三次函数及应用-2026高考数学一轮常考题

8.三次函数的图像与性质及应用

三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数，因为其导函数二次函数是中学阶段研

究最深的函数之一，于是在学习完导数后，我们可以通过对其导函数二次函数的详细研究

来弄清楚三次函数的基本性质.通过对三次函数的系统研究，能够增强学生对导数的应用

价值的认识和理解.正因如此，三次函数在高考中自然也是热门的考察方向，特别是在24

年连续出现在两套新高考试题中后，再一次引起了研究热潮.本节试图从三次函数的基本

性质出发，展示其重要的一些应用手法.

一.基本命题原理

对于三次函数++而言，其导函数为一个二次函数，那么根据

其导函数/'（幻=3办2+2/”+。（。/0）的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如

下：

1./（幻=0根的个数（〃＞（））.

对于三次函数/（X）=QX3+"2+”+d,其导函数为二次函数：

/'（x）=3ax2+2bx+c（aw0）,

二次函数的判别式化简为：△=4〃—12ac=4（〃-3。。），

⑴若从一3讹《0,则恰/（幻=（）有一个实根；

（2）若从一3双＞0,且〃再）"（七）＞0,则/*）=0恰有一个实根；

（3）若32-3ac＞0,且〃再）"。2）=0,则/（幻=0有两个不相等的实根；

（4）若〃一3〃c＞0,且/a）/（W）v。，则f（x）=0有三个不相等的实根.

注：由图像可知：①/（X）=。含有一个实根的充要条件是曲线），=/（工）与工轴只相交一次,

1

即/（X）在R上为单调函数（或两极值同号），所以〃一3。"0（或〃2-3。。＞0,且

/区）/但）＞0）.

②/（幻=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=/（幻与X轴有两个公共点且其中之一

为切点，所以〃一3四＞0,且/区＞/（々）=0,

③/（戈）=。有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=/（幻与工轴有三个公共点，即

/（X）有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故〃2-3祀＞0且/区）

2.极值情况：

三次函数/（幻=。/+〃*2+以+[（f/＞0），导函数为二次函数

f（A）=3ax2+2bx+c{a＞0）,

二次函数的判别式化简为：△=4/一12〃、=4（//-3比），

（1）若从-3〃c«0,则/0）在（-8,+8）上为增函数；

（2）若〃一3々?＞（）,则/（X）在（Y,X1）和（％2，*Q）上为增函数，/（X）在（司,工2）上为

减函数，其中X=b7b=-b+Jb—ac

3a3a

222

证明：=3ax+2bx+c,△=4/?-\2ac=4（b-3ac）f

（1）当AKO即〃—3加£0时，/'（x）NO在R上恒成立，即/*）在（-8,+8）为

由/'（X）＞。得x＜内或工＞X2，/（X）在（Y0，X1）和（32H8）上为增函数.由/'（X）＜0得

%1＜X＜x2,/（幻在区,々）上为减函数.

总结以上得到结论:三次函数/5）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）

（1）若〃—3ocW0,则/（x）在R上无极值；

2

(2)若〃2—3〃C>0,则/(x)在R上有两个极值；且“X)在”=七处取得极大值，在

x=%处取得极小值.

3.对称中心

三次函数/«=a炉+6/+cx+d(a/0)的对称中心为点八一与,93),该点是三

3a3a

次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.

4.三次方程根与系数得关系

2

(1)己知实系数多项式叭x)=ax1+bx+cx+d有三个根,设为N,x2,x3-

bcd

X]+&4-x,=——,x)x+xx+戈3%=—,x}x^x3=——.

a2-a2'3a

(2)由三次方程根与系数的关系：

(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+Z?c+ca)x+abc.

二.典例应用

★1.小题训练(主要围绕性质，多记多便利)

例1.(24・25高三上•贵州贵阳•开学考试)关于函数/*)=；/—g/—2x+l,下列说法正

确的是()

①曲线>'=fM在点(3,7(3))处的切线方程为8》-2)，-25=0；

②的图象关于原点对称；

③若y=/")r〃有三个不同零点，则实数，〃的范围是(-71?13);

3o

④/(X)在(-1,1)上单调递减.

A.①④B.®@C.①®③D.①®@

解析：函数/(%)=；丁-：/-2%+1,求导得广(x)=.d-x-2=(x+l)(x-2),

对于①，A3)=4,而/(3)=-力则切线方程为严芥火工-储即8x-2y-25=0,①正

确；

13

对于②，/(-3)=-/(3),则/")的图象关于原点不对称，②错误；

对于③，当工<-1或x>2时，广。)>0；当-1c<2时，r(x)<o,

即函数/3)在(-'-1),(2+8)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，

3

137

因此函数/(x)在x=-l处取得极大值,/•(7)=?,在x=2处取得极小值八2)=-：，

63

函数y=/*)r〃的零点，即直线.v="7与函数y=/(x)图象交点的横坐标，

713

因此当直线尸〃，与函数产/")图象有3个交点时，〃；€(-7,7),③正确；

36

对于④，在(TD上单调递减，④正确，故选：D

以下选择题均为多选题.

例2.(2024•全国•高考真题)设函数/(#=2/-3加+1,则()

A.当。>1时，/a)有三个零点

B.当“<0时，x=O是的极大值点

C.存在使得了=〃为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a，使得点(1J⑴)为曲线N=/(x)的对称中心

解析：A选项，/'(4)=6犬2-6aM=6义"一。)，由于。>1,故xe(-^,0)D(a，+8)时/'(")>。，

故/*)在(-8,0),(〃,+8)上单调递增，1£(0,4)时，/。)<0,/*)单调递减，则/(X)在

x=0处取到极大值，在x=。处取到极小值，由/(0)=1>0,/(a)=1-/<(),则y(o)/(d)<0,

根据零点存在定理在(0，。)上有一个零点，又〃-D=T-3av0,〃2a)=4/+l>。，

则/(一】)/(。)vOJ(〃)/(24)vO,则/(.，)在(TO),(〃,2〃)上各有一个零点，于是々>1时，

有三个零点，A选项正确；

B选项，/'(x)=6x(x-a),a<。时，xe(a,O)J'(x)<。，f(x)单调递减，xw(0,4<o)时/'(k)>。,

/(x)单调递增，此时在x=0处取到极小值，B选项错误；

不存在这样的使得x=b为/*)的对称轴，C选项错误；

D选项，任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

f(x)-2x3-30r2+1,f\x)=6x2-6at,fix)=\2x-6“，由fn[x)=0<=>x=^,于是该三

次函数的对称中心为停fe))，由题意(1J⑴)也是对称中心，故尸0。=2,即存在

。=2使得(1J⑴)是/⑴的对称中心，D选项正确.故选：AD

例3.(24・25高三上广东省开学考试)设函数/“MV-V+ar—i,则()

A.当a=—1时，/J)有三个零点

4

B.当时，/*)无极值点

C.3«eR,使/(x)在R上是减函数

D.WaeRJ(x)图象对称中心的横坐标不变

解析：对于A,当。=一1时，/(x)=x3-x2-x-l,求导得/0)=3/-2工一1,

令/。)=。得％=-；或I=1,由广(幻>。，得XV—；或x>l,由/'*)<。，

得于是在(-8,-；)，(1,+8)上单调递增，在(-；/)上单调递减，

D1J

/*)在、=-；处取得极大值/(一；)=一3-：+；-1<0,因此/(X)最多有一个零点，A错

误；

对于B,/(X)=3X2-2X+«,当时，A=4-12«<0,即/'")2。恒成立，函数在

R上单调递增，无极值点,B正确：

对于C,要使/(x)在R上是减函数，则/'")=37—2x+〃K()恒成立，而不等式

3/—2工+。40的解集不可能为R,C错误；

对于D,由/'(21-X)+/(X)=(17一()3-2一0)2+正不2一防-1+=一12+改一1=9一58

I9Q

得7。)图象对称中心坐标为(不a三-^),D正确.故选：BD

例4.(24・25高三上海南省开学考试)已知函数=+则()

JJ

A.x=0是函数”x)的极小值点

B.存在3个不同的。值，使得函数有2个零点

C.有且仅有一个。值，使得曲线/(x)有对称轴

D.存在无数多个。值，使得曲线/(“有对称中心

解析：由题意可知：函数/(x)的定义域为R,且/'(打二口炉--

对于选项A：例如4=1,M/(x)=x2-.r,令「(幻〉0,解得X>1或r<0;令

解得0<x<1；可知/'(X)在(0,1)内单调递减，在+8)内单调递增，

可知x=0是函数“X)的极大值点，故A错误；

5

对于选项B：因为/（0）=1/0,可知。不为外力的零点，令=；炉+1=0,可

得宁，令1则：a=f_2/,若函数/（x）有2个零点，则），=/_2尸（//0）

与y=有2个交点，令&（。=，一2尸"工0,则g'（/）=l-6/，当-如＜/〈渔/H0时，

366

?（/）＞（）；当/＜-逅或-逅时，g＜，）＜o,可知g（。在-恪。'够

内单调递增,

66I。八。

在f-骼，*~,+8内单调递减,且g（一骼卜等＞0'g（毛〉一监＜。，

当/趋近于~°0时，g（f）趋近于+8,当/趋近于+00时，g（。趋近于f,

由图象可得乙=在或Z=—通或9=0,贝跖=且或〃=一逅或9=0,即存在3个不

39393663

同的。值，使得函数/'（X）有2个零点，故B正确；

对于选项C：若曲线/（同有对称轴，设为x="J贝I」/G〃+X）=/（〃LX）,即

2

，a(〃?+x)3-^(m+xy+\=-a(m-x'f-^(w-x)+1,整理可得3〃z(w〃-1)x+a/=0,

结合”的任意性可知:解得］=；，所以有且仅有一个。值，使得曲线小）

有对称轴，故C正确；

对丁选项D：若“矛0,则

所以/W的对称中心为（点，1-白｝即存在无数多个。值，使得曲线/（x）有对称中心,

故D正确；故选：BCD.

例5.（23・24高二下山东临沂期末）己知函数/（x）=V-以-2,则（）

6

A.存在实数/使得了'(%)=/'(%))

B.当〃=2时，/(x)有三个零点

C.点(。,-2)是曲线)，=/(x)的对称中心

D.若曲线)，=/&)有两条过点(T,。)的切线，则/(〃)=2

解析：对A,根据已知/")=3f-〃的导函数，令广(引=/(引则3/+“=0,

令g(x)=M-ax-2-3/+4,^(l)=l?-«-2-3xl+«=-4<0,当X->+8时g(x)>0,

根据函数零点存在定理存在实数％«1,+oo)使得/(q)=/(/),故A正确；

对B,根据题意知r(x)=3f-2,令./(力=3/-2=0得至晨=士*，

在8,1和f，+8上/，(X)>O,所以“X)在j2，,和+8单调递增，

\J/\J/IJ,\IJ/\/

在-乎，乎上/'(4)<0,所以/(工)在一，，半单调递减，/(-乎]是/(x)的极大值,

且f(x)的极大值大于/(力极小值，/[-=+2x乎-2=^^-2<0,

/(2)=8-4-2=2>0,所以/(x)在定义域内有且只有一个零点，故B错误；

对C,令g(x)=V-2x,该函数定义域为R,且g(—x)=I？+2%=一(丁一2x)=-g(x),

所以g(”为奇函数，(。,0)是g(x)=V—2x的对称中心，将2x向下移动两个单

位得到“X)的图像，所以点(。,-2)是曲线)，=/(%)的对称中心，故C正确；

对D,/(耳=/-办-2过(-1,0)的切线的切点为小,为),切线斜率为:(毛)=3片-〃，

则切线方程为)，-%=(3£-。)(47。)，把点(TO)代入可得

-£+吗+2=(3石-〃)(-1-%)，化简可得2x：+3x：+2-a=0,令〃(小)=2父+3片+2-a,

则〃'(%)=6片+6%,令〃(％)=6$+6大0=0可得%=0或%=-1,〃'(%)在(f-1)和

(0,+8)上大于零，所以〃(小)在(7,-1)和(0,+。)上单调递增，"'(%)在(-1,0)上小于零,

所以〃(小)在(-1,0)单调递减，要使“(同)=。有两个解，一个极值一定为0,若函数

7

〃(厮)=24+3片+2-。在极值点的=-1时的函数值为()，可得a=3,

所以/(〃)=/⑶=33-3x3-2=16若函数«%)=纭+3片+2-。在极值点％=0时的函数

值为0,可得〃=2,所以/(a)=/(2)=23—2x2—2=2,故D不正确.故选：AC

6.(2024•全国•高考真题)设函数/(x)=(x-1)2*-4),则()

A.x=3是/(人)的极小值点

B.当0<x<l时，/U)</(x2)

C.当1cx<2时,-4</(2x-l)<0

D.当一IvxvO时，/(2-x)>/(x)

解析:对A,因为函数/("的定义域为R,而7(x)=2(x-I)(x-4)+(x-l)2=3(x-l)(x-3),

易知当xe(l,3)时，fz(x)<0,当xe(空1)或xe(3,I时，F(x)>0

函数/(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+“)上单调递增，故x=3是函

数“X)的极小值点，正确；

对B,当0cxv1时，x-x2=汇(1一另>0,所以i>x>/打，而由上可知，函数/(.I)在(0,1)

上单调递增，所以/(力>/(丁)，错误；

对C,当l<x<2时，而由上可知，函数/(x)在(1,3)上单调递减，所以

/(l)>/(2x-l)>/(3),即T</(2x—l)<0,正确；

对D,当-l<x<0时，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-I)2(2-2X)>0,

所以/(2-x)>/。)，正确；故选：ACD.

解答题部分

例7.已知曲线/(x)=f-31+/1在点4(〃?,/'(加))处的切线与曲线的另外一个交点为

反P为线段AB的中点，。为坐标原点.

(1)求/*)的极小值并讨论了(©的奇偶性.

(2)当函数/5)为奇函数时，直线OP的斜率记为h若-3领k4,求实数〃?的取值范围.

8

解析：(1)/V)=3A:2-3=3(X+1)U-1),当—Ivxvl时，/'(外<0；当x>l时，

/"")>0.当2=0时f(x)=x3-3x,显然f(-x)=-?+3x=-f{x},所以f(x)为奇函

数.当％w0时/(-I)=2+2,/(I)=-2+2,显然/(-I)wf(1).

且/（-D+/（I）=22^0,所以/（x）为非奇非偶函数.

(2)f\x)=3/—3,所以曲线在点/(m))处的切线方程为

y--3,??+-3)(x-m),其与原曲线方程y=-3x+/l,联立化简

得：(”一〃I)](x+2〃?)=0.从而B1-2m,-8,+6m+2)(加w0).

m3

HI、〕-7/7z+3/?z+2/1>1-3in-2A,w,n.1O

所以户——,---------------,k=--------------.由于V"2E(O,2),Z..18；

、22)m

即当me(0,2)时，都有24,7〃产一21w.令h(m)=Ini-1\m,则

h'(m)=2\nr-21=21(用+1)(/??-1),易知当0<〃?<1时，<0；当1v2

时，勿（加）＞0.即力（机）在（0,1）上递减，在（1,2）上递增，所以当加£（0,2）

时，〃（，〃）min=皿1）=一14,所以22别-14。义—7,从而实数2的取值范国为（—8,—7]•

注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.

例&（切割线定理）

如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切

点A（4,/（4））的切线与三次函数），=/3）的图象交于B点，同时，过（/，/（玉）））的割

线AO与三次函数＞=/（幻的图象交于Q,AC三点.我们有以下结论:

三次函数切割线定理.

(1)24+4=一

a

⑵/+4=%+匕)：

（3）xE+xF=2XA.

证明：显然，方程①整理可得：aF+bf+cx+d-/（Xo）（x-Xo）+/（Xo）=。.结合上述

9

重根个数定理以及韦达定理可得：24+4=—2,结论(1)证毕.

a

(2)设直线A3的方程为)，=%工+，〃，代入y=/*)的表达式结合韦达定理可得：

工人+2+%/>=一^,再联立21川+工8二一2,可证得：xA^-xti=xc+xD.

aa

(3)同理，如图4+XE+XE=-2,再联立24=-2,可得：+=2XA.

同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而

成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度，

有备无患！

三.习题演练

1.(23・24高三上广东阶段练习)已知三次函数/(x)=f+^2+5+4有三个不同的零点

%,孙曰(％vx2V七),若函数g(力也有三个不同的等点G冉，，3«气气)，则下

列等式或不等式一定成立的有()

A.b2<3c

B.h>x.

C.+x2+=^+12+ty

D.=1

解析：yXx)=3f+2/回+以因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根.

2

BP3x+2bx+c=()f则A=4/-12c>0,即//〉3c,所以A错误；

因为三次函数/(x)=V+如2+cx+d有三个不同的零点.々，七储〈与〈七)，所以

32

x4-Z^r+GV+J=(x-x1)(x-x2)(x-^)

2

=9-(A)+X,4-Xj)x+(X[&+毛&+内七)X-X|9七=0，所以F+W+x3=-b,x}x2x7i=-cl,

10

同理乙+〃+4=-〃，7也4=1-1，所以玉+W+/=4+U+4玉马与一，也4=T，故C正确,

D错误；由/"）的图象与直线）=1的交点可知〃>七，B正确.故选：BC.

2.设直线y=，与曲线G），=x（x-3）2的三个交点分别为A（〃，/），B（b,t）,C（c,t）f且

a<b<c.现给出如下结论：

①而c的取值范围是（0,4）；②/+/??+/为定值；③a+/?+c=6.

其中正确结论的为

解析:设），=/（"=&-3）2=丁-6/+9和贝廿”（力=3-9,令/”（工）=。,解得：X=1

或x=3；当xvl或x>3时，>0,当lvxv3时，/'3<0；・・・/（x）在（-8,1）上是

增函数，在（1,3）上是减函数，在（3,"）上是增函数；当穴=1时，/（月取得极大值/（1）=4,

当x=3时,/（“取得极小值/⑶=0；作出函数/（力的图象如图所示:

•・•直线y与曲线G），=入。一3）2有三个交点，由图象知0«4.令

8(.丫)=*(#-3)2-/=.--612+9厂/,则〃，/?.，,是g(x)=0的三个实根.

/.xi~6x2+9x~t=(x-6/)(.<-/?)(x-c),

2i2

BP丁-6x+9x-t=x-(a+b+c)x+(ab+ac+be)x-abc,:.a+b+c=6tab+bc+ac=9f

abc=t,正确；*,*a2+b~+c2=(a+b+c^~2(ab+bc+ac)=18,；・②正确；

综上，正确的命题序号是①②③.故答案为：①②③.

3.椭圆曲线加卷算法运用于区块链.

11

椭圆曲线。={0,my2=.F+以+A4/+27加工()}.PwC关于X轴的对称点记为肌C在

点P。,)，)()，/0)处的切线是指曲线),=±-募工在点尸处的切线.定义“㊉”运算满足:

①若PwCQwC,且直线尸。与C有第三个交点R,则Pe)Q=&；②若QwCQwC,且

尸。为c的切线，切点为尸，则。㊉Q=凡③若Pec,规定「㊉7=o',且尸㊉o.=o'e)p=p.

(1)当44+276=0时，讨论函数力(x)=x、or+〃零点的个数；

(2)已知“㊉”运算满足交换律、结合律，若PtCQwC,且尸。为C的切线，切点为P,

证明：P㊉P=。；

(3)已知尸(4)1)£。,。(孙为){。，且直线产。与C有第三个交点，求P㊉Q的坐标.

参考公式：=(，"一(〃广+nui+n2)

解析：(1)由题设可知。40,有〃(x)=3f+%若。=0,贝lJZ?=0,则%(x)=V,此时〃(幻

仅有一个零点;若a<0,令h'(x)=0,解得不

<x<小泉时，h\x)<0故〃(x)在

〃（幻>0,当-t上为单调

递增;