高考数学复习专项练：利用正态分布的对称性求概率或参数值（原卷版）

专题36利用正态分布的对称性求概率或参数值

一、多选题

i.给出下列命题，其中正确命题为（）

A.若回归直线的斜率估计值为0.25,样本点中心为（2,3）,则回归直线的方程为y=0.25x+2.5

B.随机变量自〜5（〃，〃），若石《）=30,力（《）=20,则〃=90

C.随机变量X服从正态分布N（l,cr2）,P（X>1.5）=0.34,则P（X<0.5）=0.16

D.对于独立性检验，随机变量K?的观测值A值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

2.若随机变量gN（o,l）,。（工）二尸仔《力，其中工>0,下列等式成立有（）

A.。（一X）=l-0（X）B.0（2X）=%（X）

C.P（|目<"=20（力-1D.P（同>X）=2-°（X）

3.已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分

数转换区间为（60,300］,若使标准分X服从正态分布N（I8O,9OO）,则下列说法正确的有（）.

参考数据：①夕（〃-ervX与〃-b）=0.6827：@P（/J-2cr<X<+2a）=0.9545；③

-3bvXW〃+3b）=0.9973

A.这次考试标准分超过180分的约有450人

B.这次考试标准分在（90,270］内的人数约为997

C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为1

O

D.P（240<X<270）=0.0428

4.下列判断正确的是（）

A.若随机变量J服从正态分布N（l,b2）,P（JK4）=O.79,则P（JK—2）=O.21

B.已知直线/_!_平面。，直线团〃平面£,则“a〃6”是“/_!_〃?”的必要不充分条件

C.若随机变量J服从二项分布：4小4,；］,则后传）=1

kQ）

D.，方利？是a>〃的充分不必要条件

5.下列说法中正确的是（）

A.设随机变量X服从二项分布《6,；>则尸（X=3）=得

B.已知随机变量X服从正态分布N（2,/）旦P（X<4）=0.9,则P（0vX<2）=0.4

C.E（2X+3）=2E（X）+3；必2X+3）=2力（X）+3

D.已知随机变量4满足夕（J=o）=x,。值=l）=l—x,若0<x<g,则E⑶随着，的增大in减小，。⑷

随着X的增大而增大

6.下列说法正确的有（）

A.已知随机变量J服从正态分布NQ,。?），若P（4,,3）=0.84,则P（4,，l）=0.16

B.设随机变量X服从正态分布N（3,7）,若P（X>加+1）=P（X>加-1）,则m=3

C.设随机变量X则p（x=3）等于』

I2）16

54

D.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为一

125

二、单选题

7.下列说法正确的是（）

A.命题“三毛40,2AWsin%”的否定形式是“\/冗>0,2x>sinx”

B.若平面a,。,满足力_Ly则a〃4

C.随机变量4服从正态分布N（l,b2）（。>0）,若P（0vJvl）=0.4,则P（4>0）=0.8

D.设刀是实数，"x<0"是的充分不必要条件

x

8.若随机变量J服从正态分布N（2020,02）,则p（J<2020）=（)

1111

A.—B.------C.一D.

2101042020

9.已知随机变量X~N“b9，P（X20）=0.8,则P（X>2）=（)

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

10.己知随机变量4〜N(100./)(b>0),若尸(8OWJW12O)=O.8,则P(J<80)等于()

A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2

11.己知随机变量XN(0,4)，若尸(0CX<1)=0.4,则P([X|>1)的值为()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.6

12.己知随机变量J服从正态分布若pe<4)=0.9,则P(—2<J<4)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

13.已知随机变量J~N(0,cr2),且夕(。之1)=0.3,则P(-1«440)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D,0.5

14.设随机变量JN（0,l）,若P（J>1）=〃，则P（—1<片<0）=（）

1.」1

A.工+pB.1-〃C.1—2pD.]-〃

15.已知〃N（l,4）,若P（〃>2a）=,则（）

A.-1B.0C.ID.2

16.设随机变量x~N（l,9）,且P（XW0）=P（X2a-l）,见实数。的值为（）

A.2B.3C.4D.5

17.设随机变量4N.d）,函数〃X）=f—2x+J有零点的概率是0.5，则〃等于（）

A.1B.2C.3D.不确定

18.新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：X〜若P（X>3）=（）.872,

则可以估计潜伏期大于等于II天的概率为（）

A.0.372B.0.256C.0.128D.0.744

19.2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车

站在此期间每日接送旅客人数X（单位：万）近似服从正态分布N（10,0.82）,则估计在此期间，至少有5

天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（）

20.已知随机变量X~N(3,b2)(b>0),若P(X<6)=0.8,则尸(X<0)=()

A.0.2B.0.3C.0.5D.0.7

21.若随机变量XN（3,"）,且P（XN5）=0.2,则尸（1WXK5）等于（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

22.设X〜"(4,0),丫~%(以2，4),这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(）

A.41>〃2吗</B.内〈出、O\</

C.〃]<必，5>%D.M

23.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险为防控新冠

肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布N(().l,().3，，从已经生产出的测温门

中随机取出一件，则其测量体温误差在区间(0.4,0.7)内的概率为()

(附：若随机变量4服从正态分布N(〃,b2),则尸(〃—b<J<〃+b)=68.27%,

P(4-2b<J<〃+2cr)=95.45%)

A.31.74%B.27.18%C.13.59%D.4.56%

24.某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩x近似服从正态分布N(105,b2),试卷满分

150分.现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720,同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排

名约为()

A.60B.70C.80D.90

25.已知随机变量占服从正态分布N(3,cH),且尸(公4)=0.68,则P/<2)=()

A.0.84B.0.68C.0.32D.0.16

26.某校高二期末考试学生的数学成绩满分15()分)服从正态分布N(75,b9,且P(60<J<90)=0.8,

贝iJP(疑90)=()

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

27.已知随机变量J服从正态分布若P（4>2）=0.2,则P（OW4W1）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

28.已知随机变量X服从正态分布N（l,4）,P（X>2）=03,P（X<0）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

29.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（8O,CT2）,且

P（75<XW80）=0.1.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（）

A.140B.105C.70D.35

30.已知某批零件的长度误差J［单位：mm）服从正态分布N（0,32）,若尸（一3<JW3）=0.6826,

P（—6<JW6）=0.9544,现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率P（3<4W6）=（

A.0.1359B.0.2718C.0.3174D.0.0456

31.已知随机变量X~N（2,/），P（X<4）=0.8,那么P（2<XV4）的值为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.8

三、解答题

32.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用

球MIKSA-V200W,已知这种球的质量指标f（单位:g）服从正态分布N（270,5?）.比赛赛制采取单循环方式，

即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军枳分规则如卜.:比赛中以3:0或3:1

取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗

塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p（0<p<l）.

（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260,265］内的排球个数（计算结果取整数）.

（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为了（〃）.

（i）求出加）的最大值点P。；

（ii）若以P。作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X,求X的分布列.

参考数据，~可（1/,（T2）,则p（〃-〃+0）=0.6826,p（〃-2o<X<〃+2cr）=0.9644.

33.从某市的一次高三模拟考试中，抽取3000名考生的数学成绩（单位：分），并按［75,85）,［85,105）,

［105,115）,［115,125）,［125,135），［35,145］分成7组，制成频率分布直方图，如图所示.

（［）估计这3000名考生数学成绩的平均数1和方差/（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

（II）由直方图可认为该市考生数学成绩X服从正态分布义,。?），其中〃，b?分别为（I）估中的1和

方差据此估计该市1000（）名考生中数学成绩不低于122分的人数（结果精确到整数）.附：后42.4.若

XN3,b),则P(〃-cr<X<4+b)=0.6827.

34.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分

布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻

人”（20岁—39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次

或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知

在“经常使用单车用户”中有3是“年轻人”.

6

m共享陋4用户年於等级分布图2件享中午使用弊率分布

50.0%

40.0%

10.0%

10.0%

0.0%

（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法，抽取一个容量为

200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2x2列联表，并艰据列联表的独立性检验，判断是否有85%

的把握认为经常使用共享单车与年龄有关?

年轻人非年轻人合计

经常使用单车用户120

不常使用单车用户80

合计16040200

使用共享单车情况与年龄列联表

（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”

人数为随机变量X，求X的分布列与期望.

参考数据：独立性检验界值表

P(K2祥）0.150.100.0500.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-bc)2

其中，K2=n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

35.某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示:

特征量第1次第2次第3次第4次第5次

X2589II

y1210887

（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出

是正相关还是负相关

（2）求特征量），关于x的回归方程，并预测当特征量工为12时特征量），的值;

（3）设特征量x满足X~N（〃,b2）,其中〃近似为样本平均数，近似为样本方差求

P（3.8<X<13.4）.

力-.之（七-同（凹-亍）__

附：参考公式：相关系数厂="一，力"上J--------:—，S=y-^x.

7”）注（乂可Z"）

V»=1r=l*=•

参考数据：V2«1.414,Vio=3.2，J^kl.8，若乂~M","），则尸（〃-cr<x<〃+oj=68.26%,

P（〃-2cr<X<〃+2b）=95.44%

36.网上订外卖已经成为人们Fl常生活中不可或缺的一部分.M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全

国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下

频率分布表.

订单：（单位：万件）[3,5)[5")P，9）卬1)

频率().040.060.100.1()

订单：（单位：万件）[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21)

频率0.300.200.100.080.02

（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数Z（单位：万件）近似地服从正态

分布N（〃Q2）,其中〃为样本平为数（同一组数据用该区间的中点值作代表），o■为样本标准差，它的值

已求出，约为3.64,现把频率视为概率，解决下列问题：

①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份/外卖订单数Z在区间（4.88,15.8］内的城市数为X,

求X的数学期望（取整数）；

②例外卖决定在该月订单数低于？万件的城市开展''订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展

此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中

采用分层抽样的方法选出10。个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖

订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少

万元？

(2)现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区

间(12.16,19.44］内的可能性最大，试求整数4的值.

参考数据：若随机变量X服从正态分布N3,，)，则P(〃-cr<XW〃+b)=0.6827,

P("-2b<X<JLI+2<T)=0.9545,-3。<X<//+3b)=0.9973.

37.近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨

大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、

乙两个规模一致的大型养猪场，均养有I万头猪，将其中重量(kg)在［1,139］内的猪分为三个成长阶段如

下表.

猪生长的三个阶段

阶段