高考数学人教a版一轮复习第十章　统计与成对数据的统计分析课时规范练49

课时规范练49

基础巩固组

1.(2022•江西重点中学协作体二模)千百年来我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速

度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气''的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上

钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”等，小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”

这一谚语，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下表格：

夜晚天气

日落云里走

下雨不下雨

出现255

不出现2545

临界值表

a().1().050.010.001

2.7063.8416.63510.828

并计算得到幺句9.05.小明对所在地区天气的下列判断正确的是()

A.夜晚下雨的概率约为:

B.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为g

C.出现“日落云里走”，夜晚一定会下雨

D.依据々=0.001的独立性检验，可认为“日落云里走是否出现”与“当晚是否下雨”有关

答案:D

解析:根据表中数据可知，夜晚下雨的概率约为P二至W3所以A错.未出现“日落云里走”，但夜

1002

晚下雨的概率约为P=-^-=工故B错句9.05>10.828=xo.ooi,对照临界值表可知，依据

a=0.001的独立性捡验，可认为“日落云里走是否出现”与“当晚是否下雨''有关，但不能认为夜晚一

定会下雨，故C错,D对.

2.(2022•山东济宁二模)为研究变量的相关关系，收集得到下面五个样本点(x,y),

V56.5788.5

y98643

若由最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为y=-1.8x+；,则据此计算残差为0的样本点是

()

A.(5,9)B.(6.5,8)C.(7,6)D.(8,4)

答案:C

解析:由题意可知笈=上竺詈!氾=7,歹=9+8+：+4+3=6,所以经验回归方程的样本中心点为（7,6）,

因此有6=-1.8x7+a=a=18.6,所以y=-L8x+18.6,在收集的5个样本点中,（7,6）一定在y=

L8.V+18.6上,故计算残差为0的样本点是（7,6）.

3.（多选）（2023•广东惠州模拟）有一散点图如图所示，在5个样本点（xj）数据中去掉力样本点

（3,10）后，下列说法错误的是（）

•0(3.10)

•小2.4)

*4(1.3)

A.残差平方和变小

B.相关系数厂变小

C.决定系数N变小

D.解释变量工与响应变量y的相关性变弱

答案:BCD

解析:从散点图可分析出,若去掉。点，则解释变量x与响应变量），的线性相关性变强，且是正相

关,所以相关系数，•变大，决定系数N变大残差平方和变小，故选BCD.

4.（2022•安徽蚌埠一模）文旅部门统计了某景点在2022年3月至7月的旅游收入），（单位:万元），得

到以下数据：

月份X34567

旅游收入），（单位:万元）1012111220

⑴根据表中所给数据，用相关系数，•加以判断，是否可用一元线性回归模型拟合），与X的关系?若

可以,求出），关于x之间的经验回归方程;若不可以,请说明理由.

（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表,请填写下面的2x2

列联表，依据a=0.（）（）l的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”.

性别喜欢不喜欢合计

男100

女60

合计110

X(xi-xXyry),_AAA

参考公式:相关系数r=0=，参考数据:a5=3.162.经验回归方程:y="+Q.其中b=

n_9n

I(Xi-x)2£(yi-y)2

=1i=l

n__n

X(Xf-xXyi-y)l^iyi-nxyA

An(ad-bc)2

izl______________—0______________n—yi—KY一、

'_、2--2'a-y(a+b)(c+d)(a+c)(b+d；'

,Z(Xi-xyLxf2-nx

临界值表:

a0.()i().0050.001

6.6357.87910.828

解:⑴由已知得了=5歹=13,自(汨-1)2=10,£°卜刃2=64,£(Xi-x)(>vy)=20,r=7^===-^==

i=li=li=lV10X642V10

--0.791,

4

因为|r|-0.791接近于1,说明y与x的线性相关关系很强，可用一元线性回归模型拟合y与x的关

系，

八20A4八

».b=—=2,a=y—bx=13-10=3,

则），关于x的经验回归方程为y=2x+3.

（2）2x2列联表如下所示:

性别喜欢不喜欢合计

男7030100

女4060100

合计11090200

零假设为:游客是否喜欢该景点与性别无关联，根据列联表中数

据，/二2曹:鼠；黑：：118.182>10.828=小001,依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断Ho

不成立，即游客是否喜欢该景点与性别有关联.

综合提升组

5.（2023•江苏盐城高三检测）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的

"十四五'’规划.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金现该企

'也为了了解年研发资金投入额M单位:亿元）对年盈利额M单位:亿元）的影响，研究了“十二五”和

"十三五'’规划发展期间最近10年年研发资金投入额占和年盈利额y的数据.通过对比分析，建立

了两个函数模型:①产〃+段2，②产e““,其中a/,〃均为常数,e为自然对数的底数.令Wi=xf,Vi=ln

M（i=l,2,…,10）,经计算得如下数据:

1010

22

XyZ(Xi-X)Z(yi-y)uV

i=li=l

262156526805.36

10101010

I(〃何2Z(Vi-v)2ZUi-X)(Vi-V)

Z(UrU)(yry)

1=1i=li=li=l

112501302.612

请从相关系数的角度分析,模型拟合程度更好是（填函数模型序号①或②）;利用模型

拟合程度更好的模型以及表中数据，建立y关于x的经验回归方程为（系数精确

到0.01）.

AA

(xi-x)(yi-y>AAZg-MXy「歹)A

附:相关系数，=「』=,经验回归方程y=Q+bx中山=0H-------------,a=y-bx.

22(Xix)2

I(xi-x)1(yi-y)/=i'

i=ii=i

答案:②y=w%

10

SfUi-uKyj-y)_

，

解析:设u与y的相关系数为小丁与I的相关系数为©由题意/I110,107-

Z(%-u)Z(yt-yr

i=li=l

10

12L(Xi-xXvt-v)

考入0.87,所〒0=-F===*Q92,则出|<问,因此从相关系数的角度分析，模型

15IioioV65x2.613

E(X闰2E(V(-V)2

i=li=l

产y的拟合程度更好.

10

AS(Xi-X)(Vi-V)A

先建立1，关于元的经脸回归方程，由尸资”，得In产什及即v=r+Zv,A=---------------=--0.18,t=

E(xt-x)265

i=i

v-夜=5.36-%<26=0.56,所以U关于工的经验回归方程为u=0.181+0.56,所以Iny=0.18/0.56,则

y=e"$6.

6.(2023•山东淄博模拟)小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受人们喜爱淇幼苗从观察之日起，第

x天的高度为)，cm,测得数据如下：

/p>

y(单位:cm)0479111213

成对数据的散点图如图所示:

为近似描述y与X的关系，除了一次函数模型y=b"〃外，还有和y=bf+〃两个函数模型

可选.

⑴从三个函数模型中选出“最好”的曲线拟合y与工的关系，并求出其经验回归方程(匕保留到小数

点后1位)；

(2)判断说法“高度从1()0()cm长到1001cm所需时间超过一年”是否成立,并给出理由.

n__n

AA

S(xt-x^yi^y)Sxtyi-nxyA

参考公式山=%———=力----r,a=y-bx.

I(Xi-x)2Lxf-nx

1=11=1

_777

参考数据(其中«i=^Vi=xf)：x=20,iz=4,v=668,y=8,£x?=4676,g诏=140,gv?=7907

i=li=li=l

777

396,Z%iy=l567,ZMy=283,£Viji=56575.

i=ii=ii=i

解:⑴由散点图可知，这些数据形成的曲线的形状与函数产五的图象很相似，因此可以用类似的

表达式尸〃爪+。来描述y与x的关系,即三个函数中y=h>/x+a的图象是拟合y与x的关系“最

好”的曲线.

7

AAA77AzUiy<-7uy

令贝Uy=b〃+a,根据已知数据，得五=4,歹=8,£如凹=283,£〃”140,所以b=弓------=

i=li=lXuf-7u

1=1

2：：二？4：8=誓2.1,乂经验回归直线y=6〃+a经过点(4,8),所以Q=8-2.1x4=-0.4,所以y关于〃的

140-7X1628

经验回归方程为y=2.1〃-0.4，即y与X的经验回归方程为y=2.1y/x-0.4.

(2)说法“高度从I000cm长到1。01cm所需时间超过一年”成立.

设其幼苗从观察之日起，第m天的高度为1000cm,有1000=2.1标-0.4,解得心226939,第〃天

的高度为1001cm,有1001=2.1后-0.4,解得*227393/加=227393-226939=454天，所以说法

“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”成立.

创新应用组

7.为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一

项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关“做了