辽宁省辽阳市某中学2025-2026学年高一年级上册期末模拟数学试卷

辽宁省辽阳市集美中学2025-2026学年高一上学期期末模拟数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人={-4,0,1,28},8={x|£=x},则人()

A.{0,1,2}B.{128}

C.{2,8}D.{0,1)

2.函数/(x)=1nx+――的定义域是()

3-x

A.(O,+e)B.(0,3)C.(3,+co)D.(0,3)U(3,-KO)

3.已知a/cA,则“">0”是"a>0且力>0、的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/(x)=03-«的零点所在区间是()

A.(0,0.3)B.(03,0.5)C.(0.5,1)D.(1,2)

5.已知事件A、B相互独立,事件4发生的概率为P(A)=1,事件B发生的概率为尸(8)=；,

则事件发生的概率P(Ac8)为()

6.已知/("=/-2四+1,对«1,包)都有一">>0成立,则实数”的取值

范围是(

A.[!,+<»)B.(-oo,l]C.[2,-+oo)D.(-oo,2]

7.己知函数/(力=2'+法+1超(力=1082工+2》+1,/7(力=丁+2^+1的零点分别是则

a,“c•的大小关系为()

A.a>c>bB.b>a>c

C.b>c>aD.a>b>c

8.设函数/Cr)=(%-〃)lg(x-b),若/(K)NO恒成立，则〃的值为()

A.10B.4C.2D.1

二、多选题

9.已知一组样本数据：2,2,0,2,4,1,3,则下列关于该组样本数据说法不正确的是（）

A.极差是5B.众数不等于平均数

C.方差是亨D.75%分位数是3

10.若实数x,y满足丁+），2=3+盯，则（）

4

A.xy<-B.x）^\C.|x+>'|<>/3D.|x+y|>2

II.现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相

遇一次，最后按各队的枳分排名（积分多者名次靠前，枳分同者名次并列）.枳分规则为每

队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为g,

则在比赛结束时，下列说法正确的是（）

A.甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况

41

C.丙队积分为3分的概率为二D.甲队胜2场旦乙队胜2场的概率为不

三、填空题

12.设向量a=（x+l,x）/=（x,2）,若a〃b，则1=.

13.函数）=/仄）是R上的增函数，且y=*x）的图像经过点4一2,—3）和8（1,3）,则不等

式[AZr—1）|<3的解集为—.

14.若a,bwR,对Vxw[-2,2],均有（2。+力+加一。一1«0恒成立,则2〃+力的最小值为.

四、解答题

1111

15.（I）解关于x的方程:--------=---------

x+1x+2x+3x+4

（2）求关于x的不等式父-卜7+1）4+。工0的解集.

16.某工厂有工人1000人，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名

试卷第2页，共4页

工人参加过长期培训（称为3类工人）.现用分层抽样的方法（按A类、8类分二层）从该

工厂的工人中共抽直100名工人，调查他们的牛.产能力（此处的生产能力指一天加工的零

件数）.

（1）A类工人和8类工人中各抽查多少工人？

（2）从A类工人中的抽查结果和从8类工人中的抽查结果分别如卜.表1和表2.

表1

生产能力分

[100.110)[110,120)[120,130)[130,14())[140,150)

组

人数48X53

表2

生产能力分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

人数63618

个频率/组距

0.048

上频率/组距0.044

0.040

0.036.0.036

0.0320.032

0.0280.028

0.0240.024

0.0200.020

0.016•—0.016

0.0120.012

0.0080.008

0.0040.004

0.100110120130140150生产能力°,100110120130140150生产能力

①求X、）'，再完成下列频率分布直方图;

②分别估计A类工人和〃类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

17.某企叶采用新T艺.把企业牛产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化T产品.已知

该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本》（元）与月处理量x（吨）

之间的函数关系可近似的表示为y=92—200.v+8（X）00,且每处理一吨二氧化碳得到可利用

的化工产品价值为100元.

（I）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

⑵该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多

少元才能使该单位不亏损？

14-Lr

18.已知函数/0)=1叫--(〃>0,。工1)是奇函数.

x-1

(I)求实数&的值，并判断函数在(1,*0)上的单调性(不需要证明)；

⑵当xe(p/-2)时，函数/*)的值域是(l,xo),求实数。与P的值：

⑶当〃26时，设函数g(o)=*+8(Al)a"，>-5,若存在实数义,使得不等式-5Wg(x”5对

任意的入w(L同恒成立，求义的最大值W®).

19.在平面直角坐标系X。1y中，对于点A(©/?),若函数y=/(x)满足：Vxe[t7-l,f/+l],

都有ye[。-1,0+1],则称这个函数是点A的“界函数”.

⑴判断函数)，=142工是否为点4(3,2)的“界函数”?并说明理由；

(2)若函数尸。是点A(〃,6)的“界函数”,求证：a=b；

⑶若函数)，=x-是点A,几〃?一；〃日的“界函数,,，求〃7的取值范围.

试卷第4页，共4页

《辽宁省辽阳市集美中学2025-2026学年高一上学期期末模拟数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DDBBBBCDABCAC

题号11

答案ACD

1.D

【分析】求出集合“后结合交集的定义可求4cA.

【详解】fi={x|x3=x}={O,-lj},故A]B={01},

故选：D.

2.D

【分析】根据对数函数真数大于零和分式函数中分母不为零列不等式组求解即可.

x＞0/、

【详解】由己知可得3TH0，所以xe(O,3)53,+a).

故选：D

3.B

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

【详解】时，一定有油＞0,必要性成立，

但，曲＞0时，如a=b=-2,，山=4＞0,但。＜0力＜0,充分性不满足，

应为必要不充分条件.

故选：B.

4.B

【分析】利用指数函数与幕函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.

【详解】由指数函数、显函数的单调性可知：y=O.3,在R上单调递减，)，=五在[0,+8)单

调递增，

所以〃力=03-五在定义域上单调递减，

显然〃0)=1＞0,/(0.3)=0.3°3-0.3°5＞0,/(0.5)=0.3°，-0.5°，＜0,

所以根据零点存在性定理可知/(X)的零点位于(030.5).

故选：B

5.B

答案第1页，共12页

【分析】根据独立事件的概率公式可求P（ACB）.

【详解】因为43相互独立，故P（4c8）=P（A）P（B）=；x；=；,

故选：B.

6.B

【分析】根据单调性定义可知函数/（x）在区间。皿）上单调递增，然后利用二次函数性质

列不等式求解即可.

【详解】因为内，七«1,转）都有""["'J>0成立,

X\~X2

所以函数/3=工2-201Tl在区间[1,+00）上单调递增，

所以一言41,解得则"（-OO』.

故选：B.

7.C

【分析】将问题转换成y=2\y=Iog2x,）,=｛与丁=_24」1交点的横坐标即可判断；

【详解】令f（x）=令g（x）=0，Mx）=。，

3

得2'=-2x-l,log2x=-2x-l,x=-2x-l,

则〃为函数y=2X与y=-2x-l交点的横坐标,

。为函数丁=log?%与丁=-2%-1交点的横坐标，

c为函数y=V与y=-2x-1交点的横坐标，

在同一直角坐标系中，分别作出），=2，。=108四），=3'和），=-2*-1的图象，

答案第2页，共12页

8.D

【分析】由/(")之0恒成立，按照电(工-少的符号进行分类讨论，得到“M+L可得答案.

【详解】f(x)的定义域为伍,+8),/(X)“恒成立可得(x-a)lg(x-b)NO恒成立,

当lg(x-b)>0时,即％>6+1时,恒成立,则aWb+1；

当】g(x-b)=O时，(r-a)lg(x-b))。恒成立；

当Ig(x-/?)<0时，即xvb+1时,工一。工0恒成立，则。之〃+1,

综上分析，“=〃+】，

所以=1.

故选：D.

9.ABC

【分析】将所给数据从小到大排列，由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断A；

出现次数最多的为众数，求出7个数据的平均数即可判断B；根据方差公式求解即可判断C；

由百分位数的计算方法即可求解D.

【详解】将2,2,0,2,4,1,3,从小到大排列,得0,1,2,223,4.

对于A,由已知样本数据的最大值为4,最小值为0,所以极差为4,故A不正确；

对于B,样本数据的众数为2,平均数为2+2+0+；+4+1+3二平所以众数等于平均数，

故B不正确；

对于C,方差为白[(2-2八3+(0-2)2+(4-2)2+(1-2『+(3-2)[=与，故C不正确;

对于D,因为7x75%=5.25,所以75%分位数是第6个数，即3,故D正确.

故选：ABC.

10.AC

【分析】由条件等式，结合基本不等式求个的范围判断AB,结合个《(岩J求k+_y|的

范围判断CD.

【详解】因为/+)，2=]+盯22冷，，所以外工二，

44

当且仅当工=)，=且或x=y=-立时等号成立，A正确，B错误；

22

答案第3页，共12页

因为孙£(苫2)，又(x+y)2=(+3个，

所以(x+)，)匕。+3(山故(x+»«3,

4I2J

所以次+)，区6,当且仅当不=丁=*或X=y=-乎时等号成立，C正确，D错误.

故选：AC.

11.ACD

【分析】对A,根据互斥事件的定义判断；对B,根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、

乙丁平、丙丁平分析判断：对C,分两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场，讨论求解；对

D,根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解.

【详解】对于A,甲队胜3场是指甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁，

乙队胜3场是指乙胜甲，乙胜内，乙胜J,小可能同时发生，故它们是互斥事件，故A止

确；

对于B,若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、乙、丙各得4分,

丁得3分，故B错误；

对于C,丙队积分为3分，包含两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场，

若丙胜I负2场，则其概率为=2，

若丙平3场，则其概率为pL［=-L,

⑺27

所以丙队积分为3分的概率为2=白3+91=4=，故C正确;

272727

对于D,甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况：

若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为仕］.2.仕］=二-

⑶3⑶81x3

若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为口1.2.己］=二一,

［3)381x3

若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁,

"占2"工

其概率为

3333x81

答案第4页，共12页

2251

所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为+

81x381x381x327

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题选项D解题的关键是根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，

甲胜乙丁，甲胜丙丁，由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可.

12.1±73

【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解即可.

【详解】当时，2(x+l)=f,解得x=］土石.

故答案为：

13.口』

【解析】由函数的增减性和经过A(—2,—3)和3(1,3),确定(A2工-1)|<3自变量取值范围，

再解不等式即可

【详解】因为y=Ar)的图像经过点4—2,一3)和8(1,3),所以1-2)=-3,/(I)=3.

又直左—1)|<3,所以一3勺(2x—1)<3,即人一2)勺(2x—1)勺(1).因为函数)，=兀6是R上的

增函数，

2K—1>—2,x>—,1

所以一2<2丫一1<1,即《),,即2所以一：<“<1,

|92

故答案为：

【点睛】方法点睛：本题考查由函数的增减性求自变量取值范围，常用以下方法：

(1)分析函数的增减性和奇偶性；

(2)采用去的方式解关于自变量的不等式.

14.-4

【分析】先设，=2〃+匕，根据不等式的形式，为了消。可以取x=-g,得到壮-4,验证r=T

时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.

【详解】设/=勿+〃，原题转化为求/的最小值，

原不等式可化为对任意的—24x42,tx~+(t-2a)x—a-\<0,

不妨代入人=-；，得;-2〃)-K0,得/之-4：

答案第5页，共12页

当/二Y时，原不等式可化为-4丁+(_4一为)x-aTwo,

即一2X+&+1)]

+-a2<0,

4

观察可知，当。=0时，一(2%+1『<0对—2<x<2一定成立，当且仅当x=—；取等号,

此时，a=0,b=-4,说明/=-4时，〃均可取到，满足题意，

故1=2a+Z?的最小值为

故答案为：—4

15.(1)—1-；(2)答案见解析

【分析】(1)方法一：化分式为整式解分式方程；方法二：整理得

(21+5)/J二.=0,分析求解；

(X+l)(x+4)(A+2)(X+3)

(2)分类讨论两根的大小关系解一元二次不等式.

【详解】(1)(方法一)方程两边同乘(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)得

(x+2)(x+3)(x+4)—(x+l)(x+3)(x+4)=(x+l)(.r+2)(x+4)—(x+l)(x+2)(x+3),

即(x+3)(x+4)=(x+l)(x+2),所以7x+12=3x+2,

解得x=一|,则解集为卜：

(方法二)原方程可化为一二+一二=一二+一二，

x+1x+4x+2x+3

2x+5_2x+5

即(x+l)(x+4)=(x+2)"+3)'

UP(2x+5)----------------------------=0,

[(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)

因为

]____________[_(x+2)(x+3)-(x+I)(x+4)___________2__________

(x+l)(x+4)-(x+2)(x+3)­(x+i)(x+2)(x+3)(x4-4i-(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)

所以2x+5=0,解得,.■!，则解集为卜J

(2)原不等式可化为(x-l)(x—a)«0,

令(x-l)(x-a)=0,解得x=[或x=a,

答案第6页，共12页

当。=1时，解集为｛1｝;

当avl时，解集为｛MaWxWl｝；

当01时，解集为｛x|lW。｝.

16.(1)25名和75名；

⑵①x=5,y=15,频率分布直方图见解析；②123,133.8,131.1.

【分析】(1)先计算抽样比，进而可得各层抽取人数；

(2)根据第一问结合表1和表2即可求出工儿根据频率分布直方图的画法即可画出频率

分布直方图；利用频率分布直方图的平均数公式可求出答案.

【详解】(1)由已知可得，抽样比〃=盥=［，

I000I0

故A类工人应抽取250x1=25^,8类工人应抽取750x1=75^,

所以A类工人和3类工人中分别抽查25名和75名.

(2)①由(1)得4+8+工+5+3=25,解得x=5,

6+y+36+18=75,解得y=15,

所以A类工人生产能力频率分布直方图如卜所示：

今频率/组距

0.036

0.032

0.028

0.024

0.0208类工人生产能力频率分布直方图如下所示:

0.016

0.012

0.008

0.004

O100110120130140150生产能力

个频率/组距

0.048

0.044

0.040

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004-I--------------------->

O100110120130140150生产能力

=—xl05+—xll5+—X125+—xi35+—x145=123

25252525

A1SAA1Q

—xll5+—xl25+—xl35+—x145=133.8

75757575

答案第7页，共12页

：.x-——x123+——x133.8=131.1,

100100

所以A类工人生产能力的平均数，8类工人生产能力的平均数以及该工厂工人生产能力的平

均数的估计值分别为123、133.8和131.1.

17.(I)该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低

(2)该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损

【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为工，利用基本不等式求解即得最低成本；

x

(2)写出该单位每月的获利/")关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即

可作答.

【详解】(1)由题意可知：x2-2(K).r+80000(4()0<x<6(X)),

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

—=—+

x2

当且仅当3=等,即,=400时,等号成立'

.・.该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；

(2)该单位每月的获利:

/(x)=100x-42一20(3+80000

2

因400<x<600,函数/(力在区间［400,6(刈上单调递减，

从而得当x=400时，函数/(“取得最大值，(400)=T0000,

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.

18.(1)A=1,/(x)在(1,他)上单调递增.

⑵4=2+5p=l.

(3)(p(a)=—+h^-+—(6<a<16).

a\a~a

【分析】(1)根据奇函数定义列式求出3分和讨论，利用复合函数单调性判

断；

(2)分析所给区间是函数定义域的子集，从而得出〃的范围，确定函数的增减性，再由单

调性求其值域即可；

(3)先分析二次函数g(x)在xc(l,/U上单调递减，利用函数单调性得到煎团2-5,即可分

答案第8页，共12页

析出关系式.

【详解】⑴由己知条件得了(・％)+f(x)=O对定义域中的“均成立,

-kx+\.\+kx八-kx+\\+kx

所以log4----r+tlog”—r=°，即Rn-----r----7=1，

-X-1x-l-x-lx-l

整理得犬_?_]=/一],对定义域中的X均成立，即伏2-1卜2=0,所以3=],

当&=一1时，/(X)无意义，故舍去，当女=1时，/(X)为奇函数，故&=1.

所以fW=log”二=log/1+,

x-\x-l)

2

当时，)，=1+一在(L+8)上单调递减，则/。)在(1,+00)上单调递减，

X-I

2

当Ova<l时，>'=1+—在(L-)上单调递减，则/(/在(1,+如上单调递增.

x-l

(2)由(1)得/(x)=log“二，故函数"力的定义域为(T»T)J(L+OO),

x-l

①若〃<4一2工一1,则0<avl,所以函数f(x)在区间(〃,。一2)上为增函数，

,1+〃1

log"-------=1

要使/*)的值域为(1，+8),则P-1,无解;

4-2二-1

②若lKp<a-2,则。>3,所以函数/(X)在区间(PM-2)上为减函数,

P=1

要使/*)的值域为"+8)，则।a-l解得〃=2+百，P=l,

10g“-T=>

。一3

综上，a=2+^3»P=1.

(3)由题可得：g(x)=-ax2+8(x--5=-ax1+8x+3=.r--I+3+印

4

则函数以工)的对称轴为x=-,

4，

因为。26,所以x=—«=故函数g(x)在1£(1,福上单调递减，

a3

要使得xw(1,幻时-5Wg(x)W5恒成立，则一5<g(4)<式r)<g⑴<5,

由飘1)=一。+1145,得心6；

X^(A)>-5,[ip-A/12+8/1+3>-5»所以。义2一8/1—840,

日n128。8\4丫/68

即4—A—<0,所rrr以I)|九—<—4—,

aa\a)cra

答案第9页，共12页

故士-J^r+-w4«3+、修+♦，所以9(。)=3+佟+»(a>6).

a\aaa\a'aa\aa

又因为2>1,故**解得。<16，

故伊(a)=：+净与6316).

cra

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二次函数的性质，结合〃的范围得出g(M的对称轴

4.

为x=一，从而得出函数g*)在T6(I,2]上单调递减.

a

19.⑴丁甘瑛工是点A(3,2)的“界函数”，理由见解析

(2)证明见解析

「13一

⑶b寸

【分析】⑴根据“界函数”的定义判断;

(2)根据“界函数”的定义得到[。-1M+1仁也TH1],然后列不等式得到心：；，即可得

到4=〃；

(3)根据“界函数”的定义得到函数)，=X-*2的定义域然后分〃区0、0<7H<l,[<m<2

和〃?N2四种情况讨论函数的值域，列不等式求解即可.

【详解】(1)解：当xw[3-l,3+l],即xe[2,4]时,y=log2xe[l,2],

又[1,2仁[2-L2+1],所以函数1=1暇%是点A(3,2)的"界函数”.

(2)证明：由函数y=工是点A(〃S)的“界函数”，且函数为增函数，

当x«a-lM+l]时，函数y=x的值域为

因为ye[〃-所以[a-l,a+l旭[〃-1/+1],

b-\<a-\t)<a

所以<解得心〃，所以。源

。+1"+1

1(1\

(3)解：因为函数)，=是点4m〃-针J的“界函数”,

所以Dxe上〃-1,〃2+1]都有

当"7+141,即〃?工0时，y=在上单调递增,

答案第10页，共12页

又当X=〃7-1时,y=(/??-1)-—(///-1)2=2m~—ni2--

222

当X=〃?+1时,

所以），二工一3工2在［〃?_］,加+1］上的值域为2"7-g"『一

3111,,1,,

所以2m--m2—,----"厂2um—nr-\,rn-m~+1

222J-L22

c123、1,,

2m——m——>m——m-1

222解得〃后，又〃”。，所以这种情况不符合题意;

所以

-1-----1-tn<m-1m2+I.

222

；?；+1>1

当时E，即。<，〃<2时,），=、-；/在卜"-川上单调递增，在［1,〃什1］上单调递减,

所以％=1-?12=3

||Q

又当x=〃?一］时，>'=(/n-l)——(///-!)-=2ni——m2——

222

当x=〃［+］时，y=(/??+1；-—(/??+1)'=---m2.

222

.