河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下学期3月数学检测试卷 附答案

/高一数学注意事项：1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的最小正周期为（）A.1 B.2 C. D.【正确答案】A【详解】函数的最小正周期为.2.命题“”的否定是A. B. C. D.【正确答案】B【详解】试题分析：特称命题的否定需要将特称量词改为全称量词，并对满足的条件加以否定，的否定为，所以的否定为考点：特称命题的否定点评：特称命题的否定为3.已知向量，，若，则实数（）A. B. C.4 D.9【正确答案】B【详解】由题设及，则，可得.4.若是平面内一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底；选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底；选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底；选项D：假设两向量共线，则存在实数，使得，即，若是基底，故不共线，系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立，故两向量不共线，可以作为基底．5.在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（）A.1 B. C.2 D.【正确答案】A【详解】由余弦定理得，则，故面积为.6.若，则的最小值为（）A.16 B.32 C.64 D.128【正确答案】C【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可.【详解】因为，且，所以，因为，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为.7.在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据向量共线及向量的线性表示求解即可.【详解】设，则，又，所以.设，，则，又，所以，解得，所以.8.已知函数，且对任意的（且），总存在，使得，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】由题意，，对任意，存在使得，即（因为，区间内的数同号，乘积为正），所以必须在区间内，因此，对于所有，有，由于且，分两种情况讨论：若，则，函数递减，值域为，需满足，即且，得且，故；若，则，同样递减，值域为，需满足，需满足且，同样得.因此，.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）A.B.C.向量与的夹角为D.存在非零实数，使得【正确答案】ABC【分析】先求得向量，的坐标表示，再由向量数量积，共线，垂直的坐标运算求解即可.【详解】因为，，所以，所以，，对于A选项，，，所以，故A正确；对于B选项，，所以，故B正确；对于C选项，，，设向量与夹角为，则，所以向量与的夹角为，故C正确；对于D选项，若，则，，，则，解得，故D错误.10.已知函数，其中，则（）A.可能有最大值B.当时，若有定义，则其值域为C.在定义域内的区间上一定单调递减D.当时，一定存在最小值【正确答案】BD【详解】A选项，令，则，其中，因为外层函数为，而在定义域上单调递增，且在定义域内可以取到任意大的正数，所以在定义域内没有最大值，因此也没有最大值，A选项错误；B选项，的定义域为R，，则与x轴有交点，且开口向上，所以在定义域内能取遍所有大于0的实数，则的值域为，B选项正确；C选项，对称轴为：，且开口向上，所以在上单调递减，若，则在该区间上最小值为，则在该区间上无定义，因此C选项说法不准确；D选项，若，则，即与x轴无交点，且开口向上，的最小值为：且，所以最小值为：，D选项正确.11.已知函数的图象连续不断，且，均有，，当时，，若，则（）A.的图象关于直线对称 B.的图象关于点对称C. D.【正确答案】ABD【分析】根据推出的图象关于点对称，根据推出的图象关于直线对称，进而推导出函数的周期，结合函数的周期性及对称性求出、的值，进而求出的值.【详解】选项A：由得，，则的图象关于直线对称，故A正确.选项B：由得，，则的图象关于点对称，又的图象关于直线对称，所以的图象关于点对称，由，可得，，即，所以，即的周期为4，所以的图象关于点对称，故B正确.选项C：由B知，的图象关于点对称，所以，又，所以，又的周期为4，所以，又，所以，，则，.当时，，所以，解得，所以，故C错误.选项D：因为的周期为4，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一扇形的半径为，周长为，则该扇形的圆心角为______rad．【正确答案】3【详解】设扇形的弧长为，则扇形的周长为，所以，所以扇形的圆心角.13.函数的定义域为______．【正确答案】【分析】分母不能为零和被开方数大于等于零求解即可.【详解】要使有意义，，解得.的定义域为.14.已知向量，，为单位向量，则的最大值为______．【正确答案】9【分析】因为单位向量模长为1，则可设，结合三角函数恒等变换与值域即可求解.【详解】设，则，整理得，易得，所以，即的最大值为9.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量满足，，且与的夹角为．（1）若，求实数的值；（2）求与的夹角的余弦值．【正确答案】（1）．（2）【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算.（2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解.【小问1详解】由题意可得，因为，所以，即，解得．【小问2详解】设与的夹角为，由（1）可知，，由题意可得，由，得，所以．16.已知函数，．（1）若，求在上的值域；（2）若的最小正周期为，且在上恰有3个零点，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦型函数的性质结合条件即得；（2）求出在上的零点，然后根据在上恰有3个零点，得到介于第三个零点与第四个零点之间，列不等式，可得答案.【小问1详解】当时，，当时，，因为在上的最大值为，最小值为，所以在上的值域为．【小问2详解】由最小正周期为，得，所以，即．令，得，即，所以在上的零点为．若在上恰有3个零点，则，所以的取值范围是．17.已知锐角的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；（2）先根据余弦定理求得，再结合正弦定理求解.【小问1详解】由，根据正弦定理可得，中，，则，即，又因为为锐角，所以．【小问2详解】由余弦定理可知，即，化简得，解得（舍去）或，则，由正弦定理可知，即，得.18.已知为奇函数，且．（1）求实数的值；（2）求的值域；（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．【正确答案】（1），（2）（3）【分析】（1）利用奇函数性质和已知条件列方程组，并进行验证即可求解；（2）根据函数解析式分析时的值域，再由奇函数对称性得整体值域即可；（3）利用函数单调性和奇偶性将不等式转化为，求在上的最大值即可得解.【小问1详解】由题可知的定义域为．因为为奇函数，所以，即，又，所以，则．所以，验证可知，为奇函数．【小问2详解】由（1）可知．当时，，所以，则，，所以，即时，．又为奇函数，所以当时，，所以的值域为．【小问3详解】因为单调递增，则单调递增，单调递减，单调递增，所以既是奇函数又是增函数，所以不等式即，等价于，即，即，所以原问题等价于在时有解．因为，当时，，所以，则，所以，即，所以实数的取值范围是．19.已知函数．（1）证明的图象为中心对称图形，并求出其对称中心；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）求不等式的解集．【正确答案】（1）证明见解析，对称中心（2）在上单调递增，证明见解析（3）．【分析】（1）证明即可；（2）由单调性的定义进行证明；（3）由单调性及对称性进行求解不等式．【小问1详