专题15 冲刺高分突破小题压轴（一）（50题）原卷版及解析选择题、填空题突破（2026年模拟题共3组42题）-冲刺2026年高考数学提分宝典（新高考适用）

1/2专题15冲刺高分突破小题压轴（一）百强名校-必刷真题精练一、单选题1．已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（

）A．7 B． C．9 D．【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷2．已知函数的定义域为，，，则（

）A． B．C． D．【来源】河南省周口市扶沟县2024-2025学年高三上学期期末数学试题3．已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【来源】江西省重点中学盟校2025届高三下学期第一次联考数学试卷4．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷5．已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（

）A．2 B． C． D．【来源】四川省南充市阆中市阆中中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题6．若，数列满足，则的值是（

）A．2024 B．4048 C．3036 D．2025【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷7．如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（

）A．对任意的B．对任意的C．在区间上单调递增D．对任意的【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题8．已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（

）A．9 B．10 C．17 D．12【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题9．已知函数，当时，函数极值点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【来源】山东省聊城市百师联盟2025-2026学年高三上学期第一次调研考试数学试题10．已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（）A． B． C． D．【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题11．设正整数其中，记，则下列说法错误的是（

）.A．(10)=2.B．(16n+5)=ω(4n+3).C．(8n+5)=ω(4n+5).D．若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个.【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一）12．有两个棱长均为1的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为，另有一个棱长为1的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有（

）A．1个元素 B．2个元素C．3个元素 D．5个元素【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题13．已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷二、多选题14．已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（

）A．恒过的焦点 B．，的横坐标之积为定值4C．，距离的最大值为6 D．直线的斜率恒为定值【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三三模数学试题15．设正实数，满足，则（

）A． B． C． D．【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷16．曲线：是一条形似的“比心曲线”.设点是上一个动点，且它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，则（

）A．点和点都在曲线E上B．且C．在E上存在点P，使D．对于E上任意点P，有【来源】2025届湖南省长沙市湖南四大名校名师团队猜题卷C模拟预测数学试题17．已知双曲线的左､右焦点分别为，且到的渐近线的距离为2.过点且不与轴重合的直线与的左､右两支分别交于点和点的中点为，坐标原点为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则的面积为【来源】湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题18．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则（

）A．满足平面的点的轨迹为线段B．若，则动点的轨迹长度为C．直线与直线所成角的范围为D．满足的点的轨迹长度为【来源】甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2025届高三高考模拟冲刺预测数学试题19．若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（

）A．B．C．若成等差数列，则D．若成等比数列，则【来源】重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题20．已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（

）A．4是的一个周期 B．是偶函数C． D．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷21．已知，则（

）A．的最小正周期为B．在上是单调函数C．的图象关于直线对称D．【来源】江苏省沭阳高级中学2024-2025学年高三下学期期初调研测试数学试卷22．已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（）A．曲线C关于直线对称B．，C．曲线C被直线截得的弦长为D．曲线C上任意两点距离的最大值为【来源】山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题23．已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（

）A．B．为偶函数C．当时，D．在上单调递减【来源】江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且则下列说法正确的是（

）A．若，则M在内部B．若，则M为的重心C．若，则的面积是面积的D．若，M为外接圆圆心，则【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一）25．数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（）A．十进制数2025用二进制表示为B．满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275C．将对应的二进制数中1的个数记为，则D．将对应的二进制数中0的个数记为，令，则【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题26．已知动点，其到直线的距离与其到点的距离相等，设其轨迹为.上有两个关于轴对称的点（在的上方）.记直线的斜率为，坐标原点记为，的外接圆记为．则下列结论正确的是（

）A．当时，的面积为B．C．的周长大于D．过点分别作的切线，且与轴交于点，则最小值为24【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题27．如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（

）A．当时，异面直线与成角的余弦值是B．当时，直线与平面成角的余弦值是C．的最大值是D．三棱锥体积的最大值是【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题28．记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（

）A． B．角的最大值为C． D．的取值范围是【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷29．对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列.设是数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）A．首项为1，公比为的等比数列是数列B．若数列是数列，则数列是数列C．若数列是数列，则数列是数列D．若数列是数列，数列是数列【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题30．国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以，，为基本数码的计数体系（对称三进制）：三进制数对应的十进制数为，其中，，为了记号的方便，我们用表示数码，比如，，.下面选项正确的是（

）A．B．C．若，，，则D．存在唯一的，使得成立【来源】浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷31．已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（

）A．动点F的轨迹的长度为B．三棱锥体积的取值范围为C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为【来源】山西省大同市名校联考2024-2025学年高三下学期4月模拟考试（二）数学试题32．已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（

）A． B．为周期函数C．是奇函数 D．若，则【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题33．双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（

）A．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数B．C．函数的值域为D．【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷34．在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（）A．表面积为 B．体积为C．外接球的半径为 D．内切球的半径为【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题35．如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（

）

A．三棱锥的4个面均为直角三角形B．C．沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2D．当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷36．定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（

）A．B．C．存在，使得成立D．记表示不超过的最大整数，且，则.【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题37．在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点.已知曲线，点为曲线上的任意一点，下列结论正确的是（

）A．曲线关于轴对称 B．曲线围成的封闭图形的面积大于C．过原点的直线与曲线有且仅有两个交点 D．点到原点的距离不超过3【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题38．已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷39．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题40．如图，棱长为2的正方体．中，点P是棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则直线与直线所成角的最小值为C．若且．，则点的轨迹长为D．若动点M在平面上的投影为点与平面所成角与二面角大小相等，则直线与点N的轨迹相切【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题三、填空题41．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则．【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题42．在中，的面积为，且，则的最小值为．【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题43．设是数列的前项和，，则（1）；（2）．【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题44．已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为.【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷45．锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为.【来源】2025届福建省厦门第一中学高三5月模拟数学试题46．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是.【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题47．已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为．【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题48．设函数，若恒成立，则的最小值为.【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题49．已知关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是．【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷50．如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则．【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷

专题15冲刺高分突破小题压轴（一）百强名校-必刷真题精练一、单选题1．已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（

）A．7 B． C．9 D．【答案】B【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷【分析】将函数看作是两个函数的函数值之差的绝对值，结合图象分析当取到最小值时，直线所在位置，从而得出的值.【详解】函数在区间上的最大值，可看作是函数与在区间上函数值之差的绝对值的最大值.函数在区间上的两个端点,直线的方程为.设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，，令，解得或（舍去），切点坐标为，代入直线方程，可得，所以切线方程为.

由图像可知，直线在函数图象上方或下方时的值大于直线与函数图象相交时的值，所以要使取到最小值，直线在直线和直线的中间，即直线，此时，，所以.故选：B.2．已知函数的定义域为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【来源】河南省周口市扶沟县2024-2025学年高三上学期期末数学试题【分析】令判断A；令得到即可判断B、C；进而有当且时，，两边求和判断D.【详解】令，则且，可得，A错；令，则，可得，即，B错；由上分析，，，则，所以，C对；当且时，，所以，D错.故选：C【点睛】关键点点睛：根据递推式得到为关键.3．已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【来源】江西省重点中学盟校2025届高三下学期第一次联考数学试卷【分析】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值.【详解】因为函数为奇函数，则，即，令，则，所以，函数的对称中心为，且，①在等式①中，令可得，解得，在等式①中，令可得,因为函数为偶函数，则，令，可得，求导得，则，②由①②可得，令，则，所以，函数是周期为的周期函数，所以，.故选：C.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.4．记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷【分析】利用基本量先计算公差和，进而得和，由解得的范围，进而求解.【详解】设等差数列的公差为，又，所以，由，所以，所以，所以，即①，又因为，所以②，由①②解得，所以，所以，由有，即，解得，所以使成立的的最大值是，故选：C.5．已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【来源】四川省南充市阆中市阆中中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题【分析】由平分，即，进而得，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为平分，所以，又，所以，即.故选：B.6．若，数列满足，则的值是（

）A．2024 B．4048 C．3036 D．2025【答案】B【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷【分析】由表达式及得到，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果.【详解】，，则.因为令，得；；；…………又.故故选：B7．如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（

）A．对任意的B．对任意的C．在区间上单调递增D．对任意的【答案】D【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D.【详解】对于AB，当时，，，AB错误；对于C，，C错误；对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称，则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确.故选：D8．已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（

）A．9 B．10 C．17 D．12【答案】C【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题【分析】根据函数的奇偶性、对称性，得出函数是周期函数，再根据当时，，结合其单调性、对称性、周期性作出函数在区间上的图象，利用函数与函数的图象，由交点的个数可得出方程根的个数.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，由可知，函数的图象关于直线对称，则有，则，则，所以，故是周期函数，周期.又因为，所以，且有，则.当时，是增函数，且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点.函数与函数的图象如图，由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根，方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个，所以，方程在区间上的根的个数为.故选：C.9．已知函数，当时，函数极值点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【来源】山东省聊城市百师联盟2025-2026学年高三上学期第一次调研考试数学试题【分析】求出函数的导数，由，得，利用导数确定方程根的个数，进而求出极值点个数.【详解】函数，求导得，由，得，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，，函数的大致图象如图，由，得，方程必有两个根，即函数必有两个零点，当或时，，；当时，，，因此函数恰有2个极值点，B正确.故选：B10．已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题【分析】设，则，则中，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，则，利用三角恒等变换可求最大值.【详解】设，则，因为，与的夹角为，所以在中，，，如图所示，由正弦定理得外接圆的半径为，则为圆上与不重合的动点，设，由正弦定理可得，则，当，即时，取得最大值.故选：B.11．设正整数其中，记，则下列说法错误的是（

）.A．(10)=2.B．(16n+5)=ω(4n+3).C．(8n+5)=ω(4n+5).D．若n<256且(n)=3，则符合条件的n有56个.【答案】C【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一）【分析】利用的定义可判断A、B的正误，用特殊值代入可判断C，列举法可判断D的正误，即可得正确答案.【详解】，所以，故A项正确，，所以，，所以，所以，故B项正确;，，故，即时，，故C项错误，若且，由，可知，时，有个，时，有个，时，有个，…，时，有个，共有，故D项正确.故选：C.12．有两个棱长均为1的正四棱锥（木制实心玩具），底面中心分别为，另有一个棱长为1的正四面体（木制实心玩具），现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全重合并用胶水粘合（胶水厚度不计）从而拼接成一个新的玩具，对所有的拼接方式，线段长度的集合有（

）A．1个元素 B．2个元素C．3个元素 D．5个元素【答案】A【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知，利用补形法，将四面体补成正方体，分析点的可能位置，即可得结果.【详解】如图所示：在正四棱锥中，，则，，即全等，则，将四面体补成正方体，如图所示：可知点的可能位置为，且，所以线段长度的集合有1个元素.故选：A.13．已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.而，恒过，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.二、多选题14．已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（

）A．恒过的焦点 B．，的横坐标之积为定值4C．，距离的最大值为6 D．直线的斜率恒为定值【答案】ABD【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三三模数学试题【分析】对AC，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而根据求解可得的方程为，的方程为即可判断；对B，根据韦达定理结合求解即可；对D，根据中点坐标求解的坐标即可判断.【详解】对AC，设直线的方程为，的方程为，，，，，联立，得，所以，，，所以，解得或，所以的方程为或，同理可得的方程为或，又，所以的方程为，的方程为，所以恒过焦点，恒过点（6，0），且，距离的最大值为，A项正确，C项错误；对B，，B项正确；对D，由题得，同理得，所以，D项正确.故选：ABD15．设正实数，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷【分析】A选项，设，得到，结合条件得到，根据求出；D选项，由，结合条件得到；B选项，先得到，由D知，，故，求出；C选项，，，等号成立的条件均为，故.【详解】A，正实数，满足，设，则，因为，所以，整理得，将其看作关于的一元二次方程，则，解得，故，A正确；D，因为，所以，故，又，故，即，，当且仅当时，等号成立，D正确；B，因为，所以，由D知，故，当且仅当时，等号成立，解得，故，B错误；C，通过以上分析得，，等号成立的条件均为，故，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：ACD16．曲线：是一条形似的“比心曲线”.设点是上一个动点，且它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，则（

）A．点和点都在曲线E上B．且C．在E上存在点P，使D．对于E上任意点P，有【答案】BCD【来源】2025届湖南省长沙市湖南四大名校名师团队猜题卷C模拟预测数学试题【分析】对于A，将两点分别代入曲线的左侧，判断是否等于右侧即可判断A；对于B，利用不等式即可求解范围；对于C，注意到当为或时，面积刚好为1；对于D，当时，P的轨迹为椭圆，联立椭圆与曲线方程，可得其交点，画出图形即可判断.【详解】在E中，令得，所以，，，令得，所以，，曲线E的大致形状如图所示.对于A，将点，代入曲线E的方程的左侧可得，，所以点不在曲线E上，点在曲线E上，故A错误；对于B，令得，即，所以，所以直线与曲线E交于点，结合图象可得点P的纵坐标的最大值为.由得，所以，等号当且仅当成立；由得，所以当时，，所以.故B正确；对于C，由选项A，B知，，当为或时，面积的最大值为，故C正确；对于D，因为坐标平面内到定点C，D的距离和为的点的轨迹是以C，D为焦点，长轴长为的椭圆.设椭圆方程为，由已知，，得，所以椭圆方程为.联立，得，所以，所以，故椭圆与曲线E的交点为，，如图所示，因此曲线E上的所有点都满足故选，D正确，故选：BCD.17．已知双曲线的左､右焦点分别为，且到的渐近线的距离为2.过点且不与轴重合的直线与的左､右两支分别交于点和点的中点为，坐标原点为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则的面积为【答案】ABC【来源】湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为，判断A；由三角形三边关系判断B；由双曲线的定义判断C；由双曲线的定义结合勾股定理，求得的面积判断D.【详解】对于A，由双曲线的焦点到渐近线的距离为，可知，故A正确；对于B，如图（1），取的中点，连接，可知，由三角形的三边关系，得，因此，故B正确；对于C，如图（2），可知是的中位线，因此，又，因此，故C正确；对于D，易知的半焦距，如图（3），设，因为点在左支上，所以；因为点在右支上，所以.所以.因此，连接，可知.在中，有，解得.因此，从而的面积为，故D错误.故选：ABC.

18．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则（

）A．满足平面的点的轨迹为线段B．若，则动点的轨迹长度为C．直线与直线所成角的范围为D．满足的点的轨迹长度为【答案】AD【来源】甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2025届高三高考模拟冲刺预测数学试题【分析】利用正方体的特值构造面面平行可判定A，利用圆的定义与弧长公式可判定B，设P坐标，利用正切函数的单调性计算判定C，利用线面垂直及勾股定理可判定D.【详解】对于A，如图所示，取棱的中点分别为，连接，根据正方体的特征易知，则共面，且平面，平面，又平面且相交于，故平面平面，所以满足平面的点的轨迹为线段，故A正确；对于B，设M到上底面的投影为N，易知，而，所以，即P在以N为圆心，半径为2的圆上，且P在正方形内，如图所示，即上，易知，所以的长度为，故B错误；对于C，如图所示建立空间直角坐标系，取的中点Q，连接，作，设，则，，易知直线与直线所成角为，显然当P为的中点时，此时，当时，，易知，若最小，则需，此时，故C错误；对于D，取，可知，即共面，在底面正方形中易知，则，结合正方体的性质可知底面，底面，所以，而平面，所以平面，故P在线段上运动，易知，故D正确.故选：AD19．若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（

）A．B．C．若成等差数列，则D．若成等比数列，则【答案】BC【来源】重庆市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题【分析】A项由零点个数可知单调区间至少三个，求导函数，转化为二次函数判别式求解可得；B项利用三次函数三根式表达形式，求导后赋值通分化简可得；C项将三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；D项由根与系数的关系消元转化，用分别表示即可判断.【详解】A项，由题意得有三个零点，则至少有三个单调区间，故有两个不等实根，所以，解得，故A错误；B项，由题意可知，则，，同理，故B正确；C项，，若成等差数列，则，则，，则，所以，即，故C正确；D项，若成等比数列，则，，故，，则，由，可知，故D错误．故选：BC【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用.问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如CD项的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B项中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷.20．已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（

）A．4是的一个周期 B．是偶函数C． D．【答案】ABD【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷【分析】由已知可得关于点对称，关于直线对称，结合对称轴和对称中心可得周期，即可判断；根据函数奇偶性的定义即可判断；由，令为即可判断；结合函数的周期性即可判断.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，即，用代换上式中的可得，所以关于点对称，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即，又，所以，所以，所以，所以，所以函数的周期为，故正确；因为，所以，因为函数的图象关于直线对称，所以，所以，所以是偶函数，故正确；因为，所以，即，故正确；因为关于点对称，，因为，令可得，又关于直线对称，所以，所以，所以，故不正确.故选：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是得到关于点对称，关于直线对称，结合对称轴和对称中心推导函数的周期，过程中注意等价条件的转化.21．已知，则（

）A．的最小正周期为B．在上是单调函数C．的图象关于直线对称D．【答案】BCD【来源】江苏省沭阳高级中学2024-2025学年高三下学期期初调研测试数学试卷【分析】对于A：整理可得，即可得最小正周期；对于B：整理可得，结合复合函数单调性分析判断；对于C：根据对称性定义分析判断；对于D：分析易得是函数的一个周期，进而结合导数求解值域.【详解】因为.对于A，因为，所以的最小正周期为，故A错误；对于B，因为，令，可得，其图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递增，且在内单调递增，所以在上是单调函数，故B正确；对于C，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；对于D，因为，所以函数为周期函数，且是函数的一个周期，只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，由，则，当时，，故，此时，函数在上单调递增，当时，，，此时，函数在上单调递减，所以当时，，又因为，则，则函数的值域为，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于先得到是函数的一个周期，进而结合导数分析函数在上的值域，即为函数在上的值域，进而求解即可.22．已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（）A．曲线C关于直线对称B．，C．曲线C被直线截得的弦长为D．曲线C上任意两点距离的最大值为【答案】ACD【来源】山东省菏泽市2025届高三下学期一模考试数学试题【分析】对于A，根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B，通过分析方程的特征可求出的范围；对于C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D，对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可.【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确；选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求，得，即，超出，同理的范围也超过，B错误；选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和，故弦长为，C正确；选项D：则即又，即，则同理可得：，则曲线的上任一点到的距离之和为：曲线表示以为焦点且的椭圆，则，则线段的最大值为正确；故选：ACD【点睛】点睛：关键点点睛：对于D选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线方程表示的是椭圆，利用椭圆的性质求解即可.23．已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（

）A．B．为偶函数C．当时，D．在上单调递减【答案】ACD【来源】江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D.【详解】因为，令，，可得，所以，令，，可得，所以，所以，A正确；由，令可得，，再将中的替换为，可得，所以，所以，所以函数为奇函数，B错误；当时，将中的用替换，可得，即，当时，，由已知可得，所以，，又函数为奇函数，所以当时，，，所以当时，，C正确；因为，所以若，则，任取，且，则，因为，所以，，,所以，所以，所以函数在上单调递减，设，当时，，因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减.故选：ACD.24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且则下列说法正确的是（

）A．若，则M在内部B．若，则M为的重心C．若，则的面积是面积的D．若，M为外接圆圆心，则【答案】ABD【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期数学模拟试卷（一）【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知，当时，M在内部，故A正确；对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确；对于选项C，已知，则这说明M在线段BC上，且，那么，因为和高相同，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比等于它们底边MC与BC之比，即的面积是面积的故C错误；对于选项D₁M为外心，故，所以，所以，故D正确.故选：ABD.25．数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（）A．十进制数2025用二进制表示为B．满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275C．将对应的二进制数中1的个数记为，则D．将对应的二进制数中0的个数记为，令，则【答案】BCD【来源】内蒙古包头市多校联考2025届高三下学期4月模拟数学试题【分析】根据十进制与二进制的转化方法即可判断A，利用组合分析出所有情况即可判断B；分别计算等式左右两侧即可判断；利用二项展开式公式即可判断D.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，其中中有且只有2个1，有种可能；所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，均出现次，所以对应的十进制数的和为，故B正确；对于C：，则，，故,，故，故，故C正确；对于D：共个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2026，且最高位都为1；而除最高位之外的剩余2025位中，每一位都是0或者1；设其中的数，转换为二进制后有个；在这个数中，转换为二进制后有个0的数共有个，故，故D正确，故选：BCD.26．已知动点，其到直线的距离与其到点的距离相等，设其轨迹为.上有两个关于轴对称的点（在的上方）.记直线的斜率为，坐标原点记为，的外接圆记为．则下列结论正确的是（

）A．当时，的面积为B．C．的周长大于D．过点分别作的切线，且与轴交于点，则最小值为24【答案】BC【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题【分析】先由题意写出动点满足关系式，坐标代入化简求出抛物线方程，再依次判断选项，A项联立直线与抛物线方程求解点坐标，进而得坐标，则可求三角形面积；B项用斜率表示坐标，利用向量数量积求即可；C项借助正弦定理可求外接圆直径，进而得周长范围；D项，设，求出切线方程可用表示坐标，再设圆的切线与轴交点，借助相切由垂直关系利用勾股定理表示，取特值可得，从而判断D项错误.【详解】由题意得，化简得.A项，当时，联立，又由题意可知在轴上方，故解得，由对称性知，，则，故A错误；B项，由直线的斜率为，联立，得，则，即，设直线的倾斜角，则，，故，故B正确；C项，由B项可得，且，则的外接圆直径，故的周长大于，C正确；D项，设，，由，则，故抛物线在处切线的斜率为，则切线方程为，令，得，故，由，故的外接圆圆心为，设，则，，，由勾股定理可得，解得，故当时，，此时，故D错误；故选：BC.27．如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（

）A．当时，异面直线与成角的余弦值是B．当时，直线与平面成角的余弦值是C．的最大值是D．三棱锥体积的最大值是【答案】ACD【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题【分析】连接，利用余弦定理即可判断A；证明平面，即可得到为直线与平面成角，即可判断B；取的中点，连接、，求出的最大值，即可判断C；过点作交于点，即可证明平面，再由锥体体积公式及C选项判断D.【详解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，，所以；对于A：当时，又，所以为等边三角形，所以，连接，则，又，所以为异面直线与成角，所以，即异面直线与成角的余弦值是，故A正确；对于B：当时，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，即，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以为直线与平面成角，又，所以，则，所以直线与平面成角的余弦值是，故B错误；对于C：取的中点，连接、，则且，又平面，所以平面，因为平面，所以，由余弦定理，即，所以，则，当且仅当时取等号，因为，所以，所以，又，所以，所以的最大值是，故C正确；对于D：过点作交于点，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又，所以，由C可知，所以，当且仅当时取最大值，故D正确.故选：ACD28．记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（

）A． B．角的最大值为C． D．的取值范围是【答案】ABD【来源】浙江省宁波市镇海中学2025届高三高考模拟数学试卷【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C由已知有得，最后利用余弦定理和正弦定理即可判断，对于D令代入有，由三角不等式有，解出的范围，又，利用二次函数即可求解，进而判断D.【详解】对于A：由余弦定理有，所以，故A正确；对于B：由余弦定理得，由基本不等式有，当时，即时等号成立，所以，所以角的最大值为，故B正确；对于C：由有，所以，所以，即，与题干不符，故C错误；对于D：令代入有，由有得解得，所以，由，所以，即的取值范围是，故D正确.故选：ABD.29．对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列.设是数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）A．首项为1，公比为的等比数列是数列B．若数列是数列，则数列是数列C．若数列是数列，则数列是数列D．若数列是数列，数列是数列【答案】ACD【来源】湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期适应性考试（二）数学试题【分析】对于A由题设，根据数列及等比数列前n项和公式判断数列性质判断即可；对于B，设，由数列性质判断即可；对于C由数列性质判断及和的关系判断即可；对于D，由数列是数列可得存在，对任意的，有，再由，记，进而结合数列性质判断即可.【详解】对于A：由题意，设，则，，因此，故是数列，故A正确；对于B：设，则，易知数列是数列，而此时，所以，由的任意性，知数列不是数列，故B错误；对于C：若数列是数列，则存在，对任意的，有，即，所以，所以数列为数列，故C正确；对于D：若数列是数列，则存在，对任意的，有，因为，记，则有，因此.故数列是数列，故D正确.故选：ACD.30．国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以，，为基本数码的计数体系（对称三进制）：三进制数对应的十进制数为，其中，，为了记号的方便，我们用表示数码，比如，，.下面选项正确的是（

）A．B．C．若，，，则D．存在唯一的，使得成立【答案】ACD【来源】浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷【分析】根据题设新定义直接判断A、B；由，结合确定的最值判断C；由，进而确定的对应值判断D.【详解】A：，对；B：，，，错；C：，因为，若全取1时，，若全取时，，由，则，故的绝对值小于，对；D：，，所以，由，则，，要使，即，所以，则，且，则，此时，即有唯一解，对.故选：ACD31．已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（

）A．动点F的轨迹的长度为B．三棱锥体积的取值范围为C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为【答案】BCD【来源】山西省大同市名校联考2024-2025学年高三下学期4月模拟考试（二）数学试题【分析】取的中点，连接，可得为的轨迹，求解可判断A；，可得在点M、处，体积最大或最小，求解可判断B；建立空间直角坐标系，直接求出外接球径，即可求出外接球球心，可判断C；外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D.【详解】对于A，取的中点，连接，所以，又易证，所以，又平面，平面，所以平面，又因为为棱的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又为正方形内一个动点（包括边界），且平面，所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A错误；对于B，，其中为到的距离，所以最小时，最小，显然在点处时，最小，此时，最大时，最大，显然在点处时，最大，此时，故B正确；对于C，如图，当三棱锥体积最大时，在处，如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为，易知，所以①，②，③，④，联立①②③④解得，，所以，故外接球的表面积为，所以选项C正确；

对于D，因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，设外接球的球心为，由，可得，所以，解得，解得，所以外接球的表面积为，故D正确.

故选：BCD32．已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（

）A． B．为周期函数C．是奇函数 D．若，则【答案】AC【来源】山东省实验中学2025届高三一模考试数学试题【分析】令得，由即可判断A；令，得，再求得，根据奇偶性定义判断B；由递推式得，进而有，应用错位相减法求判断D；由，假设为的最小正周期，而不能恒成立判断B.【详解】令，则，而，所以，A对；令，则，令，则，令，则，故，故是奇函数，C对；由，由，则，故，所以，所以，所以，D错.假设为的最小正周期，由，则，故，显然，对于，，，不能恒成立，即不能恒成立，与前提矛盾，B错.故选：AC33．双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（

）A．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数B．C．函数的值域为D．【答案】ACD【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷【分析】由函数的奇偶性即可验证A；结合指数运算计算化简即可判断B；化简指数运算及指数函数值域即可判断C.首先判断函数的单调性，再设，判断出在的单调递增，且，得出，即可判断D；【详解】对于A，，定义域为，，所以为奇函数，，定义域为，，所以为偶函数，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，，，所以，，所以，C选项正确；对于D：因为，所以在上单调递增，设，，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以，，故D正确；故选：ACD.34．在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（）A．表面积为 B．体积为C．外接球的半径为 D．内切球的半径为【答案】BD【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题【分析】利用四面体有两个面是等边三角形，有另两个面是等腰三角形，即可求解表面积，利用取中点作直截面即可求体积，利用等体积法可求内切球半径，利用过截圆面的圆心作垂线必过球心，可作出外接球球心，再结合等腰三角形进行求解即可.【详解】由题意得：两个等边三角形的面积为，两个等腰三角形的面积为，所以四面体的表面积为，故A错误；取的中点，由等边三角形的性质可得：，由于平面，所以平面，由此可得等腰三角形面积为，所以四面体的体积为，故B正确；设内切球半径为，根据等体积公式可得：，故D正确；由两个等边三角形的外心分别为，可得，过分别作两个平面平面的垂线，相交于点，根据球心的性质可知，点为四面体的外接球球心，由于三角形是等腰三角形，可知点在等腰三角形的底边角平分线上，则有，即，又因为，所以，所以外接球半径为，故C不正确；故选：BD35．如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（

）

A．三棱锥的4个面均为直角三角形B．C．沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2D．当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为【答案】ABD【来源】2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷【分析】根据线面垂直得到线线垂直，即可判断；根据，利用解三角形过程即可求解；判断出圆锥展开为一个半圆，再利用勾股定理求解；得出为直线与平面所成角，设，表示出，得出，根据，利用基本不等式得出最值，根据锥的外接球半径为，点到平面的距离为，又中点（球心）到平面的距离为点到平面的距离的一半，即为，即可求解．【详解】对于A，根据直线垂直于平面，故，故为直角三角形，半圆锥的底面直径为，为圆弧上任意一点（不包括，两点），，故为直角三角形，，，故平面，得，故为直角三角形，故A正确；对于B，中，，则；．B答案正确．对于C，将圆锥沿母线剪开后得到平面展开图，，则；即圆锥展开为一个半圆．又，则，C答案错误．对于D，过P作于，连接，则面，故为与面所成的角设，则，则，可得．设，则上式，当且仅当，即时取得“”．又三棱锥的外接球半径为，点到平面的距离为，又中点（球心）到平面的距离为点到平面的距离的一半，即为；则，所以，故D正确；故选：ABD．36．定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（

）A．B．C．存在，使得成立D．记表示不超过的最大整数，且，则.【答案】ABD【来源】安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题【分析】直接利用给定定义，进而求出符合条件的数字为判断A，找到被3整除，被2整除，被6整除的数字个数，进而得到判断B，先假设等式成立，再找出左右两侧的矛盾判断C，对的情况进行讨论，结合放缩法判断D即可.【详解】对于，在不大于16的所有正整数中，即不能被3整除又不能被4整除的数有，，故A正确；因为在不大于的所有正整数中，能被3整除的有个，被2整除的有个，被6整除的有个，所以，故B正确若，则，即，，，等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾，故不存在，使得成立；故C错误；当时，当时，，所以当时，，所以当时，，则，故D正确.故选：ABD37．在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点.已知曲线，点为曲线上的任意一点，下列结论正确的是（

）A．曲线关于轴对称 B．曲线围成的封闭图形的面积大于C．过原点的直线与曲线有且仅有两个交点 D．点到原点的距离不超过3【答案】ABD【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题【分析】A证明关于轴的对称点也在曲线上；B根据曲线与圆的位置关系判断；C举反例，取；D利用即可求证.【详解】对于选项A：因为曲线上任意一点，则，则仍成立，即关于轴的对称点也在曲线上，故A选项正确；对于选项B：易知，即曲线C上的点在圆的圆周上或其外部，又圆的面积为，故面积大于，B选项正确；对于选项C：取，方程化简为，解得，故有3个交点，故C选项不正确；对于选项D：，所以，D选项正确；故选：ABD．38．已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【来源】辽宁省实验中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷【分析】由奇函数的性质判断出的图象关于点对称后可判断A，对后得出的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D．【详解】对A，因为为奇函数，所以，即，即，所以的图象关于点对称，所以，A正确；对B，由，两边求导得，即，又的图象关于点对称，得，所以，B正确；对C，因为，即，所以，令可得,，所以的图象关于直线对称，所以，又，所以，所以的图象关于点成中心对称，由得，所以，所以是周期函数，4是它的一个周期，C错误；对D，由得，，所以，又，所以，D正确．故选：ABD．39．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D.【详解】对于A，由，可得，两式相减可得，故A正确；对于B，由为偶函数，可得，即，所以的图象关于直线对称，由，两边求导得，即，所以是以4为周期的周期函数，则有，无法推出，故B错误；对于C，由，两边求导得，即，令，可得，又，令，可得，联立，解得，故C正确；对于D，由，当时，，又，可得，当时，可得，由，即，所以，令，可得，所以，令，可得，，，由B知的周期为4，则，所以，，故D正确.故选：ACD.40．如图，棱长为2的正方体．中，点P是棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则直线与直线所成角的最小值为C．若且．，则点的轨迹长为D．若动点M在平面上的投影为点与平面所成角与二面角大小相等，则直线与点N的轨迹相切【答案】ACD【来源】湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期二模数学试题【分析】如图建系，空间向量计算判断A，根据异面直线所成角结合值域判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二面角定义结合直线和抛物线联立求解判断D.【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，所以，所以，即，所以，又，所以，当时，，所以，所以，故A正确；点为的中点，其坐标为，点的坐标为，向量，向量，设直线PM与直线BC所成的角为，又因为，当时，，即直线PM与直线BC所成角的最小值为，故B错误；由知，设点为，则，化简得，是以点为圆心，为半径的圆，如图2所示，又因为，故点的轨迹为圆心角为的圆弧，轨迹长度为，故C正确；如图3，过点作于点，连接GN，NC，MG，MC，则MC与平面所成角为是二面角的平面角，故，易证，则，由抛物线的定义可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，如图4，以BC的中点建立平面直角坐标系xOy，则点的轨迹方程为，直线为，联立得，则直线与点的轨迹相切，故D正确．故选：ACD.三、填空题41．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则．【答案】【来源】2025届浙江省杭州第二中学高三模拟预测数学试题【分析】设取出的5个数为，则可推得，，即可得出.进而只需要分析出事件以及表示的含义，并求出概