高中数学阶段质量检测（二）数列新人教A版必修

阶段质量检测（二）数列

（时间12（）分钟满分15（）分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.等比数列｛&｝的公比尸一；，a尸木,贝做列｛办｝是（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数数列D.摆动数列

解析：选D因为等比数列｛&｝的公比为4=一5&=木,故&<0,8>0,…，所以数

列｛a｝是摆动数列.

2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，a是A。的等比中项，且a+3力+c=10,

则a的值是（）

A.1B.-1

C.-3I）.-4

2/?=a+c,

解析：选D由题意，得，，=A，

«+3力+。=10,

解得a=—4,b=2,c=8.

3.在数列｛4｝中，a“=(―1)"・2&一1(〃22).则金等于(

15)

416n16

A.-yB-

,88

C.—~D.-

JJ

解析：选B•.•a=1,a„=(—l)n•2a-i,

on

/、

.\cfe=(-l)2X2X1-=2-,

JJ

24

曲=(—l)3X2X-=--,

JJ

/、4(4、E

at=(—1)X2X[^--J=--

.=/(-1)、$X2X((-8J']=1亍6

4.在等比数列｛4｝中，已知前〃项和50=5'+/则a的值为（）

A.-1

D.-5

«_n

解析:选D因为5=5田+@=5义5"+多由等比数列的前〃项和Si।—a-二产

(f，可知其常数项与d的系数互为相反数，所以a=-5.

[2品，〃为正奇数，

5.已知数列｛a｝满足a=l,a,+i=｛、，七何涮则254是该数列的()

1a+L〃为正偶数,

A.第8项B.第10项

第12项D.第14项

解析：选D当〃为正奇数时，&+i=2a〃,则a=2方产2,当〃为正偶数时，&+i=&+

1,得主=3,依次类推得国=6,悬=7,a=14,&=15,…，归纳可得数列｛劣｝的通项公

2丁,，〃为正奇数，Ui

式a=<则2?—2=254,〃=14,故选D.

〔2/—2,〃为正偶数，

6.已知数列｛a｝是等差数列，其前〃项和为S,若a念&=15,且鼠+晨+晨=：

»5U5U1U

则%=()

解析：选CVSi=3it£=3/,£=5次,:.---F--+---==,Vaia>a=15,.*.?=

3\3za2asaa55s

a.色

15Tl5-5*,•&=3.故选C.

7.如果数列a,a一a”aa一色，…,…是首项为1、公比为1的等比数歹U，

O

那么%=()

解析：选A由题知&=1,q=~,则

设数列团,在一a,…，备一a“-i的前〃项和为S,

£=历+{&i-«i)+(&—&i)~\---1-(须—«/?-1)=an.

8.设S为等差数列｛4｝的前〃项和，m=-2014,9髭一含器=2,则6。博的值为（）

4uuz/UUO

A.-2016B.2016

C.2015D.-2015

解析：选B因为$为等差数列｛a｝的前〃项和，所以数列是等差数列.设数列｛弓.

的公差为d',则由焉F瀛=2,得2"=2,解得"=1,所以/^=^+2015/

Z00/zOUozUloI

=a+2015/=-2014+2015=1,所以$。16=2016.

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填

在题中横线上）

9.已知｛a｝是等差数列，S为其前〃项和，〃£N•.若a=16,S）=20,则a=,

d=»So=.

解析：由已知得，

%+2d=16,

，20X20-1解得&=20,d=-2,

20向+-------------Xd=20,

10X9

••・SO=1OX2O+F—X(-2)=110.

答案：20—2110

10.（浙江高考）设数列｛a｝的前〃项和为Sm若£=4,&+i=2S+l,〃£N”,则包

，S$=

解析：•・・&+i=2S,+l,・・・S+L5=2S+1,

；•1Sr+i=3S+1,；•5^1+5=3(S+g),

・•・数歹“S+4是公比为3的等比数歹力

£+；

乙

-[=3.

S+5

又£=4,；♦S=1,；•@=1,

.・.W+；=(S+£|X34=|X3"=半，

乙\乙)乙z

・•・£=⑵.

答案：1121

11.已知数列｛4｝的逐项公式为a=2015-3/7,则使&〉0成立的最大正整数〃的值为

nf)1O

解析：由4=2015—3n>0,得nC=671个

oJ

又•・•〃£!<*,・•・〃的最大值为671.

答案：671

12.某住宅小区计划植树不少于10()棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一

天的2倍，则需要的最少天数〃(〃£")等于.

解析:每天植树的棵数构成以2为苜项,2为公比的等比数列，其前〃项和

1-4

2।一2"

=——77—=2ff+lfl+l-2^100,得2田6=64,2?=128,则〃+127,即〃26.

1乙

答案：6

13.己知数列｛&｝满足品+1一&=2〃(〃eN*),国=3,则&=________,蓝的最小值为

解析：•.•&,+LA=2〃，

・・・&-a=2Xl.

角一检=2X2,

ct\-a=2X3,

a“-i=2(n-1),

以上各式相加可得

&-ai=21l+2+3H-----Fn—\]=2X""~~"—

乙

=//一〃，

Vai=3,+3.

.a.3

・・一=/?-!--1.

nn

o

••"(入)=叶-在(0,5)上单调递减，在(小,+8)上单调递增,

又彳=1+,—1=3.y=2+j—I=^,所以浣的最小值为.

答案：一〃+31

14.已知等差数列{&},依}的前〃项和分别为4“£”且满足/=占，则；+：+/

D(f〃十3乃十G十为

42/?

解析：根据题意，此7=F?可设：4=2冷〃尸〃(〃+3),贝IJ：

•in〃十3

a=4=2,当刀22时，a„=A„—A„­i=4/?—2,

b\=R=4,当〃22时，4=&一房T=2〃+2,

.ai+a?+a】22+6+26543

••一+&++=6+10+20=酝=7

小田3

答案：

5乙

15.定义函数F(x)={x-{x}},其中3表示不小于xx£(O,加(〃£心时，函数/'(x)

的值域记为记儿中元素的个数为，则

4,,8a“=_______,—a\+—aiH-----h—a\o=________.

解析：当X£(0,1］时，{4}=1,*{*}=*，则F(x)={X・{*}}=】，即4={1},故以

=1;

当(0,2］时，{*}=1,2,x{x}=丁或2M则f(x)=(x・{x}}=1,3,4,即A>=［1,3,4),

故az=3；

当x£(0,3］时，U}=1,2,3,x{x}=>或2x或3x,则F(x)={x*{*}}=1,3,4,7,8,9,

即4={1,3,4,7,8,9),故4=6；

同理可得&=10,注意到a=",

所以J-+-L+1-=-^—|-——_।—।—--=—

川4句至^01X22X310X111T

n〃+120

答案：-2—T7

三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(14分)已知函数〃入)=痣，数列{居}的通项由照=〃居7)(〃22且4£心确定.

XIJ

(1)求证：、;j是等差数列；

Xc

(2)当小=5时，求X2016.

解：⑴证明：产丹为刀二』匕⑺2且)印*),

拓一】+3

•JXe+31)]

X)\13X「L\

」-=4(〃22且f),

XnXL\3

・•「;1是等差数列.

Xrt

.11,..1八，n~1〃+5

(2)由(1)知二=一+(77-1)X-=2+—=—.

Xn1JJJ

.12016+52021

Xzoi633

.___3_

・・X236=202r

17.(15分)在△力回中，若lgsinX1gsinB,1gsinC成等差数列，且三个内角

A,B,。也成等差数列，试判断此三角形的形状.

解：•・•/1,B,0成等差数列，・・・28=/l+C

JI2

又•・"+夕+仁”，：/SB=n,HPB=—,A-\-C=-TI.

oo

VigsinA,lgsinB,lgsin。成等差数列，

/.21gsin41gsin4+lgsinC,

即sirT8=sin力sinC.

又"：AsinB=~.

o乙

23

.'.sin力sinC=sinB=-

4

又'；cos(1+6)=cos[cos6*—sin/IsinC,

cos(J-6)=cos4cosC+sinzfsinC,

/.sin力sin6^—T[COS(?1+6)—cos(J-6)].

乙

1「2Ji,「13

..—~cos-cosA—C=~

乙。*

1,1/、3

/.-+TCOS{A—O=-,

*乙

:.cos(J—6)=1.

'：A-(-n,Ji),.\A~C=0,BPA=C=^.

J

：,A=B=C.

.••△力旗是等边三角形.

18.（15分）已知等比数列｛a｝的前〃项和为S,句=1,a<&+”且S=2发+1.

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝满足♦=(2〃-1),求数列伍｝的前n项和Tn,

解：(1)设等比数列EJ的公比为〃，由&<&+】，得。>1,又a=l,则a2=q,&=/',

因为S=2S+1,所以a+色+徐=2(&+42)+1,

则1+。+炉=2(1+加+1,即/—0—2=0,解得o=2或g=-1(舍去)，

所以数列｛&｝的通项公式为4=2”T(〃£M).

⑵由(1)知，b,=(2〃-1)-an=(2/?-1)•2"()£/)，

则7；=1X2O+3X2,+5X22+-+(2/7-1)X2^1,

27；=1X21+3X22+5X23+-+(2/7-3)X2w-,+(2.7-1)X2\

两式相减,得一Z,=1+2X2/2X22+…+2X2i-(2〃一l)X2”，

即-7；=H-22+23+24+-4-2fl-(2/2-1)X2*

化简得T,-(2/7-3)X2"+3.

19.(15分)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”且So=55,£)=210.

(1)求数列｛a｝的通项公式.

(2)设儿=口，是否存在勿，k*>G2,m,AEN4)使得b,以，庆成等比数列？若存在,

&+i

请说明理由.

解：⑴设等差数列UJ的公差为4则S,=〃a+”7列

10X9

d=55,

2

20X19

-2-d=210,

2a+9d=ll,品=1,

即解得

2^+19(7=21,(7=1.

所以&=&+(〃-1)d=〃(〃£N*).

⑵假设存在m,k(em》2,勿，使得8，A,4成等比数列，则发=从尻

e、.&n

囚为bn二----F7，

&+1〃十1

所以，斗b产岳,b尸念,

所以

整理，得k=:点.

—m十/勿十1

以下给出求如〃的方法:

因为女>0，所以一加」2/什1>0,

解得1—〈欣1+心.

因为加22,zz/GN*,

所以勿=2,此时A=8.

故存在卬=2,k=8使得E,伉，d成等比数列.

20.(15分)在数列｛&｝中,&=1,2a&+i+&n—a=0(〃£M).

求证：数列为等差数列，并求｛&｝的通项公式；

(1)