湖南汨罗市第二中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学检测试卷 附答案

/2026年3月高二数学月考试题一、单选题（每题5分，共40分）1.直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据截距的定义进行求解.【详解】中，令，解得，令，，故.故选：B2.已知空间向量，，若，则（）A.1 B. C. D.3【正确答案】B【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为，，且，所以，解得，故选：B.3.如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱的棱长均为，可得，所以，可得，则，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：C.4.在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】本题首先可确定圆心坐标、半径，然后求出直线方程为，再然后求出圆心到直线的距离，最后根据即可得出结果.【详解】，即，圆心坐标，半径，因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，即，则圆心到直线的距离，故，故选：A.关键点点睛：本题考查圆的弦长的求法，可借助半径与圆心到直线的距离求出圆的弦长，考查根据圆的方程确定圆心与半径，考查直线方程的求法，是中档题.5.已知数列满足，设数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得.【详解】数列中，，当时，，则当时，，而满足上式，因此，，则，所以.故选：D6.设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可.【详解】若成立，则，符合等差数列的定义，所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立.若数列是等差数列,设其公差为，则,..所以,所以.即必要性成立.所以甲是乙的充分必要条件.故选：A.7.在正四面体中，是的中心，，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题意得到，，然后求数量积即可.【详解】因为为正四面体，是的中心，所以，，所以.故选：D.8.已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出的关系，再根据椭圆的性质求解即可.【详解】设，，将直线方程与椭圆方程联立，消去得，则，因为的中点为所以，解得，所以，，故选：B二、多选题（每题5分，共15分）9.下列导数计算正确的有（）A. B.C. D.【正确答案】ACD【分析】根据求导公式逐项求导即可求解.【详解】对于A选项，由，故A选项正确；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项正确；对于D选项，由，故D选项正确.故选：ACD.10.点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（）A.圆心距 B.的最小值为2C.的最大值为9 D.圆经过点的最短弦的长为4【正确答案】ACD【分析】求各圆的圆心和半径，进而求，即可判断A；根据圆的性质分析判断BCD.【详解】由题意可知：圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，对于选项ABC：圆心距，故A正确；的最小值为，故B错误；的最大值为，故C正确；对于选项D：因为，可知点M在圆内，当圆经过点M的弦与垂直时，弦长取最小值，最小值为，故D正确.故选：ACD.11.已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】根据与的关系，求出，并求得；由项与积的关系求得，可得数列是等比数列，根据等比数列的前项和即可求得.【详解】因为，所以当时，，解得；当时，，两式相减可得，即，所以.故数列是以1为首项、2为公比的等比数列，故，所以A错误.由，得，所以，所以B正确.记，当时，，即，故.因为，故，故数列是以1为首项，为公比的等比数列.故，所以C、D正确．三、填空题（每题5分，共15分）12.已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________．【正确答案】或．【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，又由，解得，所以或，所以数列的通项公式为或．故或．13.某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）.【正确答案】【分析】根据特殊元素优先法分步完成即可.【详解】依题意，完成这件事共分两步完成，第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法，由分步乘法计数原理得一共种排法．故答案为.14.已知双曲线：的左焦点为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_______.【正确答案】【分析】根据题意画出草图，由为中点，，故过做构造相似三角形，根据相切找到长度，根据相似找到的长度，进而找到的长度，根据双曲线定义找到长度，在直角三角形中，用勾股定理即可找到之间的关系，再根据，即可得到离心率.【详解】由题知，记右焦点为，过做如图所示，与圆相切，，，，，为中点，，故，且相似比为，即，，，，，在双曲线中，有，，，，为直角三角形，，即，化简可得，上式两边同时平方，将代入可得，则，即离心率.故答案：四、解答题（共80分）15.已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍．（1）判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由．（2）求农贸市场D到村庄B、C的距离之和．【正确答案】（1）村庄在村庄的正西方向，理由见解析（2）千米【分析】（1）由余弦定理求得，由正弦定理求得，知村庄在村庄的正西方向；（2）由题意得出，再用余弦定理可求得，从而得距离之和．【小问1详解】由题意可得，，，在中，由余弦定理可得，则，故，即村庄，之间的距离为干米，在中，由正弦定理可得，则，从而，故村庄在村庄的正西方向；【小问2详解】因为农贸市场在村庄北偏东的方向，所以.在中，由余弦定理可得，因为，所以，解得或（舍去），则，故，即农贸市场到村庄､距离之和为千米.16.如图，椭圆的一个焦点为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；（ⅱ）求面积的最大值.【正确答案】（1）（2）(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点建立方程，求出即可得解；（2）（ⅰ）求出点的坐标，证明点的坐标满足椭圆方程即可；（ⅱ）设出的方程为，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，据此求出的表达式，换元后求最值即可.【小问1详解】因为椭圆一个焦点为，所以，点代入椭圆方程可得，又，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】(i)由题意得，，设，则，且①，则的方程分别为：，.设，则有②，③由②，③得，由①得，因为，所以点M恒在椭圆上.(ⅱ)设的方程为，代入，得，设，则有，，所以，令，则，因为，所以，故当，即，时，有最大值3，此时过点.所以，即的面积的最大值为.17.已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）通过点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，即可求解；（2）设直线的方程为，延长交于，延长交于．通过向量数量积说明，，再通过，，及，即可求证；【小问1详解】因为是椭圆C的一个顶点，所以．当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．故椭圆C的标准方程为．【小问2详解】证明：设直线的方程为，，．由得，，，所以，，即点，所以直线的方程为．令，得．又，所以直线的方程为．令，得．延长交于，延长交于．由，得，则．同理由，得，则．因为，，显然，所以．18.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数有两个零点，记作，.（ⅰ）求参数的取值范围；（ⅱ）若，证明.【正确答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，得解；（2）（ⅰ）问题转化为在上有两个根，，令，求导判断的单调性和最小值，问题转化为在上有两个根，分离参数，令，求导判断单调性最值，得解；（ⅱ）由（ⅰ）知，，可得，利用分析法转化为即证，令，即证在上恒成立，利用导数判断单调性求出最值得证.【小问1详解】当时，，则，.又，在处的切线方程为.【小问2详解】（ⅰ）由题知，在上有两个根，，，即.令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，，所以问题转化为在上有两个根.易知，故，令，则.当时，，单调递增当时，，单调递减.又，时，，时，，且时，；时，，，解得，即参数的取值范围为.（ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得，要证，即证，即证，即证，令，即证在上恒成立.令，，令，，在上单调递增，，，则在上单调递增.，，得证，.19.已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且.（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）设等比数列公