2026届广东省茂名市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2026届广东省茂名市高考数学自编模拟试卷

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的班级、姓名、考场号、座位号

和准考证号填写在答题卡上，用2B铅笔在“准考证号”栏相应位置填涂自己的准考证号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能写在试卷上。

2.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置

上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求

作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题

1.已知集合A=p,2M2｝,8=｛l,2,2a+3｝,若A=,则实数。的值为()

A.I或-3B.3或一1C.3D.-1

2.已知复数2=。+加(a/wR),若iz在更平面内对应的点位于第三象限，则()

A.。>0,匕>0B.(?>0>/?<0

C.a<0,/?>()D.a<0,b<0

3.已知平面向量”，〃满足向二|力卜1,k®=60,则,+23()

A.1B.耶C.2D."

4.已知函数/(.r)=6sin(2s)+cos(2g)+l(Q>0)的最小正周期为兀，将了⑴所有的正零点按从小

到大的顺序排列得到数列｛8｝,则数列｛玉｝的前12项的和为()

A.387tB.&hrC.72兀D.767r

5.己知/(力是定义在R上的奇函数，则"〃2)>/(-2尸是"/(力在［0,田)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.记正项等比数列｛%｝的前〃项和为S”，且4=1,S3=13,则4=()

A.243B.81C.27D.9

7.已知圆C：(x-3『+V=9二有不同的4个点到直线/：)，=履的距离等于1,则实数攵的取值范围

是()

_33262后

A.D.

55

8.若函数/（X）=O?+COSA•在x=0处取得极小值，则实数〃的取值范围是（）

C.D.

2

二、多选题

9.下列命题中正确的有（）

A.直线/的方向向量。:（（）」,—1）,平面。的法向量〃:（1,一1,一1）,则///a

B.两个不同的平面a,4的法向量分别是〃=（2,2,-1）,v=（-3,4,2）,则aJ•夕

C.”是平面0的法向量，a是直线/的方向向量，若出吊=120。，贝I"与平面a所成角为30。

D.平面a经过三点4（1,0,-1）,8（010）,C（-l,2,0），向量〃是平面。的法向量,则〃+/=1.

10.已知0为坐标原点，动点M到点/（1，0）的距离比它到直线工+3=0的距离小2,记动点仞的轨

迹为曲线C,过点尸的直线交C于A8两点（点A在第一象限），且|AF|=4,则（）

A.。的方程为y?=4x

B.直线/W的方程为y=

C.MM*

D.VAO8的面积为手

II.在锐角V48C中，角4B、C的对边分别为a、b、c,若3/—3/=。2,则下列结论正确的是（）

A.c=3/x:osAB.tanA=3taiiB

C.（an«>—D.taMtanBtanC的最小值为植

24

三、填空题

12.若关于xe（0,y）的不等式理吁"卜+皿力］恒成立，则实数〃的取值范围为

13.数列｛q｝中6=2,且满足%•%+]=/，％+4用="，则数列｛"｝的前2024项的和为.

14.随机变量X~N(3,〃)，且p(XNl+/)=0.7,则P(X>5—『)=.

四、解答题

15.2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，

作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号G1和5

的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入.比赛流程如下：。和(需依次

完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、

3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜.两只灵巧手分别对比

赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下：

完成电路板焊接次数完成精密设备开启次数完成精准打螺丝次数

G101824

&151515

若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立.

(1)求比赛中K只完成了一个项FI的概率；

(2)记G1在比赛中的总分为X,求X的分布列；

(3)已知本次比赛G1获胜，求K的总分不低于5分的概率.

16.已知等差数列｛4｝与正项等比数列也｝满足4=々=3,2-%=12,%+%=14

⑴求数列｛q｝和｛2｝的通项公式；

(2)若6=—,求数列仁｝的前〃项和.

441+1

17.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，A8=M=百，AC=2,AB1AC,。为AG的中点.

B

(1)证明：从月,平面外⑶。；

⑵求点人到平面BC。的距离.

18.已知抛物线。:丁=41的焦点为尸，以点尸为圆心作圆，该圆与x轴的正、负半轴分别交于点〃,G,

与C在第一象限的交点为P.

(1)证明：直线PG与C相切.

(2)若直线PH,PF与C的另一交点分别为N,直线MN与直线PG交于点7.

(i)证明：|7M|=4|77V|；

(ii)求PMT的面积的最小值.

19.已知函数〃力="(3-2).

(1)判断“X)的奇偶性，并说明理由；

(2)讨论困数g(x)=/(x)-”零点的个数；

(3)求不等式/[^一已]+/(：-3。,+©2，＞0的解集.

2026届广东省茂名市高考数学自编模拟试卷

参考答案

题号12345678910

答案CCDABADABCDABD

题号11

答案ACD

i.c

【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断.

【详解】由{12"}={1,2,24+3}可得：/=2〃+3,解得4=3或〃=一1,

当“=-1时，rr=l,不满足集合中元素的互异性，故金去〃=-1,

即〃=3满足题意，

故选：C

2.C

【分析】由复数乘法运算以及复数的几何意义列不等式即可求解.

【详解】iz=乂。+砌="+H，贝小“I；）。，即“<0，力>0・

故选：C.

3.D

【分析】由题意，结合,+涕『=1+4〃/2+4//计算即可求解.

【详解】由题意知，H第=1，”）=肛

,I2/?|a\4ab\4/?"-1I4pz||^|cos60I4-7f

所以k+叫=疗.

故选：D

4.A

【分析】由辅助角公式化简，并利用了"）的最小正周期求出0=1,得到/（X）的解析式，令〃x）=o

得到x=］+E或祭+E,kwZ,确定｛%｝奇数项和偶数项分别为公差为兀的等差数列，利用等差

数列求和公式得到答案.

(详解】/(X)=Gsin(2<yx)+cos(2a)x)+\=2sin(2g+^)+1,

因为/W的最小正周期为兀，<y>0,所以芋=兀，故勿=1,

2(0

所以/(x)=2sin(2x+2)+l,令/(x)=0,即2sin(2x+1)+l=0,

即sin(2x+［］=—：,所以2x+?=?+2E或坐+2E,

k672666

解得x=W+E或学+E,KeZ,

26

又/(X)所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列｛%｝,

故令攵eZ且-0,得到％=焉占=2W=¥，%=¥，•…，

2o2o

显然，奇数项为首项为公差为兀的等差数列，

偶数项为首项为誓，公差为兀的等差数列，

故数列的前12项和为］x6+竽X7r+£x6+竽乂五=38兀.

故选；A

5.B

【分析】根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行判断即可.

【详解】由〃2)>/(-2)=〃2)〉-/(2)=八2)>0,

因此不能判断“X)在［。,帝)上单调递增.

当/在［0,心)上单调递增，

所以/(x)N/(0)=0n/(2)>0n2/(2)>0n〃2)+〃2)>0

^/(2)-/(-2)>0^/(2)>/(-2),

因此“/⑵>/(-2)〃是“/(力在［0,内)上单调递增〃的必要不充分条件.

故选：B

6.A

【分析】根据题意结合等比数列通项公式可得，=3,进而可得

【详解】设正项等比数列｛《｝的公比为4＞0,

且4=1,贝I]S3=。]+生+=1+夕+I?=13,

整理可得q'q-12=（）,解得“=3或夕=-4（舍去），

所以4=3'=243.

故选：A.

7.D

【分析】求圆心到直线/的距离〃=-/粤=,由题意可知代入运算求解即可.

〃+1

【详解】由题意可知：圆。（x-3『+），2=9的圆心为C（3,0）,半径r=3,

则C（3,0）到直线/：依-＞，=0的距离1=7^,

若圆C上有不同的4个点到直线/的距离等于1,则“＜一1,

即最必＜2,解得一"太＜吗

y]k2+\55

2x/52卮

所以实数A的取值范围是

55

故选：D.

8.A

【分析】求导并计算得出了‘（（））=（）,分析可知，存在T%），对任意的、.（），£）恒成立，

然后对实数〃的取值进行分类讨论，分析函数/（X）在（0，£）上的单调性，可得出结果.

【详解】由题意，得r（x）=*—sin3则r⑼=o,

因为，（刈=加+8=•在x=。处取得极小值，所以，r（o）=o,

且存在收（0,3,使得当XG（-£，0）时，r（x）＜0,函数/3在（-£,0）单调递减，

当xw（（u）时，r（x）"，函数/（X）在（0⑼单调递增，且函数r（x）的定义域为R,

因为/'(f)--2aLsin(一司一-2ov+sinA-'(k),故函数/'(k)为奇函数,

则问题等价于：r(x"O对任意的恒成立,

令g(x)=2ca-sinx,则g'(x)=2a-cosx,

若g'(x)=2a-cosxN0对任意的xe(O,£)恒成立，则2〃21,解得“之；，

此时函数/'(同在(0,£)上单调递增，当x«0,£)时，/。)>/'(0)=0,合乎题意；

若g'(x)=2a-cosx40对任意的x«0,£)恒成立，则2a<cosc,解得“工；cos£,

此时函数r(x)在(。⑻上单调递减，当代(()⑻时，/，(x)<r(O)=O,不合乎题意；

当JcOS£<4<；时，因为函数g'(X)=2/7—COSX在((),£)上单调递增，

JJ

且g<0)=2a—l<0,g[c)=2a—cos£>0,则g'(O)g'(c)<。，

由零点存在定理可知，存在毛£(0,£),使得/(毛)=0,

当。时，，(x)<o,函数r(x)在(0,为)单调递减，r(x)<r(o)=o,

从而可知，函数/(力在(0,%)上单调递减，不合乎题意.

综上所述，实数，，的取值范围是(，+8)・

故选：A.

9.BCD

【分析】由空间位置关系的向量证明判断A、B;利用线面角的向量求法可判断C;利用平面的法向

量的性质可判断D.

【详解】对于A:ti/i=0xl+lx(-l)+(-l)x(-l)=0,

a±n,:./Ha或lua、故A错误；

对于B：两个不同的平面明夕的法向■分别是〃二(2,2,-1),v=(-3,4,2),

且“…=2x(—3)+2x4-lx2=0,所以a_L凡故B正确；

对于C：〃是平面a的法向£a是直线/的方向向量，若<〃,a>=120。，

设直线/与平面0所成角为明则sin0=|cos(/?,«)|=|cos120。|=|-1l=|,

乙乙

得夕=30。，即直线/与平面。所成角为30。，故C正确；

对于D：由题可得ABua,=,若向是平面。的法向量:,

1（.1111

则有小A8=0,得-l+〃+r=0,贝+/=故D正确.

故选：BCD.

10.ABD

【分析】由抛物线的定义可判断A项，由八（3,2右），/（1。）及两点式方程可判断B项，由弦长公

式可判断C项，由三角形的面积可判断D项.

【详解】由动点M到点产（1.0）的距离比它到直线x+3=0的距离小2,可得动点例到点5（1,0）的距

离等于它到直线工+1=0的距离，

故动点”的轨迹是焦点为尸（1，。）的抛物线，故。的方程为），2=4x,故A正确；

设A（X，yJ，3（%为）,点A在第一象限，则内>。5>0,

由|4日=4,得x+l=4,得$=3,代入）,2=4%,解得y=2G,则A（3,2g）,

y-Qx-]

而尸（1,0）,故直线"的方程为：诉不二获7,得y=®x-6,故B正确；

厂厂

由J'「"一，消去九得3/-IOx+3=O,.甬+占=?中2=1，

y-=4x]

贝1]同网=$+&+2=曰+2=?,故C错误；

JJ

点0到直线A8：y=后的距离为：网=立，

22

则VAO3的面积为人如《=白与再=竽，故D正确.

故选：ABD

11.ACD

【分析】利用正弦定理、余弦定理，和差化积公式与和角公式将题设等式化简即可判断A,B项；

借助于和角的正切公式和题设条件由tanC>0即可证明C项；利用求导判断函数单调性即可求得最

小值判断D项.

【详解】对于A,由3/一3/J=/和余弦定理，可得3（（?2-2加（：0$人）=/,整理得2c2=6bccosA,

即得c=3/?cos/A,故A正确；

对于B,由3/一36=/和正弦定理，可得3sin2A_3sin"=sin2a则

J-cos2Al-cos28、.2-

3(------------------)=sinC,

22，

3

BP(cos2^-cos2A)=sin2C,由和差化积公式可得-3[sin(4+8)sin(B-A)]=sin,C,

因sin(A+B)=sin(jr-C)=sinC工0,则得-3sin(B-A)=sinC=sin(A+B),

展开得一3(sinAcosA-cosAsinA)=sinAcosB+cosAsinB,

整理得cosBsinA=2cosAsin8,则有tanA=2lan8,故B错误；

对于C,因VA/3C是锐角三角形，故

-/,n、/,c、tanA+tanB3tanB

tanC=tan(7t-A-B)=-tan(A+B)=-------------=--------；—>0,

1-tanAtanl-2tan-^

则得1-Ztaif^cO,即tan*',故tan8>也，即C正确；

22

对于D,又tanAtan/丸anC=2tan?BtanC=——‘由’,t<inB>,

1-2tan-B2

设tan8=x,贝lJxe（*,+8）,且/3）=—］，：*，xw吟.）,则广。）=

当也<%<逅时,r（x）<o,即y（x）在（率净上单调递减；

当（如,+00）时，八#>。，即f（x）在（巫,y）上单调递增.

22

故

即当tan8=理时，laMa曲tanC的最小值为为5,故D正确.

24

故选：ACD.

1_

12.一，e

_e

【分析】先证明若原不等式恒成立，贝IJ有LaWe,再证明若LoWe,则原不等式恒成立，即可

ee

得到〃的取值范围是-，e.

c

【详解】①若原不等式对恒成立，取r=e,得I竺KOe，+ln3.

e\eJ

而¥=j'《e’+ln看)=〃,+1—ea),故尸+1-或)，解得(工^工广二

再取x=l,得e+ln/j,从而OK。e+lnV)=a(e-a),解得0<〃<e.

从而一定有

e

②若设/(回=处，贝|］对o<x<e有r(x)=«^^>0,对"e有r(x)=lz^<0,

exxA

所以/(X)在(o,e)上递增，在©田)上递减.

故对任意x>0,都有/(x)4/(e)=！，«--=«-/(%)>6/-->0,

exe

］一〃咨"=-a—>-—>.

这就说明了哈卜,故

〃卜+嗒)手=〃"门-叶+=斗-¥)(>塌>.

从而e‘In有Y(e'+ln±JV',即原不等式恒成立.

xIeJ

综上，。的取值范围是Le.

_e_

故答案为：［Le.

e

【分析】根据题意得到，4,%,%,L以及0，4,《，L分别是公比为g的等比数列，再分

奇偶讨论，结合分组求和计算即可.

【详解】解析：由％=2,-得。2=；,尸皆，4—=击得当=；

u

/4Z-in**

所以％,6,%,L以及%,4，L分别是公比为：的等比数列，

n-1〃・2〃+2

当〃为奇数时，a=2口]亍，当〃为偶数时，a=lflF=fip

"⑴w4（2jI2J

所以，当〃为奇数时,

n+2

当〃为偶数时，〃=4+〃+*丫瑞2

9

(024=(4+83+............+力2023)+(匕2+，4+，+^2024)=2

故答案为：7

3

14.0.3/—

10

【分析】利用正态分布的对称性有尸(XW5-")二尸(X21+〃)=0.7,即可求.

【详解】因为X~N（3,/），即〃=3,且（1+/）+（5-/）=6=2〃，

所以P（X«5—b2）=尸（XNl+b2）=0.7,

贝I]0（X>5—b2）=l—P（XK5—b2）=0.3.

故答案为：0.3

15.（1）比赛中匕只完成了一个项目的概率为1

O

（2）答案见解析

73

（3）已知本次比赛a获胜，求（的总分不低于5分的概率为焉

24o

【分析】（1）分析可得X每个项目完成的概率均为结合二项分布求解概率即可;

（2）记比赛中G1得分X,则X的可能取值为0,2,3,5,7,8.10,确定G1完成电路板焊接、精密设备开

启和精准打螺丝的概率，由此可确定随机变■对应的概率，从而得分布列；

（3）记（在比赛中的总分为y,的可能取值为0,2,3,5.7,8,10,求解y的概率，再结合条件概率公

式即可得所求.

【详解】（1）由于进行了30次赛前模拟，叫每个项目完成的次数均为30次,

则匕每个项目完成的概率均为j,

（1、

设完成比赛项目个数为3则3,-,

则p（"i）=c；x?（34

故比赛中叫只完成了一个项目的概率为2；

O

⑵记比赛中5得分X,则X的可能取值为023,5,7,81（）,

6完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为,

10?44??16…c\13262

P（X=0）=-x-x_,P（X=2）=-x-x-—,P|X=3）=-x-x-=—=—

Wetr75'75537525

432121《,P（X=7）=4218

P（X=5）=—X—X—+—X—X——x—x—

55355355375

124

P（X=8）=—x—x—=—=—,P（X=7）10=—x—x—

75537525v'55375~25

所以X的分布列为:

X0235810

416226814

P

75752575752525

（3）记/在比赛中的总分为y,的可能取值为023,578,10,

所以夕"=〃）=佶］=1（7=0,2,3,7,8,10）,P（y=5）=2xfl>|

记比赛“G获胜〃为事件B,“降的总分不低于5分〃为事件C,

则

411381

P（C\B｝=PM）=__________天,♦+天二十五二___________=48+9+16=73_

｛P（B）4713852632116184+18+40+78+12+16248

258254758758254758

73

故已知本次比赛G获胜，求K的总分不低于5分的概率为百.

16.⑴=2〃+1也=3"；

6«+9

【分析】（1）由等差、等比数列的基本量表示已知条件求出乩4,得到通项公式；

（2）裂项相消法求和.

【详解】（1）设等差数列｛《｝公差为d,等比数列｛"｝公比为%则9>0,

且上：*一6〃〉即产二°,解得忆

q+d+如=14[d+3g-11=0（<7=3

所以《,=3+-1)x2=2〃+1也=33"।=3"；

⑵由(1)”,(2〃+1)(2〃+3)=512〃+1-2〃+3)'

设数列｛g｝的前〃项和为I,

1f11111111(11、n

贝mile"=------+-----++------------=-----------=------

1n2(35572〃+12n+3)2(32〃+3,6〃+9

17.⑴证明见解析

【分析】方法一：（1）由直三棱柱的性质结合题设易得由A4,_LAC,ABIAC^ACI

平面AA43,进而得到可得4q_LA。，进而求证即可；

（2）设点A到平面BCD的距离为d,利用等体积法匕=匕应,求解即可；

方法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证得AB.1A.D,进而求

证即可；

（2）利用空间向■求解即可.

【详解】（1）方法一：由直三棱柱的性质可知伏，平面ABC,

因为AB.ACu平面ARC,所以AA_LA3,AA,±AC,

由题可知四边形A448为矩形，48=AA,

所以四边形由为正方形，所以从A3,

因为A41d.AC,ABJ.AC,A41r43=A,且A4,,A8u平面AA8Q,

所以ACJ_平面4448,又AB2平面A4.B避，

所以AC_LAB1,因为AQ//AC,所以Ag_LA。，

又因为4用】4。=A，AOu平面儿8。，

所以A&_L平面ABO.

方法二：以4为原点，ABtAC,八4所在直线分别为x轴，），轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则40,0。，仅6。0）,C（0,2,0）,0（01,G）,A（0,0,6）,

耳（瓜0市）,

则A4=（百，。，百），4〃=（6,0,一百），4。二（04，。），

所以44.AK=6XX/5+OXO+V5X(-V5)=O,

AB1•A。=\/5x0+0xl+V5x0=0,

所以AM_L43,AS_LA。,

又因为AD=A,AB,ADu平面ABD,所以4用_L平面ABD.

（2）方法一：设点A到平面ACT）的距离为d,

易得BC=V7,BD=币，CD=2,

DB2+I3C2-DC2_7+7-4_5

则cosZ.DBC=

2DBBC~2yfl-y/7~l

则sin/DBC=Jl-cos?NDBC=半,

所以SftrD=-DB«CsinzD^C=ixV7x>/7x—=x/6,

则%_g=当4,%-3；XGX2X6=1,

由展8c=ke得，1=争，解得，/=争

所以点A到平面BCD的距离为好.

2

方法二：由(1)得AC=(0.2,0),«C=(-x/3,2,0),CD=(0,-l,V3),

_n-BC=073x+2y=0

设平面BCD的一个法向量为〃=(xy,z),贝i]，所以]■,

n-CD=0[-y+j3z=0

取x=G,则y=[,z=g,所以〃=瓜，

22V22J

|AC川—3—丁

设点4到平面HCD的距离为"，则"一\n\~卜十9十3~T,

所以点A到平面BCD的距离为1.

18.⑴证明见解析

(2)(S)证明见解析；(0)y

【分析】(1)根据题意，表示出直线PG的方程，然后与抛物线方程联立，由△=()即可证明；

(2)(0)根据题意，设直线夕尸的方程为x=(y+i,与抛物线方程联立，即可得到点M〃的坐标,

从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点M的坐标，再结合相似三角形即可证

明；(回)由条件可得口“=/△峥.,再由S"二：网回|代入计算，即可证明.

【详解】(1)由题意知*1,0),

设P(〃2,2〃)(〃>0),则归臼=*+1,

所以|Gr|二|切|=1+1,所以G(-〃2,o),

所以直线PG的斜率为」，方程为y='(x+〃2).

nnv7

联立方程「'得-4〃y+4/尸=0,

/=4x,

因为八二0,所以直线PG与。相切.

⑵

(ra)设直线刊7的方程为x=(y+"

由卜'一"：可得)?一4小一4=0,贝又因为川〃2,2〃)，所以N(5，-：

x=ty+\,

由⑴知，点”(〃2+2,0),直线叨的斜率为一〃，方程为)，=-〃卜-〃2-2),

/=4x,

由得-4/-8=0,由外加二-4〃=8,

y=-n(x-n2-2n

(44

得M/?0"+—+4,一2〃——

In~n

2

作NEJ.PG,垂足为£,则EN〃2“，直线EN的方程为>=-〃

y-)

将直线EN与PG的方程联立，得解得q—万・

)，=_1卜+〃2),

n'

(1|A44)

所以EN==+1,一〃——，PM=—+4,-4n—,所以PM=4EN,

n~n)

由相似三角形的性质可得17M=4|刀V|.

(0)由⑻知17Ml=4|7N,所以17pl=4|阳，故％PNT=TS&PNE»

J

因为欧=Z+1,〃+)),EN=(*1,-〃-：),

所以S