2025北京北师大实验中学初一（下）开学考数学试题及答案

初中2025北京北师大实验中学初一（下）开学考数学（60分钟）一、填空题（每题5分，共60分）1.若a+3与1互为相反数，则a=.2.已知表示正数，表示负数，化简______．3.方程的解为_____．4.已知线段，点在的延长线上，点在的反向延长线上，且为的中点，为的2倍，则______．5.若，，则______°．6.把和分别代入式子中，值分别为和，则______．7.已知方程，则在，，中，______是方程的解．8.为了便于计算，常把圆柱形钢管堆成等腰梯形状，下面的一层比上面一层多放一根，只要数出顶层的根数和层数，就可以计算这堆钢管的根数．当时，这堆钢管的总根数为_____；当时，这对钢管的总根数为______（用表示）．9.下列说法中，正确的是______（填序号）．①乘积为1的两个数互为倒数；②两个有理数相减，若差为正数，则被减数大于减数；③符号相反的两个数是相反数；④任意两个有理数的和一定大于其中的某一个加数．10.如图，平分，平分，下列等式成立的是______．①；②；③；④11.使得代数式的值最小的的值（或的取值范围）是_____．12.如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第10次输出的结果为______；第2012次输出的结果为______．二、解答题（共40+6分）13.如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处．（1）用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由；（2）设，求（用含的代数式表示）．14.已知关于的方程，其中．求所有整数的值，使得该方程的解为正整数，并求此时方程的解．15.如图，，，，是平面内的四个点，为该平面内一点．对于下面的两个结论：①若，，，则点在直线外；②若点到点，，，的距离的和最小，则满足条件的点有且只有一个．回答问题：（1）说明①错误的原因；（2）说明②正确的原因，并在图中作出符合题意的点．16.同六早上小健和小乐相约去奥森跑步．小健步行前往，他从家出发时刻与到达奥森时刻手表显示信息分别如图所示．小乐家离奥森比小健家离奥森远，他骑自行车前往，出发比小健早了5分钟，且骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，最终二人在同一时刻到达奥森．求小健步行的平均速度和平均步长．17.某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心思语盒（不考虑接缝）材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格如下表：卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ卡纸规格（单位：）（如图1网格）制作组要制作16个心愿语盒，通过合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，发现使所选卡纸的总成本最低的方案是：型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张．按照该方案，请在如图型号Ⅱ和型号Ⅲ的卡纸上，画出各纸盒的展开图（只画外轮廓即可）．18.设，，，分别是，的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”．（1）若，（其中），且，是一对“分补角”，求的值；（2）如图2，，，是一对“分补角”，请直接给出的所有可能值，对于每一个的值，要求画出相应的图形，并与之互补的两个角各自的值．例如：其中一个解如下：如图3，其中．此时与（角不必画出）互补．请再写出（并画出）其它所有满足条件的情况．

参考答案一、填空题（每题5分，共60分）1.【答案】-4【详解】∵a+3与1互为相反数，∴a+3+1=0，∴a=-4．故答案是：-4．2.【答案】【分析】本题主要考查了绝对值的性质，整式的加减，根据a为正数、b为负数可得出，，进而可化简绝对值，再进行整式的加减运算即可．【详解】解：∵a为正数、b为负数∴，，∴故答案为：．3.【答案】【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可．【详解】解：，，，，．故答案为：．4.【答案】20【分析】本题主要考查了线段的中点、两点间的距离、线段的和差倍分等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键．根据题意画出图形，再根据点B为线段的中点求出的长，再根据线段为线段的2倍即可得出D的长，再根据即可解答．【详解】解：如图：∵线段，B为线段的中点，∴，∵线段为线段的2倍，∴，∴．故答案为20．5.【答案】或【分析】本题主要考查了角的和差，分类讨论是解题的关键．分两种情况，根据角的和差关系求解即可．【详解】解：分两种情况：不在内，则；在内，则；故答案为：或．6.【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，把与相应代数式的值代入得到方程组，求出方程组的解即可得到与的值，代入代数式，即可求解．【详解】解：由题意得：解得：∴故答案为：．7.【答案】，，【分析】本题考查了方程的解，将，，分别代入原方程的左边，验证是否等于右边，即可求解．【详解】解：将代入方程，，等式成立，因此是方程的解．将代入方程，得到，等式同样成立，故也是方程的解．将代入方程，得到，等式成立，所以同样是方程的解．故答案为：，，．8.【答案】①.35②.【分析】本题主要考查列代数式、代数式求值，类比梯形面积的计算公式列出代数式是解题的关键．首先求得底层根数为，再利用梯形的面积公式列出代数式，然后将、分别代入代数式求解即可．【详解】解：由题意可得：底层根数为，则堆钢管的总根数；当时，钢管总数为；当时，钢管总数为．故答案为：35，．9.【答案】①②【分析】本题主要考查了有理数的减法、倒数、相反数的定义、有理数加法等知识点，掌握定义及定理成立时的条件是解题的关键．根据倒数的定义、有理数的减法、相反数的定义、有理数的加法逐个作出判断即可．【详解】解：①乘积是1的两数互为倒数是正确的；②两个有理数相减，差为正，则被减数大于减数，故正确；③只有符号相反的两个数是相反数，原说法没有限制“只有”这个条件，反例：和2符号相反，但不是相反数，故错误；④任意两个有理数的和不一定大于其中的一个加数，故错误．综上，①②正确．故答案：①②．10.【答案】①②③④【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，掌握角平分线的定义成为解题的关键．根据角平分线的定义、角的和差逐个判断即可．【详解】解：∵平分，平分，∴，∴，，即①②正确；∴，即③正确；，即④正确．故答案为；①②③④．11.【答案】【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质，分类讨论思想是解题的关键．根据绝对值的性质，分类讨论，即可求解．【详解】解：当时，，时，原式的最小值为；当时，，时，原式的最小值为；当时，，时，原式的最小值为；当时，，时，原式的最小值为；综上所述，原式有最小值时，，故答案为：．12.【答案】①.3②.1【分析】本题主要考查了代数式求值，发现输出结果的规律是解题的关键．根据程序框图计算出前11次的输出结果，据此得出除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环，然后据此规律即可解答．【详解】解：∵第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第3次输出的结果为6，第4次输出的结果为3，第5次输出的结果为8，第6次输出的结果为4，第7次输出的结果为2，第8次输出的结果为1，第9次输出的结果为6，第10次输出的结果为3，第11次输出的结果为8，，∴除去前2次的输出结果，后面每输出六次为一个周期循环，，∴第2012次输出的结果为1．故答案为3，1．二、解答题（共40+6分）13.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案；（2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案．【小问1详解】解：，理由如下：四边形是长方形，，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，，；【小问2详解】解：四边形是长方形，，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，，，．14.【答案】当时，方程的解为或当时，方程的解为【分析】本题考查解一元一次方程，先求得原方程的解为：，再利用要使为整数，且该方程的解为正整数，得出或，求得，再取值求解即可．【详解】解：方程，解得：，要使为整数，且该方程的解为正整数，则或，则或，当时，方程的解为，符合题意；当时，方程的解为，符合题意；综上所述，当时，方程的解为或当时，方程的解为．15.【答案】（1）见解析（2）两点之间线段最短，作图见解析【分析】本题考查了线段的和差，两点之间线段最短，画线段，掌握以上知识点是解题的关键．（1）由线段的和差即可判断；（2）当点线段和的交点时；由两点之间线段最短即可求解．【小问1详解】解：如图，当点在直线上时，，即，解得，∴当时，点在直线上，故①说法错误；【小问2详解】解：当点线段和的交点时，由两点之间线段最短可知点到点的距离的和最小，∴满足条件的点有且只有一个，如图所示，连接交于点，点即为所求；16.【答案】小健步行的平均速度为公里/小时，平均步长为米．【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键．设小健家离奥森x公里，则小乐家离奥森公里，根据小乐骑行的平均速度是小健步行的平均速度的倍，列出一元一次方程求解可得小健家离奥森的距离，然后再求出小健步行的平均速度和平均步长即可．【详解】解：设小健家离奥森x公里，则小乐家离奥森公里，分钟分钟小时，分钟分钟小时，，由题意得：，解得：，∴小健步行的平均速度为（公里/小时），∵公里米，∴平均步长为（米）．答：小健步行的平均速度为公里/小时，平均步长为米．17.【答案】见解析【分析】本题考查了正方体的展开图，分别在型号Ⅱ的卡纸上画出最多的心愿语盒A和心愿语盒B的展开图即可得出答案．【详解】解：型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B，如图，一张型号Ⅱ的卡纸，可以画出3个心愿语盒B的展开图；如图，型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作6个心愿语盒B，则2张型号Ⅲ的卡纸可画12个．所以型号Ⅰ的卡纸1张，型号Ⅱ的卡纸1张，型号Ⅲ的卡纸2张一共可画个心愿语盒．18.【答案】（1）（2）或或或【分析】本题主要考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键．（1）由题意可知不可能在内部，再画出图形，根据角平分线和“分补角