小学三年级奥数《商的奥秘》基础知识讲解+专项练习题及参考答案

小学三年级奥数《商的奥秘》基础知识讲

解+专项练习题及参考答案

一、《商的奥秘》基础知识讲解

《商的奥秘》是小学三年级奥数中关于除法运算的核心专题，聚

焦商的变化规律、有余数除法、除法算式谜、商的位数判断等核

心内容，打破基目除法的计算局限，通过探究被除数、除数、商、

余数之间的数量关系，培养数感和逻辑推理能力，核心知识点如

下：

（一）核心概念

1.除法各部分关系：被除数：除数工百…余数（余数V除数）,

衍生公式：被除数二商义除数十余数，除数二（被除数-余数）+商，

商二（被除数-余数）:除数。

2.商的变化规律：在除法运算中，被除数、除数的变化会直接

影响商的大小，是本专题的核心规律。

3.有余数除法：当被除数不能被除数整除时，产生余数，余数

必须小于除数，这是解题的关键约束条件。

4.除法算式谜：通过已知的部分数字，结合除法各部分关系，

推导算式中缺失的数字，考察逆向推理能力。

5.商的位数判断：根据被除数和除数的位数、大小关系，快速

判断商是几位数，简化计算过程。

（二）核心规律

1.商的变化基础规律

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-除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除

以）几。

-被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或

乘）几。

-被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变

（商不变性质）。

2.有余数除法的变化规律

-被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变，

余数也乘（或除以）相同的数。

-余数最大二除数7,余数最小二1（除数＞1时）。

3.商的位数判断规律

-三位数：一位数：被除数首位2除数，商是三位数；被除数首

位V除数，商是两位数。

-四位数：两位数：被除数前两位2除数，商是三位数；被除数

前两位V除数，商是两位数。

（三）常见题型与解题思路

1.商的变化规律应用：已知基础除法算式，根据被除数或除数

的变化，求新的商或余数。

2.有余数除法计算：已知被除数、除数、商、余数中的三个量，

求第四个量，重点关注余数V除数的约束。

3.除法算式谜破解：从已知数字最多的数位入手，结合商的位

数、余数约束、乘法口诀逆向推导缺失数字。

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4.商的位数判断：不计算，直接根据被除数和除数的大小关系，

判断商的位数。

5.除法实际应用：结合生活场景，运用除法各部分关系解决分

配、分组等实际问题。

（四）通用解题步骤

1.审题，确定题型：商的变化、有余数除法、算式谜、位数判

断或实际应用；

2.梳理已知条件：明确被除数、除数、商、余数的已知量，标

注约束条件（如余数〈除数）；

3.套用核心规律/公式：结合商的变化规律、除法各部分关系进

行计算或推理；

4.验证结果：检查余数是否小于除数，商的位数是否符合判断，

算式是否成立；

5.规范作答：写出计算过程或推理步骤，明确最终答案。

二、专项练习题

（一）商的变化规律专项练习（10小题）

1.已知120+4=30,若被除数乘2,除数不变，新的商是多少？

2.已知240：6=40,若被除数除以3,除数不变，新的商是多少？

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3.已知360:9=40,若除数乘2,被除数不变，新的商是多少？

4.已知4804-8=60,若除数除以4,被除数不变，新的商是多少？

5.已知560:7=80,若被除数和除数同时乘5,新的商是多少？

6.已知6304-9=70,若被除数和除数同时除以7,新的商是多

少？

7.已知180：3=60,若被除数乘4,除数除以2,新的商是多少？

8.已知210:7=30,若被除数除以5,除数乘3,新的商是多少？

9.已知320:8=40,若被除数乘3,除数乘6,新的商是多少？

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10.已知450：5=90,若被除数除以9,除数除以3,新的商是

多少？

（二）有余数除法计算专项练习（10小题）

1.一个数除以7,商是8,余数最大是多少？此时被除数是多

少？

2.一个数除以9,商是5,余数最小是多少？此时被除数是多

少？

3.被除数是75,除数是8,商是多少？余数是多少？

4.被除数是83,除数是6,商是多少？余数是多少？

5.商是9,除数是7,余数是4,被除数是多少？

6.商是6,余数是5,除数是8,被除数是多少？

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7.被除数是92,商是10,余数是2,除数是多少？

8.被除数是78,商是8,余数是6,除数是多少？

9.被除数是67,除数是一位数，商是7,余数是4,除数是多

少？

10.被除数是89,除数是一位数，商是9,余数是8,除数是多

少？

（三）商的位数判断专项练习（10小题）

1.3254-5,商是几位数？

2.4564-3,商是几位数？

3.512+8,商是几位数？

4.6784-2,商是几位数？

5.7314-7,商是几位数？

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6.849:9,商是几位数？

7.1234:12,商是几位数？

8.2345-34,商是几位数？

9.3456^23,商是几位数？

10.4567:56,商是几位数？

（四）除法算式谜专项练习（10小题）

1.口5：3=2匚I,求被除数的十位数字和商的个位数字。

2.7□4-4=1□,求被除数的个位数字和商的个位数字。

3.口2・5二1□，求被除数的十位数字和商的个位数字。

4.8口：6=1匚］,求被除数的个位数字和商的个位数字。

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5.口4:7=□，求被除数的十位数字和商。

6.6口：8二□，求被除数的个位数字和商。

7.口3：2=3匚］,求被除数的十位数字和商的个位数字。

8.9口:5=□匚I,求被除数的个位数字和商的十位、个位数字。

9.□6-T-4=2D,求被除数的十位数字和商的个位数字。

10.5口：3二口匚I,求被除数的个位数字和商的十位、个位数字。

（五）除法实际应用专项练习（10小题）

1.把78块糖果平均分给8个小朋友，每个小朋友分几块？还剩

几块？

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2.有92支铅笔，每7支装一盒，能装几盒？还剩几支？

3.一本故事书有85页，小明每天看9页，几天能看完？

4.有67个苹果，每5个装一袋，至少需要几个袋子？

5.老师把73本练习本分给同学，每人分6本，能分给几个同学？

还剩几本？

6.有89块巧克力，每8块装一盒，最多能装满几盒？

7.一条绳子长95米，每4米剪一段，能剪几段？还剩几米？

8.有76个气球，每7个扎成一束，能扎几束？还剩几个？

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9.把82个乒乓球装进盒子里，每6个装一盒，需要几个盒子？

10.有93颗糖，分给9个小朋友，平均每个小朋友分几颗？还

剩几颗？

三、参考答案

（一）商的变化规律专项练习答案

1.除数不变，被除数乘2,商也乘2,30X2=60

2.除数不变，被除数除以3,商也除以3,404-3=40/3（或13

余1）

3.被除数不变，除数乘2,商除以2,4092=20

4.被除数不变，除数除以4,商乘4,60X4=240

5.被除数和除数同时乘5,商不变，80

6.被除数和除数同时除以7,商不变，70

7.被除数乘4,商乘4；除数除以2,商乘2,总商乘8,60X

8=480

8.被除数除以5,商除以5;除数乘3,商除以3,总商除以15,

30^15=2

9.被除数乘3,商乘3；除数乘6,商除以6,总商除以2,40

4-2=20

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10.被除数除以9,商除以9；除数除以3,商乘3,总商除以3,

90+3=30

（二）有余数除法计算专项练习答案

1.余数最大二7一k6,被除数=8X7+6=62

2.余数最小二1,被除数=5X9+1=46

3.75+8=9……37.除数二（92-2）4-10=9

4.83^6=13……58.除数二（78-6）：8二9

5.被除数=9义7+4=679.除数二（67-4）4-7=9

6.被除数=6X8+5=5310.除数二（89-8）-4-9=9

（三）商的位数判断专项练习答案

1.被除数首位3V除数5,商是两位数

2.被除数首位4＞除数3,商是三位数

3.被除数首位5V除数8,商是两位数

4.被除数首位6＞除数2,商是三位数

5.被除数首位7二除数7,商是三位数

6.被除数首位8V除数9,商是两位数

7.被除数前两位12二除数12,商是三位数

8.被除数前两位23V除数34,商是两位数

9.被除数前两位34〉除数23,商是三位数

10.被除数前两位45〈除数56,商是两位数

（四）除法算式谜专项练习答案

1.3X2=6,被除数十位是6;654-3=21……2,商个位是1,被

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除数十位是6

2.4X1=4,7口240,724-4=18,被除数个位是2,商个位是8

3.5X1=5,口2250,524-5=10……2,被除数十位是5,商个

位是0

4.6X1=6,8□与60,84:6=14,被除数个位是4,商个位是4

5.7义□二口4,7X2=1