范规范答题

必刷小卷4解答题第18、19题专攻练[4]函数与导数必刷小卷4解答题第18、19题专攻练[4]函数与导数🎯题型一函数单调性、极值点与零点不等式证明1.（2026·陕西咸阳二模）已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，试求出正整数的最小值，使存在唯一的极值点；（3）若在上有零点，求证：.【解析】（1）当时，函数，其定义域为，求导得，当时，在上恒成立，所以在上单调递增.当时，令，解得，当时，，即在上单调递增；当时，，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，设，，1°当时，，易知，且时，，时，，则在上单调递增，在上单调递减，故1为的极大值点，而，，则存在，使，即应为的另一极值点，故时不成立；2°当时，，则，①当时，，恒成立，所以在上单调递减，又，，所以在内存在唯一零点，即在内存在唯一极值点；②当时，，所以，则，故在上单调递减，无极值；③当时，，则，故在上单调递减，无极值..故符合要求.综上，正整数的最小值为2，使存在唯一的极值点.（3）在上有零点，所以，即有实数根，设在上的零点为，则，则点为直线上一点，所以表示点到原点的距离，显然，该距离不小于原点到直线的距离，即，即，不妨设，，则，所以函数在上单调递减，则，即，又，则，设，，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即.🎯题型二切线方程、零点个数与导数不等式放缩2.（2026·山东青岛第二中学一模）已知函数，为的导数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论零点的个数；（3）设为的零点，证明：当时，．【解析】（1）当时，，则，故，，曲线在点处的切线方程为．（2）因为，且，故零点的个数等价于函数在零点的个数．当时，，没有零点．当时，，令，则，且当时，，单调递减，当时，，单调递增．又，当时，，此时没有零点；当时，，此时有一个零点．若，则，又，，，结合的单调性可知，在区间和各恰有一个零点，即在区间存在一个零点，在区间存在一个零点．综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点．（3）（i）若，由（2）可知，在区间没有零点，且，故在区间单调递增，，且此时．因为，故．设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故．故当时，．（ii）若，由（2）可知，在区间存在一个零点，即在存在唯一极大值点，故当时，．由（2）可知，，且，故当时，都有．又因为，且在区间单调递增，故存在唯一零点，且满足．设，则，．由上可知，在区间单调递减，且，故，此时也有．综上，由（i），（ii）可知，当时，．🎯题型三切线求解、含参单调性与恒成立求参3.（2026·江西吉安3月模拟）已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若，，讨论的单调性；（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围.【解析】（1）因为，所以，所以定义域为，，当时，，而，所以切线方程为；（2）当，时，，因为，所以，若，即时，，此时在上单调递增，若，即时，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，增区间为和，减区间为；（3）因为，对，恒成立，且，故，即，所以，对，恒成立，当时满足条件；当时，，即；当时，，即，所以，，令得，，所以①当时，，，则在上单调递增，当时，，不满足题意；②当时，，令，则，所以在上单调递增，当时，，不满足题意；③当时，，令得，所以在上单调递减，当时，，不满足题意；④当时，，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，令，则，因此，不满足题意；⑤当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，满足题意.综上可知，的取值范围为.🎯题型四极值点判定、个数分析与不等式证明4.（2026·河南焦作一模）已知函数．（1）证明：仅有一个极值点；（2）若有两个极值点，求的取值范围；（3）记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：．【解析】（1）由，得，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又，，则存在，使得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则仅有一个极值点.（2）由，，得，设，则，当时，，则函数在上单调递减，则最多只有1个根，不符合题意；当时，令，得，令，得，则函数上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，时，，要使有两个极值点，需使，又，则得，即.综上所述，的取值范围为.（3）由题意，对任意的恒成立，即，设，则，因为，由（2）知，函数在上单调递减，则函数在上单调递减，又，时，，则存在，使得，即，当时，，当时，，所以函数上单调递增，在上单调递减，则，即，所以，设，则，即，，所以，设，则，令，得，由（1）知该方程当且仅当，即时等号成立，即，则有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，则.🎯题型五单调区间、不等式证明与整数最值求解5.（2026·安徽合肥市第八中学阶段检测）已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：时，；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．【解析】（1）函数的定义域是，，当时，；当时，．所以，的增区间为，减区间为.（2）要证时，，即证在上恒成立，令，，，令，，当时，，，所以在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所以，所以，综上，时，；（3）不等式等价于不等式，由可得：，设，，则，设，函数的定义域是，，设，则，令，则，时，，在上为增函数，时，，在上为减函数，∴处取得极大值，而，∴，函数在上为减函数．于是当时，，当时，，∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，故函数的增区间为，减区间为，所以，所以，即∴，，于是在上为减函数，故函数在上的最小值为，所以，所以整数的最大值为．🎯题型六单调性分析、双零点范围与不等式证明6.（2026·广东深圳第一次调研）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点.（i）求的取值范围；（ii）证明：.【解析】（1）由于令，则，令，，在上单调递增；令，，在上单调递减；于是的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）（i）解法1由于若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾；于是，令，则等价于，易得，因为，则，令，则在上单调递增，在上单调递减，则，因为即，，所以，显然不符合题意，故，即，令，，则在上单调递增，且，由于，所以，由于，令，在上单调递增，则，于是，，由零点存在定理，存在使得，当时，易证，则即，由于，取，且，则，由零点存在定理，存在使得，所以当时，在上有两个零点.解法2由于，，若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾：于是，令，，，则，令，则，由于，令，，当时，，即，于是在上单调递增，当时，，即，于是在上单调递减，于是，若，即，由，则，可得，同解法1；解法3由于，，若，，，于是在上单调递增，至多与轴只有一个交点，矛盾；于是，设，，若，则，在上单调递减，且，不妨令，则，于是取，则，且在上连续，由零点存在定理，存在唯一，，于是在单调递增，在单调递减，则存在唯一极大值点；若，令，则，于是在上单调递增，在单调递减，由于，则，，且，且在上连续，由零点存在定理，存在唯一，，于是在单调递增，在单调递减，则存在唯一极大值点；综上所述：若，有一个极大值点；，于是，若，则至多只有一个零点，矛盾；若，由于，同解法1；解法4令，则，，于是函数与函数的图象在上有两个交点，由于，设，，，于是在上单调递减，且，于是时，，，在上单调递增；时，，，在上单调递增：且，，所以函数的图象如图所示，所以，（ii）根据（i）可知，，其中，则，下证：即证：.设，令，，于是在上单调递增，在上单调递减，则，即证🎯题型七唯一极值点、双零点约束与参数范围7.（2026·福建泉州质量检测）已知函数.（1）证明：有且只有一个极值点；（2）若恰有两个零点.（i）证明：；（ii）记的极值点为，若，求的取值范围.【解析】（1）解法一：函数的定义域，令，因为，所以在单调递增，即在单调递增.又.所以存在唯一的实数，使得，即.当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增；故为的极小值点，即有唯一的极值点；解法二：同法1得到在单调递增.由于，，所以存在唯一的实数，使得，即，当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增；故为的唯一极值点.（2）（i）解法一：由（1），得.①当时，至多一个零点，不合题意，舍去；②当，即时，由消去得，，令，因为，所以为减函数，又因为，所以的解集为.又在单调递增，所以.又.此时有两个不同的零点，即.解法二：同法1得到.此时又，则，由零点存在性定理，存在，使得.综上，可得.（ii）解法一：由于，所以可化为.令，则，设，则，则，则，即，从而.令，所以在单调递增，所以，所以，即，所以，所以在单调递增.所以，故.解法二：将代入整理得令，当时，因为，所以，所以，显然成立；当时，，令，则.显然在单调递增，所以.①当，则，此时在单调递增，所以，即.所以在单调递增，所以，欲使，只需，即.即时，符合题意.②当时，则，又，若，则，又在连续，则存在，使得，这与矛盾；若，则显然不恒成立综上，实数的取值范围为.解法三：将代入整理得令①当时，.又，若，则，又在的图象是连续不断的，故存在，使得，这与矛盾；若，则显然不恒成立所以时，不恒成立.②当，因为，令又，因为，所以.所以所以在单调递增，所以综上，实数的取值范围为.🎯题型八不等式证明、极值点判定与双参不等式8.（2026·河南洛阳一模）已知函数，．（1）证明：当时，（2）若是的极大值点，求的取值范围．（3）若，且，其中，证明：．【解析】（1）因，则，当时，，所以在上单调递减，所以，故当时，．（2）的定义域为，则，记，则，则．①若，即，则令，则，所以在上单调递增，当时，此时，则，故上单调递增，不合题意；②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调