辽宁省盘锦市大洼区2026届高三下学期一模数学检测试卷 附答案

/2025-2026学年度下学期高三试题数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，那么（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意，先求出集合U，根据并集运算的概念，可得，根据补集运算的概念，即可得答案.【详解】由题意，集合，且，所以.故选：D2.已知向量在向量方向上的投影向量为，则（）A. B. C. D.4【正确答案】D【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可.【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以，又，所以，所以.故选：D.3.若实数且，则下列不等式恒成立的是（）A B. C. D.【正确答案】C详解】对A，当时，满足题意，但不成立，故A错；对B，当时，满足题意，但不成立，故B错；对C，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向会发生改变，因为，所以，故C对；对D，等价于，取，满足题意，但，不成立，故D错.4.已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用作差法及数列前n项和与第n项的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】依题意，，因此，所以“”是“”的充分必要条件.5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】由题意，.6.2025年中国“人造太阳”再创世界纪录，实现亿度千秒稳态运行，其核心参数研究中，科研团队对某聚变反应的温度（单位：1000万度）和反应持续时间（单位：秒）的一组观测数据作线性相关分析，其回归直线方程是，且，则实数的值是（）A. B.1 C.2 D.4【正确答案】B【分析】先求，再根据回归直线过样本中心点列方程求解即可.【详解】由可知，.因为回归直线过样本中心点，即，将其坐标代入方程可得，解得.7.袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】记取出的2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件，则，，则.8.已知P，Q是双曲线右支上两点，且满足（其中），则最小值为（）A. B.2 C.4 D.【正确答案】A【分析】设，根据向量数量积的坐标运算，将问题转化为关于的二次函数求最值问题，结合题干求解即可.【详解】设，由，得，代入和，得，在双曲线右支，故.设二次函数，对称轴为，所以最小值为验证可知时，，存在符合条件的在右支，故最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，为复数，则下列选项一定正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】ACD【分析】根据复数的四则运算及复数的模计算判断即可.【详解】设，，.选项A...所以，故A正确.选项B：，，所以，故B错误.选项C.，，所以，故C正确.选项D.，，又，所以，即，也即，所以，即，故D正确.10.已知，函数有两个极值点，，则（）A.是负数B.C.函数图象的对称中心为D.曲线在点处的切线方程为【正确答案】ACD【分析】根据导数与极值的关系、函数的对称性、导数的几何意义分析判断即可.【详解】.由题意知，，是的两个根.选项A：，所以，故A正确.选项B：，故B错误.选项C：若函数图象的对称中心为，则有.而，所以函数图象的对称中心为，故C正确.选项D：，，所以曲线在点处的切线方程为，即，故D正确.11.用笔从图形的一个顶点出发，沿边画线，不间断、不重复（顶点可重复），最终回到起点或到达另一个顶点的过程称为“1笔”.比如“日”是1笔完成.现定义：如果一个平面图形所有的顶点和边至少需要n笔，则该平面图形称为n笔画图形.那么下列说法正确的是（）A.“目”是2笔图形 B.“田”是1笔画图形C.是2笔画图形 D.是4笔画图形【正确答案】AC【详解】对于A，1笔完成“日”，再在“日”的中间加一横，因此“目”是2笔图形，A正确；对于B，1笔完成“日”，再在“日”的中间加一竖，因此“田”是2笔图形，B错误；对于C，1笔完成“”，再画出另一条对角线，因此是2笔画图形，C正确；对于D，1笔完成“日”，再画出中间两竖，因此是3笔画图形，D错误.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则关于t的不等式的解集为______.【正确答案】【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可.【详解】，得，故为定义在上的奇函数.所以可写为，即，根据奇函数易得.函数的导数为，而，所以，故函数在上单调递增，故不等式的解集等价于的解集，解得.13.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______.【正确答案】【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点，由抛物线的定义可得出，所以，其中为圆的半径，当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，等号成立.【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可得，圆的圆心为，半径为，所以点到点的距离与点到直线的距离之和为.当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立，所以点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是.14.直角三角形中，，，，D是边上一动点（不包括端点）.将沿折起，得到三棱锥，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积的取值范围是_____，三棱锥体积的最大值是______.【正确答案】①.②.【分析】根据两平面互相垂直判断外接球球心的位置，再由已知条件计算出球半径表达式，即可求出表面积的取值范围，设，，求出三棱锥的体积的解析式，再利用导数方法求其最值即可.【详解】因为为直角三角形，，，，所以，，因为是直角三角形，所以其外接圆的圆心在的斜边上，即是该圆的直径，又因为平面平面，所以平面必过球心，外接球半径即为外接圆的半径，设球的半径为，球的表面积为，在中，根据正弦定理得，，又因为，所以，所以.设，，则，作于，则翻折后，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，且，三棱锥体积，其中，所以，，设，，则，所以，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最大值，最大值为，故时，三棱锥的体积取最大值，最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，设函数.（1）求函数的单调递增区间及其图象的对称中心；（2）已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积.【正确答案】（1）函数的单调递增区间为，图象的对称中心为（2）【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得，再由正弦函数的单调性与对称性，即可得解；（2）根据正弦函数取值可得，再利用余弦定理求出b的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，即可得解．【小问1详解】，.所以.由，得即.由，得，即.所以函数的单调递增区间为.令，得，此时，所以函数的图象的对称中心为.综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为【小问2详解】由（1）知，由得，因为为锐角，所以，则，所以，解得.由余弦定理得，即，整理得，解得或.当时，，，此时，由正弦定理得，即，解得，所以或，若，则，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾;若，则，此时三角形为钝角三角形，符合题意，三角形面积.当时，，，由余弦定理得，所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去.综上所述，三角形的面积为.16.如图所示几何体中，四边形与四边形为全等的菱形，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）设与交于点，连接，先证明，，可得平面，进而求证即可；（2）先证明，建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解即可.【小问1详解】设与交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为的中点，又，所以，因平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】因为四边形与四边形为全等的菱形，所以，则为等边三角形，连接，可得为等边三角形，而为的中点，则，又，，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，所以，易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17.甲、乙两人进行某项比赛，采取5局3胜制，积分规则如下：比分为3:0时，胜者积3分，败者积0分；比分为3:1时；胜者积2分，败者积1分；比分为3:2时，胜者积1分，败者积0分.设每局比赛甲取胜的概率均为.（1）若甲以3:1取胜的概率大于以3:0取胜的概率，求p的范围；（2）若，求甲所得积分X的分布列及数学期望.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意结合独立性重复性事件概率公式列式求解即可.（2）的所有可能取值为0，1，2，3，求相应的概率，进而得分布列和期望.【小问1详解】甲以取胜的概率为:,甲以取胜的概率为:由题意可知:解得，.所以的取值范围为.【小问2详解】的所有可能取值为0，1，2，3,所以分布列为0123所以期望.18.已知椭圆C：，，，点在椭圆C上.由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆C上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复，设第次入射点为.规定：当为奇数时，记；当为偶数时，记；记，，即：，，，…，，，，….（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆：的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点M满足，到一个定点的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到.求证：为定值；（3）若，记，，求证：数列为等比数列，.【正确答案】（1）（2）证明见解析，定值为（3）证明见解析【分析】（1）借助焦点坐标与椭圆上的点的坐标，代入计算即可得；（2）由题意可得、、三点共线，设该直线为，联立曲线方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用所给椭圆第二定义可用、横坐标表示、，则利用韦达定理对求和即可得；（3）由椭圆对称性可得，结合椭圆定义可得，则可表示出，结合等比数列定义可得数列为等比数列，再利用等比数列性质可求出通项公式，即可得的通项公式，再合理放缩后求和即可得证.【小问1详解】由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为；【小问2详解】设，由题意可得、、三点共线，设该直线为，联立，消去可得，则，，由题意可得，，由椭圆第二定义可得，，则，故为定值；【小问3详解】由（2）中所得，即，由椭圆对称性可得也成立，故有，则又由椭圆定义可得，则，即，由，则，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则，整理得，故，即，即得证.19.已知函数，为的导函数，（1）若有两个零点，求的取值范围（不必证明）；（2）在（1）的条件下，判断有几个零点，并证明；（3）在（1）的条件下，为的最小零点，求证：时，.【正确答案】（1）（2）有个零点，证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）有两个零点等价于在上有两个不同的解，构建新函数并结合导数可求的取值范围；（2）由（1）的结论结合虚设零点并讨论的符号后得原函数的单调性，最后利用零点存在定理结合趋势判断可得有3个不同的零点；（3）设，，则可转化为，其中，可利用导数证明这个不等式.【小问1详解】，其中，在上有两个零点等价于在上有两个不同的解，故在上有两个不同的解，设，，则有两个不同的零点.又，若，则，故在上为增函数，故在上至多一个零点，不合题意，舍；若即，此时时，，当时，，故在上为减函数，在上