湖北省宜昌市宜都市第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学检测试卷 附答案

/宜都市一中高二数学3月月考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.记为等差数列的前n项和．若，，则（）A.64 B.76 C.80 D.84【正确答案】C【详解】设等差数列的首项为​，公差为，等差数列前项和公式为，根据已知条件列方程：，，联立求解：

，解得，再代入得，则.2.设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形【正确答案】D【详解】椭圆方程，得，，，，.由椭圆定义，；已知，即。当时，，两式相加得，即，代入得；当时，，两式相加得，即，代入得；综上所述或，焦距.因为，即或,故是直角三角形.3.已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解.【详解】由题意杯子的底面面积，则杯中溶液上升高度，则，当时，，即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为.故选：B.4.已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（）A. B.C.在处取得最小值 D.在处取得极大值【正确答案】A【分析】根据导函数的图像可知原函数的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】根据图象可知：当或时，，，故在处取得极大值，在处取得极小值，因此，故BCD错误，由于函数在单调递减，故，A正确，故选：A5.已知数列，，且，则（）A. B.2 C. D.【正确答案】B【分析】先通过递推，得到数列的周期为求解.【详解】因数列中，，且，所以，所以数列的周期为，则，故选：B6.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.【详解】联立方程，整理可得，当时，即，方程有一解，即只有一个公共点；当时，，解得；所以直线与双曲线只有一个公共点时，或，所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，故选：A7.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（）．A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可.【详解】由，当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减，当时，函数有最大值，且，且函数的对称轴为，所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，所以，故选：B8.若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】B【分析】问题转化为对任意恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值即可．【详解】解：问题转化为，当时，不等式显然成立，当时，即有对任意恒成立，令，则，令，则，故在递增，，，，使得，故，故时，，，时，，故在递减，在，递增，故，故，故整数的最大值为4，故选：．本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及函数最值问题，考查转化思想，是一道常规题．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等比数列和函数满足：，，则以下数列也为等比数列的是（）A. B.C. D.【正确答案】AD【详解】对于A，由题意，，设，则，故A正确；对于B，若，则,此时不是等比数列,故B选项错误；对于C，，，故C错误；对于D，，，故D正确．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的对称轴是 B.在上单调递增C.的值域为 D.恰有两个零点【正确答案】ABD【分析】根据函数的对称性判断A；根据复合函数的单调性、值域判断BC；根据函数零点的定义求解判断D.【详解】对于A，函数的定义域为，因为，故的图象关于直线对称，A正确；对于B，由，因为在上单调递增，且在其定义域内单调递增，所以在上单调递增，B正确；对于C，当时，，故的值域为，C错误；对于D，令，则，解得，则有两解，且这两个解均在内，故D正确．11.设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A. B.C.若点，则的最小值是5 D.若倾斜角为，且，则【正确答案】ACD【分析】A选项由范围来判断，B选项由特殊点进行判断，C选项利用点到抛物线的准线的距离来判断，D选项求得两点的纵坐标来判断.【详解】抛物线的准线为，焦点为.设，设直线的方程为，由消去并化简得，所以，，所以（时等号成立）.所以A选项正确.当直线的方程为时，不妨设，此时，所以B选项错误.根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，也即的最小值为，所以C选项正确.当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限.故，解得，所以，即，所以D选项正确.故选：ACD求解与抛物线有关的距离和的最值问题，要注意结合抛物线的定义来求解.三、填空题：本题共3小题，共15分.12.函数过的切线为________．【正确答案】【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点，代入求出，即可求出切线方程.【详解】设切点为，，故切线方程斜率，切线方程为：，代入点得：，化简得：，解得：，即，代入切线方程得：，化为一般式得.13.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________．【正确答案】【分析】先求出渐近线方程，再由相互垂直得到斜率之积为求出，最后由离心率的定义求解即可.【详解】双曲线的渐近线为.由题意知，，所以.又，所以.14.如图所示形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则________，数列的前50项和为________.【正确答案】①.15②.##【分析】根据题意列出数列的递推关系，再利用累加法求出通项公式，最后用裂项相消法求出数列的前20项和.【详解】依题意，，当时，，于是，而满足上式，因此，；由，得数列的前项和，则，所以.故15；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若在处取得极小值，求实数的值；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据求参数a，验证否在处取得极小值即可.（2）将问题转化为在上恒成立，结合不等式右侧的单调性求范围.【小问1详解】因为，所以，得，此时，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为.【小问2详解】由（1）知，，因为在上单调递增，所以在上恒成立.因为，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以，故实数的取值范围为.16.在平面直角坐标系中，直线与曲线有且仅有一个公共点.（1）求的方程；（2）过的直线与另交于点，若，求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）将直线与曲线联立，由题意，求出p值，即可得答案.（2）根据（1）可求出A点坐标，即可求出的斜率，进而可得的斜率，代入公式，可得直线的方程，与抛物线联立，结合弦长公式，可得，根据两点间距离公式，可得，代入面积公式，即可得答案.【小问1详解】联立，得，其中，解得（舍）或，故的方程为.【小问2详解】此时由可解得，而，故，所以的斜率，故的斜率，所以，即，联立，可得，解得，故，而，故的面积.17.已知数列中，，且.（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由递推关系式可得，根据等差数列定义判断即可；（2）根据（1）求得，然后利用错位相减法求和.【小问1详解】由，所以，又，则，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）可知：，①则②则①-②得：，所以.18.已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且.（1）求的方程.（2）是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为.（i）求点的坐标（用表示）；（ii）证明：为定值.【正确答案】（1）；（2）（i）；（ii）【分析】（1）根据条件列方程组求解；（2）（i）联立直线与椭圆的方程求解；（ii）求出的坐标，化简，即可求证.详解】（1）由题意得，，，，得，则的方程为；（2）（i），直线，联立，得，得或，则，代入中得，，故；（ii）因，则由（i）可得，，则直线的方程为，则，因，则直线，联立，得，即，则，则.19.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若在上的最大值为，求实数的值；（3）若，的图象上是否存在两点，，（其中），使得的斜率等于曲线在其上一点（点的横坐标等于中点的横坐标）处的切线的斜率，如果存在，求出、的坐标；如果不存在，请说明理由.【正确答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间是；（2）（3）答案见解析【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调区间；（2）根据（1）中函数的单调性，分情况讨论的取值，求出函数在上的最大值，进而求出的值；（3）先求出的表达式，再根据斜率公式和导数的几何意义列出等式，通过化简等式并结合已知条件判断是否存在满足条件的、两点.【小问1详解】函数的定义域为，，当时，对于，，，所以在上单调递增；当时，令，因为，所以，解得或（舍），当时，，，所以单调递增；当时，，，所以单调递减；因此，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当