复数、平面向量+课件-2026届高三数学三轮复习

第5讲复数、平面向量1．复数是高考必考内容，主要考查复数的概念与四则运算．多为选择题、填空题，难度为中低档．2．高考对平面向量的考查主要有三个方面：①考查平面向量的基本定理及基本运算，多以考生熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档；②考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；③向量作为工具，还可能与三角函数、解三角形、不等式等知识结合考查．1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(

)A．－1 B．0C．1 D．6【答案】

C【解析】因为(1＋5i)i＝i＋5i2＝－5＋i，所以其虚部为1，故选C.A．－i B．iC．－1 D．1【答案】

A3．(2025·北京高考)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝(

)【答案】

BA．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i【答案】

C5．(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(

)A．0 B．1【答案】

CA．－i B．1C．－1 D．2【答案】

DA．10i B．2iC．10 D．－2【答案】

A8．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2【答案】

D【解析】因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.9．(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(

)【答案】

B10．(2024·全国甲卷数学理)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(

)A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件

B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件

【答案】

CA．－i B．iC．0 D．1【答案】

A12．(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(

)A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1【答案】

D【解析】

∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＋λb＝(λ＋1,1－λ)，a＋μb＝(μ＋1,1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，得(λ＋1)(μ＋1)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得：2λμ＋2＝0，即λμ＝－1.故选D.13．(2023·新课标全国Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限【答案】

A【解析】

(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，则在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．故选A．14．(2023·全国甲卷理科)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(

)A．－1 B．0C．1 D．2【答案】

C【答案】

D16．(2025·新课标全国Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(x－1,2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________.●解题技法1．复数相关概念与运算技巧(1)待定系数法：设z＝a＋bi(a，b∈R)，解决与复数的模、共轭复数、复数相等有关的代数式的运算．(2)运算法则：复数的运算法则本质等同于多项式的运算法则，充分利用复数与其共轭复数之积等于模的平方进行化解．(3)几何法：解决复数模的最值问题，利用复数的几何意义转化为平面图形中的最值问题求解．【提醒】谨防“两个误区”(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是b，注意区分虚数与纯虚数．(2)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模不要忘记开方．2．用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．【提醒】谨慎“一个问题”向量m，n夹角为锐角(钝角)是m·n>0(m·n<0)的充分不必要条件．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2025·乌兰察布校级三模)已知iz＝1＋i，则z的虚部为(

)A．1 B．－1C．i D．－i【答案】

B【答案】

BA．4＋3i B．4－3iC．－4－3i D．－4＋3i【答案】

B4．(2025·温州二模)若向量a，b满足|b|＝3，a·b＝－6，则a在b上的投影向量是(

)【答案】

D【答案】

C6．(2025·西城区校级三模)已知向量a，b满足a＋b＝(3,5)，a－b＝(－1,1)，则|a|2－|b|2＝(

)A．2 B．－2C．0 D．6【答案】

A【解析】由题意，|a|2－|b|2＝a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝3×(－1)＋5×1＝2.故选A．7．(2025·南通模拟)已知两个不相等的向量a＝(2，m＋1)，b＝(2－4m,1)，若a∥(2a－b)，则m＝(

)【答案】

CA．2 B．8C．9 D．18【答案】

C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A．z＝3＋iB．z－3为纯虚数C．复数z在复平面内对应的点位于第四象限D．|z－2|＝2【答案】

AB10．(2025·菏泽一模)已知平面向量a＝(2，sinθ)，b＝(cosθ，1)，则下列说法正确的有(

)A．向量a，b不可能垂直B．向量a，b不可能共线C．|a＋b|不可能为3【答案】

BD【答案】

BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．