山东青岛五十八中杜威实验学校2026届高三二模调研数学检测试卷 附答案

/2026届山东青岛五十八中杜威实验学校高三二模调研数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】A【分析】根据复数模的计算公式结合同角三角函数关系求解即可.【详解】.2.已知集合，若，则（）A.－2 B.0 C.2 D.4【正确答案】B【详解】由于集合，，则，故3.已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据等差数列通项公式及求和公式基本量运算求解.【详解】等差数列中，，因为，所以则数列的公差是.故选：C.4.已知直线过定点，与圆交于两点，则的最小值为（

）A.2 B.3 C.4 D.6【正确答案】C【分析】根据题意可得当时，最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.【详解】如图：直线过定点，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时.故选：C5.设是定义在上的奇函数，，，则（）A. B.0 C.1 D.2【正确答案】A【分析】由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解.【详解】由于，，则.故选：A6.已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（）A.12 B.13 C.15 D.18【正确答案】C【详解】建立如图所示的直角坐标系，16个点的坐标为若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为.经检验可知，当，取其他坐标时，值均不会超过.7.已知，则（）A.1 B. C. D.2【正确答案】C【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解.【详解】由可得，故选：C8.函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标记作，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【正确答案】D【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图像，利用函数的图像的对称性求得所有交点的横坐标之和.【详解】，与函数都关于点对称，在同一个直角坐标系中分别画出它们的图像的示意图，，，所以，又，，，，又函数，与函数为连续函数，结合函数图像可知在上函数与函数有2个交点，由图像可知在上函数与函数有两个交点，所以函数与函数在上有4个交点，结合两函数关于点对称，可得在上两函数共有8个交点，则故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（）A. B.C.的极小值点为1 D.的极大值点为【正确答案】ACD【分析】根据导数的几何意义求出，结合即可求出可判断AB，通过导数求出函数的单调性，结合极值点的定义可判断CD.【详解】因为，切线斜率为，所以，由题意得，切点在切线上，故，则，联立，解得，故A正确，B错误；，当时，，在单调递减，当或时，，在单调递增，所以的极小值点为1，极大值点为，故CD均正确，故选：ACD.10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（）A. B.C.事件与事件相互独立 D.【正确答案】BCD【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得.【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，，则基本事件总数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种情况，满足事件的有，，，，，，，，，，，共种，其概率，故A错误；满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故；满足事件的有，，共个，所以，故B正确；满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故，满足事件的有，，，，，，，，，共个，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确；满足事件的有，，，，，，，共种，所以，则，故D正确.故选：BCD11.在平面直角坐标系中，已知且.若曲线：与曲线：恰好有个不同的交点，则下列说法正确的是（）A.所有可能的取值为0，1，2 B.若，则C.若，则交点横坐标之和大于 D.若，则【正确答案】BCD【分析】构造函数求导分析,结合零点存在定理讨论即可.【详解】曲线：,即,与曲线：关于对称.若,设,则单调递增,,,存在,,则时,,单调递减,则时,单调递增,且,则有且仅有2个零点,,B正确;若，设则,设,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,,,,存在,,当时,,单调递增,当时,,单调递减,当时,,单调递增,,,设,则,当时,,单调递增,当时,,单调递减,则,即,,则,则存在,使得,此时,D正确,A错误;当时,由于曲线与曲线关于对称,且有唯一解,则的解成对出现,此时,当时,的解等价于的解,且在无解设,则在单调递增,,则等价于,即,当时,有两解,设为,则,,设,,则,当时,,,单调递增,则,则单调递减,,则单调递增,,则,则,由于,在单调递减,则,则,C正确;故选:BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从正态分布，若，则______.【正确答案】0.8##【详解】由可得，因，由正态曲线对称性，得，则.13.双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______.【正确答案】【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率.【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以.由直线与的一条渐近线平行可得，所以，又由双曲线定义可得，所以，得，所以.由得，即，整理得，所以，，离心率.本题是结合圆的几何性质、双曲线定义与渐近线斜率的离心率求解问题，核心方法是通过几何关系与定义联立方程，建立关系求离心率.14.在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为______.【正确答案】【分析】设，，则，，即可表示出，，在中利用正弦定理表示出，由面积公式表示出，，将转化为关于的三角函数，即可求出的最小值.【详解】设，，则，，因为，所以，，在中，即，所以，所以，，所以，因为，所以，所以，则，所以当，即，时取得最小值.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角所对的边分别为，且．（1）证明：；（2）若的面积为，求．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式化简即可；（2）利用三角形的面积公式，结合正弦定理得到，利用和角的余弦公式和同角三角函数的平方关系求解即可.【小问1详解】根据正弦定理设，则，代入，得，即，整理得，由，得，所以；【小问2详解】由面积公式得，由正弦定理得，整理得，由，得，由（1）得，由平方关系得解得或因为，所以，所以．16.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方．【正确答案】（1）①当时，，则在上单调递增;②当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可，【小问1详解】（1）因为的定义域为，的导函数.①当时，，则在上单调递增.②当时，令，得；令，得；所以，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】（2）因为曲线经过点所以，解得．所以．因为，所以的方程为.要证除切点外，曲线在直线的下方，即证：，只需证.设，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.所以当时，，所以原命题得证.17.乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.【正确答案】（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.（II）机变量的分布列为：

数学期望【详解】试题分析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（）则，记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分”（）则，记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，由题意，，由事件的独立性和互斥性，即可得到小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率.（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件独立性和互斥性，得可得随机变量的分布列为：

利用数学期望的计算公式得到试题解析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（）则，记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分”（）则，记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，由题意，，由事件的独立性和互斥性，,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得,,,,,,可得随机变量的分布列为：

所以数学期望考点：随机变量的分布列与数学期望，互斥事件、独立事件的概率.18.已知动直线与椭圆C:交于，两个不同点，且的面积=,其中为坐标原点.（1）证明和均为定值;（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）；（2）（3）椭圆C上不存在三点，使得

【分析】（1）根据已知设出直线的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线的距离，根据三角形面积公式，即可求得和均为定值；（2）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；（3）假设存在，满足，由（1）得，，，，，，从而得到坐标，可以求出方程，从而得出结论.【小问1详解】（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以∵在椭圆上∴

①又∵，∴

②由①②得，．此时；（ⅱ）当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将其代入得故即又，∴∵点到直线的距离为∴又整理得此时综上所述结论成立．【小问2详解】（ⅰ）当直线的斜率不存在时，由（1）知，因此．（ⅱ）当直线的斜率存在时，由（1）知所以．当且仅当，即时，等号成立．综合（1）（2）得的最大值为.【小问3详解】椭圆C上不存在三点，使得

证明：假设存在，满足由（1）得，，，，，解得：，.因此从集合中选取，从集合中选取；因此只能从点集这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与矛盾.所以椭圆C上不存在三点，使得

本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．（3）考查学生观察、推理以及创造性地分析问题解决问题的能力.19.将边长为的正方形沿对角线折叠，形成四面体．（1）证明：；（2）若二面角和的平面角互补，求；（3）证明：存在四面体，使得其内部一点O到各个平面的距离均大于．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直性质证明；（2）先根据定义得到两个二面角的平面角，再运用余弦定理写出表达式，并结合两个平面角的关系列出方程求解即可；（3）将问题转化为内切球问题，然后利用等体积法写出半径表达式，通过选取合适的折叠角使得半径满足条件.【小问1详解】取中点，连接，因为，所以，同理有，且，平面，所以平面，又因为平面，所以.【小问2详解】由（1）可知且，所以即为二面角的平面角，设∠DMB=α，取中点，