北京市清华附中志新学校2025-2026学年高二下学期3月月考数学检测试卷 附答案

/清华附中志新学校2025-2026学年第二学期高二年级数学3月练习一、单选题（共10小题，每小题4分）1.在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.【详解】由题意可得，所以，故选：A2.设集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】首先解对数不等式得到集合，再根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：由，即，所以，所以，所以，因为，所以；故选：D3.在梯形ABCD中，，，，则（）A. B.8 C.12 D.【正确答案】C【分析】作出图形，结合图形和已知，由向量数量积的定义求出即可.【详解】如图，取的中点，则，且，所以四边形为平行四边形，则，所以为正三角形，过作于，则，所以.故选：C.4.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可.【详解】作出示意图如图所示：则抛物线的性质，可得，又，所以可得的倾斜角为，则可得，从而.故选：C.5.的展开式中的系数为（）A.80 B.40 C.10 D.【正确答案】B【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定的值，代入即可求解.【详解】由二项式展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式中的系数为.故选：B.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为C右支上一点．若的一条渐近线方程为，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用双曲线的定义可得，结合条件可得，进而可得，即得.【详解】由题可知，，因为的一条渐近线方程为，所以，，所以.故选：C.7.设，均为锐角，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.【详解】因为，均为锐角，所以，.当时，，由函数在上单调递增，所以，故“”是“”的充分条件.当时，由，，则，所以，因为函数在上单调递增，所以，即，故“”是“”的必要条件.综上所述，“”是“”的充分必要条件.故选：C.8.某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【正确答案】B【分析】采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解.【详解】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列，有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法.故选：B9.声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：音宫商角徵羽频率小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（）A.宫 B.商 C.角 D.徵【正确答案】C【分析】根据题意可知：，可得，结合题意分析判断即可.【详解】由题意可知：，可得，则，结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角，所以小明弹奏的音是“角”.故选：C.10.已知函数，，若成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】不妨设得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【详解】解：不妨设，，，，即，，故，令，，，故在上是减函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极大值同时也是最大值，此时，即的最大值为，故选：．二、填空题（共5小题，每小题5分）11.已知函数，则__________.【正确答案】4【分析】求出，得到答案.【详解】，，故.故412.冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答）【正确答案】1560【分析】根据题意可知有两个人各分得2个、两个人各分得1个和有一个人分得3个、其余三人各分得1个两种情况，结合平均分配的思想方法与分步乘法计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，有两种情况：一、有两个人各分得2个，两个人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法，然后再从剩余4个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法；然后连同两个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案；二、有一个人分得3个，其余三人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选3个，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案．综上，不同的分配方案共有种．13.端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日．从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示．设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为________，内含食物的体积为________．（粽叶的厚度忽略不计）【正确答案】①.②.【分析】根据棱锥的表面积公式和体积公式，结合线面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面积公式求解.【详解】,所以为锐角，所以，该四角粽的表面积，取中点为，连接，则,所以,即，且，平面，所以平面，内含食物的体积为.故；.14.已知，则________．【正确答案】【分析】直接对二项式两边求导，再给x赋值可得结果.【详解】对两边求导得,，再令，得.故15.已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线关于直线成轴对称图形；②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；③直线与曲线所围成的图形的面积为；④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．【正确答案】①③④【分析】分的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，由图可得①正确；当斜率为时结合渐近线可得②错误；由四分之一圆面积减去三角形面积可得③正确；由图形可得④正确.【详解】，因为当时，无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线表示为：，作出曲线图象为对于①，由图象可得曲线关于直线成轴对称图形，故①正确；对于②，由于左上和右下部分双曲线的，所以渐近线方程为，所以当直线的斜率为时，过原点的直线与曲线无交点，故②错误；对于③，设直线与交点分别为，因为圆方程中半径为2，且点，所以直线与曲线围成的图形的面积为，故③正确；对于④，由于直线恒过，当时，直线与平行，有一个交点；当时，与渐近线平行，此时有两个交点，当，结合斜率的范围可得有三个交点，如图：所以，④正确；故①③④.关键点点睛：本题关键是能根据的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三、解答题（共6小题，共85分）16.已知函数．（1）求函数的极值；（2）若函数在上存在最小值，求a的取值范围．【正确答案】（1）极大值为，极小值为（2）【分析】（1）先对函数求导，通过导函数的正负来确定的单调性，再结合极值的定义来确定函数的极值.（2）结合函数的单调性以及极小值来确定的范围.【小问1详解】，.令，或，列表如下：极大值极小值的极大值为，极小值为.【小问2详解】由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减，极小值为.若函数在上存在最小值，则必须包含极小值点，即.又因为，要使在上有最小值，必须保证，即，整理得，解得.综上，的取值范围是.17.在中，分别为角的对边，，且.（1）求角的大小；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：为锐角；条件②：；条件③.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.【正确答案】（1）（2）见解析【分析】（1）根据三角形边与角的关系结合即可求解；（2）对给出的三个条件逐一探讨，若选①，由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选择②，先计算，由正弦定理得,再由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选③，由正弦定理求出的值，由两角和的正弦公式求出的值，结合面积公式即可求解.【小问1详解】在中，，所以，所以，所以，又，所以，所以；【小问2详解】选择条件①：为锐角，由（1），由余弦定理有：，所以，即，解得或，当时，，所以为钝角，不满足题意，当时，，所以为锐角，满足题意，综上，满足条件的存在且唯一确定，所以；选择条件②：，由（1），所以为钝角，且唯一，满足题意，所以，由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，即，解得或，当时，，所以为钝角，满足题意，当时，，所以为锐角，不满足题意，综上，满足条件的存在且唯一确定，所以；条件③：，由（1），所以，由正弦定理得，所以，所以，由正弦定理得，又，所以.18.如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）（3）存在；【分析】（1）连接，证明点为中点即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明；（2）结合题意，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，利用坐标法求解即可；（3）设，则，利用点满足即可求解；【小问1详解】证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点.所以点为的中点，又因为点为的中点，所以，又平面，平面所以平面【小问2详解】因为，为中点，所以，且，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角正弦值为【小问3详解】设，则，，由在平面内可知，即，解得，所以存在点，当时，点在平面内.19.已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（2）存在，当时，有定值．【分析】（1）根据长轴长为，离心率为，可得，得到标准方程．（2）根据斜率存在，设直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出，，表达出直线TM和直线TN，进而求出为定值；斜率不存在，不妨设，，求出为定值.【小问1详解】因为椭圆的长轴长为，离心率为，所以，．所以，．所以．所以椭圆方程为．【小问2详解】若直线的斜率存在，设直线的方程为，．联立方程组，消去，化简得．则，即,设，，所以，．所以直线TM的方程为，直线的方程为．所以，．所以，，所以．所以当时，为定值，即（负值舍）时，有定值．当时，若直线l斜率不存在，不妨设，，所以，．所以．综上，当时，有定值．方法点睛：根据直线与圆锥曲线的位置关系求解存在性的定值问题，分类讨论，求解计算，计算量偏大.20.已知函数．（1）若函数在处的切线经过，求a的值；（2）若函数存在两个极值点；（i）求a的取值范围；（ii）若满足，且，证明：．【正确答案】（1）（2）（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）求导得切线斜率与切点，利用切线过已知点列方程求解；（2）(i)将极值点问题转化为关于的函数，分析该函数的单调性与值域得的范围；(ii)确定的取值区间，结合的单调性证明绝对值不等式.【小问1详解】，由题意，因此函数在处的切线为，令有．【小问2详解】（i）等价于，即，令（）.，当时，，单调递增；当时，，单调递减.，当或时，.有两个极值点，即有两个不同解，故的取值范围为.（ii）当时，，令，而，当时，，时，，故在上为增函数，在上为减函数，，，时，，故存在，，使得当时，，时，，所以在上为增函数，在上为减函数，，.设，故，当时，，故在上为增函数，当时，，故在上为减函数，故，故，故当时，，而，故.而，故，故.21.设集合的元素均为实数，若对任意，存在，．使得且，则称元素最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依次类推．．．．．．．（1