江苏苏州市西安交通大学苏州附属中学（普惠路校区）2025-2026学年第二学期高一阶段练习数学检测试卷 附答案

/江苏苏州市西安交通大学苏州附属中学（普惠路校区）2025-2026学年第二学期高一阶段练习数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.化简：等于（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】.2.记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由，根据正弦定理可得，结合余弦定理计算即可.【详解】，由正弦定理得.又，根据余弦定理，得.故选：A.3.设非零向量和的夹角为，则“”是“为锐角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】若，则，整理得，即，所以，又，所以，不一定是锐角，充分性不成立；和为非零向量，若为锐角，则，则，即，即，必要性成立.所以，对非零向量和，则“”是“为锐角”的必要不充分条件.4.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由.5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【正确答案】B【分析】由题意可得，由结合两角差的正切公式可得，从而求得第二次的“晷影长”与“表高”的比值，得出答案.【详解】由题可得，又，所以.即第二次的“晷影长”是“表高”的.6.已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心【正确答案】D【分析】动点满足，因为的表达式中和的系数之和为，所以三点共线，进而得到答案.【详解】为所在平面上一点，是的中点，动点满足，∵的表达式中和的系数之和为，，，三点共线，又∵是的中点，∴为的边的中线，点的轨迹一定过的重心．故选：D．7.已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（）A.1或2 B.1 C.2 D.3【正确答案】C【分析】利用辅助角公式化简函数，结合正弦函数的对称性和单调性即可求解.【详解】，因为，且在区间上单调递减，所以的图象关于点对称，所以，又点减区间内，所以，得，由题知，周期，所以，又，所以时，.8.若，则＝（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得.【详解】由题设，则，所以，可得，由，则，故，代入，则，所以，则，所以，所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D.若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是【正确答案】BC【分析】根据图象可确定，判断A的真假；利用可验证B的真假；利用函数的平移变换结合诱导公式，可判断C的真假；利用换元法，结合函数图象可求的取值范围，判断D的真假.【详解】由题意：，，又，所以，，故A错误；对B：因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确；对C：将函数的图象向左平移个单位长度，可得：，故C正确；对D：，当时，.设，，若要在上有两个不相等的实数根，由下图可知：，故D错误10.下列说法正确的是（）A.已知，，则的最小值为6B.在中，若，则为钝角三角形C.在中，已知，则向量在上的投影向量为D.在中，若点满足，则为的垂心【正确答案】ACD【详解】对于A选项，因为b⋅又0≤b,a所以b⋅a+2对于B选项，，故，所以为锐角，故不能判断为钝角三角形，故B错误；对于C选项，如图设线段中点为，则AB+AC=2所以AM=12设，则.在上的投影向量为AC⋅BCBCBCBC对于D选项，因为，所以故，同理可得，故为的垂心，故D正确．11.记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则为锐角三角形D.当为锐角三角形，且时，【正确答案】ABD【分析】对A直接由正弦定理进行角化边及大边对大角定理可得；对B根据二倍角公式及正弦定理可得；对C可进行举反例判断；对D先将原不等式等价转化为，再结合正切函数的单调性判断可得.【详解】对选项A，根据正弦定理，，因此，即三角形中大边对大角，故，A正确；对选项B，由，得，因为，所以，故，结合A的结论得B正确；对选项C，举反例：取，，，满足条件，但此时，是钝角三角形，C错误；对选项D，原不等式等价于：

，整理得：

利用三角恒等变换得，因为锐角三角形，​，所以原不等式等价于：​.又因为，所以，因为函数在单调递增，因此，原不等式成立，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知O为坐标原点，点，若向量，则_____.【正确答案】【详解】，所以.13.在中，已知，，，则__________．【正确答案】【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解．【详解】在中，，，．，．．由正弦定理知，．故14.已知点A，B，C，P在同一个平面内，满足：，且，则（1）______；（2）的最小值为______.【正确答案】①.②.【分析】（1）由得，即可得解；（2）取中点，进而，再结合即可转化为求解.【详解】（1）因为，所以，即，所以，所以；（2）因为，所以，如图，取中点，，因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上，所以，当且仅当点与点重合时等号成立，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，.（1）若向量与垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题意解出的坐标，进而依据垂直条件解出的值即可；（2）由题意解出的坐标，进而依据平行条件解出的值即可.【小问1详解】，，，，又与垂直，，即，解得，经检验符合题意，若向量与垂直，则.【小问2详解】由题意知：，，，，又与向量平行，，即，解得，所以与向量平行，则.16.在菱形中，，.（1）若，求的值；（2）若，，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由向量线性运算及平面向量基本定理可得；（2）根据向量的线性运算及数量积的定义可得.【小问1详解】如图：由菱形中，，，所以，所以，因为向量不共线，且，由平面向量基本定理得.所以.【小问2详解】由（1）知，所以，，由数量积的定义得.所以.所以.17.我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径构成.已知圆O的半径为1千米.为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形；喷泉观景区的形状为.要求端点A，B均在直径上，端点C，D均在圆弧上.设与直径所成的角为.（1）试用分别表示矩形和的面积，并写出的范围；（2）若在矩形两侧线段，的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为5万元，建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元.问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值.【正确答案】（1）矩形ABCD的面积为，的面积为；（2）当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用约为20万元.【分析】（1）由题图知，根据矩形、三角形面积公式写出矩形和的面积；（2）由已知可得，，利用、关系，换元法及正弦型函数、二次函数性质求的最小值及其对应的值.【小问1详解】由题意，，易得：．所以矩形ABCD的面积为，的面积为．【小问2详解】设建造观景区所需总费用为，由题意，，，即，，令m=sinθ设，则，由，从而m=−当，即时，有mmin=2所以最小值为（万元）．故当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用约为20万元．18.已知向量，函数．（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值；（3）已知，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）（2）（3）存在，．【分析】（1）根据数量积的坐标表示及二倍角公式、两角和的正弦公式化简；（2）依题意可得，结合角的范围得到，再由及两角差的正弦公式计算可得；（3）求出，设，由垂直关系利用向量列出方程，令，结合，得到，求出点的坐标.【小问1详解】因为，，函数，所以.【小问2详解】依题意，因为，所以，而，所以，所以，所以；【小问3详解】将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则，假设的图象上存在点使得，因为，因为，所以，令，因为，所以，当且仅当时取等，所以存唯一解，此时，点，综上，符合条件的点坐标为．19.由二倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有可见也可以表示成的三次多项式.（1）利用上述结论，先用表示出，再求出的值；（2）先化简：，并利用此结果求出的值；（3）已知方程在上有三个根，记为，，，求的值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据，利用三倍角公式结合二倍角正弦公式，可得