上海外国语大学闵行外国语中学2025-2026学年高三下学期月考数学检测试卷（1） 附答案

/2025-2026学年上海外国语大学闵行外国语中学高三（下）月考数学试卷（1）一、填空题（本大题共有12题，满分49分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位覺直接填写结果.1.已知集合，，则__________.【正确答案】【分析】先确定集合，再解不等式得解集合，利用交集定义即可求得.【详解】依题意，.因，解得，即.所以.故2.关于的不等式的解集为____________.【正确答案】【分析】由可得:，解不等式可得其解集.【详解】由可得:，解得:，所以不等式的解集为.故答案为.3.已知实数a、b满足，则的最小值为____________．【正确答案】【分析】运用基本不等式进行求解即可.【详解】由且且a、b异号，由，所以，当且仅当时取等号，即当或时取等号，故4.从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）．【正确答案】##0.4【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可.【详解】根据题意，从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数共有，所抽到两个数的和大于6共有，，，共4种，所以所抽到的两个数的和大于6的概率为.故5.已知向量，满足，，，则_____【正确答案】【分析】利用数量积的运算法则以及可得.【详解】由题意可得，，得.故6.二项式的展开式中的系数为，则_____.【正确答案】【分析】利用二项展开式的通项公式，结合题意即可得方程，求解即可.【详解】由展开式的通项公式得：，令，则，所以，由题意得：，而，故，解得.故7.，恒成立，则______．【正确答案】【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值.【详解】，令，得，，由恒成立，可知，，，则.故8.已知数列通项公式，则数列的前9项和为______.【正确答案】【分析】由通项公式可得，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，利用分组求和求解.【详解】，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．则，．则数列的前9项和．故．9.在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________．【正确答案】【分析】将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度.【详解】由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面，如图，当时，最小，为等腰直角三角形，，其中，则，，，则，可得，则，故答案为.10.已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________．【正确答案】【分析】由二次根式的非负性求的取值范围，然后两边同时平方解不等式，讨论的不同取值得到不等式的解集，根据题意列方程，解得，即可求得结果.【详解】∵，∴或∵，∴，∵，∴，即，当时，恒成立，∴不等式的解集是不符合题意，舍去.当时，，∴不等式的解集是，即，即，则，或（舍去），则.当时，不等式的解集是，即，即，∴，即，则（舍去）或（舍去）当时，，当，，即时，不等式的解集是，不符合题意，舍去.当，，即时，∵，当且仅当，即时取等号，∴当时，，不等式的解集是或，不符合题意，舍去.综上所述，.故答案为.11.已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______.【正确答案】-3【分析】先数形结合得出到OA距离为1，再建立坐标系，利用三角形内角和关系转化为求的最大值，利用坐标转化为求函数最值问题，利用求导找出函数的单调性，结合单调性可得函数的最值，进一步得到答案.【详解】设,由的最小值为1（为实数），到OA距离为1，如图建立坐标系，，，，，，令，令，得，单调递减；单调递增；单调递减；单调递增；，，，即最大值为故思路点睛：建立坐标系，在图形中找到角度的关系，转化为求的最大值，再转化为求函数最值问题，结合导数求证函数的单调性，即可分析函数的最值.二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）12.掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求出满足两枚骰子出现的点数不一样的基本事件个数，再求出两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】掷两枚质地均匀的骰子各一次，共有个基本事件，去掉点数一样的基本事件，得到两枚骰子出现的点数不一样的基本事件还有个，其中两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件有，共6个，由古典概型可得.故选：A13.小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（）A.米 B.米 C.米 D.米【正确答案】D【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果.【详解】在中，，，米，在中，由正弦定理可得，所以，又因为，所以，解得米，在中，，米，所以米，故选：D.14.已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用三次多项式的因式分解性质说明必要性成立，从而得解.【详解】设命题为“存在实数，使得既是的零点又是驻点”(即且)，命题为“恰好有两个零点”.若成立，当时，，则，满足且，所以既是的零点又是驻点，但是只有一个零点，所以，若成立，即恰好有两个不同的实零点，则根据三次多项式的因式分解性质可得：，其中为函数的两个不同零点，此时满足且，故成立，即.所以是成立的必要不充分条件.故选：B15.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意可知：是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果.【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示：其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱；，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为；区域内的几何体是高为的直三棱柱.因为四边形和为矩形，则，可得，同理可得：，，所以，可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球，则，，区域内的几何体的体积之和；又因为，和区域内的几何体的体积之和；区域内的直三棱柱体积，所以的体积为.故选：B.关键点睛：本题考查立体几何中的体积问题，解题关键是能够根据的形状，进而由对应几何体的体积公式求得结果.三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．（1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，交于点，连接，由已知可得，然后根据线面平行的判定定理得出证明；（2）建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量的坐标，根据向量法求解即可得出答案．【小问1详解】连接，交于点，则是的中点，连接，∵分别是中点，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】因平面，底面为正方形，即两两垂直，故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，∴，易得即为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17.已知函数.（1）求函数的极值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）极大值为1，没有极小值（2）【分析】（1）求导，即可得函数的单调性，进而可求解极值，（2）就的符号分类讨论，即可求解.【小问1详解】由题意可知的定义域为R，且，令时，，则的关系为0＋0－单调递增极大值单调递减所以当时，取到极大值为1，没有极小值．【小问2详解】若，即恒成立，设，则，①当时，则恒成立，符合题意；②当时，则，可知在上单调递增，因为，所以不恒成立；当时，的关系为－0＋单调递减极小值单调递增可知的最小值为，则，因为，则，解得.综上所述，实数的取值范围是18.利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下：数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数合计每天都整理数学错题人数2010不是每天都整理数学错题人数22合计60（1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率；（2）根据小概率值独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联?（3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望.附：，其中；0.100.010.0012.7066.63510828【正确答案】（1）表格见解析，（2）数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联.（3）分布列见解析，2【分析】（1）根据题目数据完善列联表，然后利用频率估计概率即可求解；（2）利用列联表的数据求出的观测值，与临界值比较即可求解；（3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望即可.【小问1详解】完善列联表，如下：数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数合计每天都整理数学错题人数201030不是每天都整理数学错题人数82230合计283260估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为.【小问2详解】零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联，利用（1）中数据，得，根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联.【小问3详解】由题意知的所有可能值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123.19.已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点，（1）求双曲线的方程；（2）过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值；（3）若直线交于点，证明：在定直线上．【正确答案】（1）（2）24（3）证明见解析【分析】（1）利用离心率和焦点到渐近线的距离这两个条件，求出的值，从而确定双曲线方程；（2）由双曲线的对称性四边形为平行四边形，故，设出直线的方程，分别与双曲线联立，由计算四边形面积并借助函数的单调性求最小值；（3）写出直线和的方程，联立求解交点的坐标，证明其横坐标为定值.【小问1详解】因为双曲线的离心率，故，而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为，而，故，故双曲线的方程为.【小问2详解】显然直线与轴不垂直，设，由双曲线的对称性知，结合，即四边形为平行四边形，且为平行四边形的对角线中点，故，联立，故，由于均在双曲线右支，故，故，而，令，则，易知在上为减函数，则当时，，综上，四边形的面积的最小值为小问3详解】证明：左顶点，右顶点，设过的直线方程直线的方程为，直线的方程为，两式相除得，代入计算：．由（2）知，注意到，代入得：，因此，解得.故交点的横坐标恒为，即在定直线上.20.若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．（1）试问函数是否为函数的“导控函数”？（2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；（3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．【正确答案】（1）是（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可；（2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出，进而可求出，进而可得出答案；（3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可.【小问1详解】由，得，由，得，因为，所