高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(文)

平面向量

【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。

3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则.

4.零向量：长度为0的向量。记作：方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。。

8.三角形法则：

AB+BC=AC；AB+BC+CD+DE=AE；AB-AC=CB（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。

10.共线定理：o当时，同向；当时，反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若，则，,

13.数量积与夹角公式：；

14平行与垂直••

题型1.基本概念判而正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与己知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是

（5）若，则A.B.C.D四点沟成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若与共线，与共线，则与共线。

（8）若，则。

（9）若，则。

C0）若与不共线，则与都不是零向量。

（11）若，则。

C2）若，则。

题型2.向量的加减运算

1.设2表示“向东走8km”,B表示“向北走6km“，贝ij|3+5|=。

2.化简（而+砺）+（而+型）+OM=o

3.已知|砺|=5,|而|=3,则|AB|的最大值和最小值分别为

4.已知的和向量，且，则，。

5.已知点C在线段AB上，且，则，。

题型3.向量的数乘运算

1.计算：（1）（2）

2.已知，则o

题型4.作图法球向量的和

已知向量，如下图，请做出向量和。

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在中，是的中点，请用向量表示。

2.4平行四边形中，己知，求。

题型6.向量的坐标运算

1.已知，，则点的坐标是。

2.已知，，则点的坐标是。

3.若物体受三个力的=(1,2),三=(一2,3),入=(一1,-4),则合力的坐标为

4.己知，，求，，。

5.已知，向量与相等，求的值。

6.已知，，，则o

7.已知是坐标原点，，且，求的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:

A.e}+62和弓一,B.3q-26和4«2-C.q+3。和七一3弓D.e2f0e2-e]

2.已知，能与构成基底的是()

3443344

A.B.C.(----)D.(-1,--)

题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。

2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标。

题型9.求数量积

1.已知，且与的夹角为，求(1),(2)

(3),(4)o

2.已知，求(1),(2),(3),(4)o

题型10.求向量的夹角

1.已知，，求与的夹角。

2.已知，求与的夹角。

3.已知，，，求。

题型1L求向量的模

1.已知，且与的夹角为，求(1),(2)

2.已知，求(1),(5),(6)o

3.已知，，求。

题型12.求单位向量【与平行的单位向量：】

1.与2=(12,5)平行的单位向量是o

2.与比=(-1,1)平行的单位向量是__________o

2

题型13.向量的平行与垂直

1.已知，，当为何值时，(1)?(2)?

2.已知，，(1)为何值时，向量与垂直?

(2)为何值时，向量与平行？

3.已知是非零向量，，且，求证：。

题型14.三点共线问题

1.已知，，，求证：三点共线。

2.设，求证：三点共线。

3.已知，则一定共线的三点是。

4.已知，，若点在直线上，求的值。

5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立?

题型15•判断多边形的形状

1.若，，且，则四边形的形状是

2.已知，，，，证明四边形是梯形。

3.已知求证：是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，，求证：是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用

1.已知，，当为何值时，向量与平行?

2.已知，且,求的坐标。

3.已知同向,则，求的坐标。

3.已知，，则。

4.已知，，请将用向量表示向量。

5.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；

（2）若与的夹角为锐角，求的范围。

6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？

7.已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，，求点的坐标。

8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标。

9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求

水流速度与船的实际速度。

10.已知三个顶点的坐标分别为，，，

O若，求的值；（2）若，求的值。

【备用】

1.已知，求和向量的夹角。

2.已知，，且，,求的夹角的余弦。

1.已知，贝!1

品直时的x的值。

4.已知两向量，求当

5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围。

变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围。

选择、填空题的特殊方法:

1.代入验证法

例：已知向量，则（）

1一3-

A.--a--bB.--a+-bC.-a--b

222222

变式：己知，请用表示。

2.排除法

例：已知M是的重心，则下列向量与共线的是（）

A.AM+MB+BCB.3AM+ACC.AB^-BC+ACD.AM+BM^-CM

广东省近八年高考试题.平面向量（文科）

1.（2007年高考广东卷第4小题）若向量满足，与的夹角为，则・・・）

A.B.C.D.2

2.（2008年高考广东卷第3小题）已知平面向量=（1,2）,=（-2,m）,且〃，则2+3

=（）

A.（―5,-10）B.（—4,—8）C.（―3,—6）D.（―2,—4）

3.（2009年高考广东卷第3小题）己知平面向量a=,b=,则向量（C）

A平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线

4.（2010年高考广东卷第5小题）若向量=（1,1）,=（2,5）,=（3,x）满足条件（8—）・=30,

则=（）A.6B.5C.4D.3

5.（2011年高考广东卷第3小题）己知向量.若为实数▼.•…A.B.•…C••…D.2

6.（2012年高考广东卷第3小题）若向量，则（）

A.B.C.D.

A.7.（2012年高考广东卷第10小题）对任意两个非零的平面向量，定义.若平面向量

满足，与的夹角，且和都在集合中，则（）

B.C.D.

8.（2013年高考广东卷第10小题）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四

个命题:（）

①给定向量，总存在向量，使；

②给定向量和，总存在实数和，使