垂径定理-初中-数学-教学设计

垂径定理陈永泉西安滨河学校一、内容和内容解析本节课是《圆》的第三课时，主要内容是探究垂径定理与垂径定理的逆定理的过程．通过圆的对称性，然后通过观察圆，总结归纳出垂径定理，进一步应用垂径定理及其逆定理。本节课对垂径定理的探究，体现了“数形结合”“几何直观”“转化”“方程”“建模”的思想．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比圆的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．垂径定理及其逆定理是解决几何计算中的重要工具，为证明线段相等和垂直的关系提供了一种新的方法.二、教学目标和重难点教学目标：1.知识技能目标：理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。2.过程方法目标：经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。学会与人合作探索获得新知识的一些方法。3.情感态度与价值观：通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。教学方法：引导学生观察、分析、发现和提出问题.通过“观察——感性——理性”引出垂径定理．

进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．教学重点：运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.教学难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.三、教学学情分析本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材垂径定理的教学案例中处于非常重要的位置。

四、教学过程设计【课前知识检测】一.判断对错：1、平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（

）2、平分弦的直线，必定过圆心。（

）3、一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。（

）4、弦的垂直平分线一定是圆的直径。（

）5、平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（

）6、弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。（

）二．看图填空：①∵CD是直径，CD⊥AB②∵CD是直径，AE=BE∴

_________________∴

_________________③∵

AE=BE，CD⊥AB

∴

________________【探究新知1】垂径定理的探索探究举例：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．探究提示：1.同学们根据圆的对称性，学生独立操作，在草稿本大胆猜测并且能推理猜想的结论。2.小组成员在独立思考后看看自己有什么发现？3.语言归纳总结垂径定理的的内容。疑问：①定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段。②条件中的“弦”可以是直径，结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧。【探究小结】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.格式：在⊙O∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB∴AM=BM，eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC))；eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD))

【探究新知2】垂径定理的逆定理探索探究举例：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB与点M，AM=BM．（1）则AB⊥CD成立吗？

（2）．eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC))；eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD))也成立吗？

模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容探究提示：ODBAODBAC2.小组成员在独立思考后看看自己有什么发现？3.语言归纳总结垂径定理逆定理的内容。疑问：本题中为什么强调这条弦不是直径？能举出反例吗？【探究小结】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.几何规范书写：在⊙O中∵CD是直径，AB是弦，AM=BM∴CD⊥AB，eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AC))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BC))；eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(AD))=eq\o(\s\up1(⌒),\s\do5(BD))

【探究总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.归纳：求圆中有关线段的长度时，常借助垂径定理转化为直角三角形，半径r、弦半a/2、弦心距d，三者构造出一个直角三角形，知道两个量可用勾股定理求出第三个量。

①垂直于弦

②一条直线过圆心

③平分弦④平分劣弧⑤平分【探究应用】1．下列命题中，正确的是（）.A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径.B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦.C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心.D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.2.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是()A．CE＝DEB．AE＝OEC.D．△OCE≌△ODE3.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为()A．3B．2.5C．4D．3.54.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（）A．B． C．D．5.一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？【课堂总结收获】探究1的主要目的是通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；探究2的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识。【布置作业】课后作业【教学