基于线性规划单纯形法的最佳配食问题

基于线性规划单纯形法的最佳配食问题摘要正常人一天在进食时，为了兼顾各营养的摄入，往往需要消耗大量食物。如何在满足身体摄入营养的同时，最低成本地支出，这个现实问题可以按线性规划的求解方法找出最优决策方案。本文搜集的价格数据来自农产品价格数据中心。随着科技的发展，相关研究人员发现蔬菜与肉类中存在更多成分各异的营养物质，但由于种类过多，本文只考虑对人体不可或缺的营养物质，一些微量营养素暂时忽略不计。本文将运筹学理论和实际饮食问题相结合进行研究分析，并基于线性规划单纯形法，把配食问题构建成标准化数学模型，通过Matlab编制需要程序，让计算机实现复杂的计算以及数据处理。在饮食方案存在多个可行解的情况下寻找最优解，使饮食成本达到最低。线性规划单纯形法，通过迭代来解线性规划问题，在可行域边界上寻找最优解或变换基本可行解而求出。本文首先将根据实际问题建立数学模型，再针对已有的营养学知识构造约束条件，编写程序，再按照程序要求输入对应数据，找到最低成本配食方案最优解。在解决食物营养分配问题过程中，涉及数学、运筹学、营养学和计算机科学等学科技术，发挥了各学科优势，做到将理论知识运用于实际问题研究。如今，线性规划法在不同领域研究中都起到不容小觑的作用，解决了运输、配矿、采掘计划以及资源分配等诸多问题。线性规划还有很多的应用空间。关键字：线性规划；单纯形法；运筹学；最优解；饮食分配

AbstractInordertotakeintosufficientnutritiontofilltheneedofbody,anormalpersonneedstoconsumealotoffood.Whatcanwedotomeetthebody’sintakeofnutrientsandtrytospendatthelowestcostinthemeantime?Thisrealisticproblemcanbesolvedbyalinearprogrammingmethodtofindtheoptimaldecisionplan.ThepricedatacollectedinthisarticlecomesfromtheAgriculturalProductDataCenter.Withthedevelopmentofscienceandtechnology,relatedresearchershavefoundthattherearequitealotofnutrientswithdifferentcomponentsinvegetablesandmeat.However,duetotheconsiderabletypes,thisarticleonlyconsidersthenutrientswhichareindispensabletohumanbody,andsomemicronutrientsareignoredfornow.Inthisarticle,Icombineoperationsresearchtheorywithactualdietproblemsforresearchandanalysis.Basedonthelinearprogrammingsimplexmethod,thefooddistributionproblemisbuiltintoastandardizedmathematicalmodel.TherequiredprogramsarecompiledbyMatlabtoallowcomputerstoperformcomplexcalculationsanddataprocessing.Findouttheoptimalsolutiontominimizethedietcostwhentherearemultiplefeasiblesolutionsinthedietplan.Thelinearprogrammingsimplexmethodsolvesthelinearprogrammingproblemthroughiteration,andfindstheoptimalsolutionortransformsthebasicfeasiblesolutionontheboundaryofthefeasibleregion.First,Iestablishedamathematicalmodelbasedonactualproblems,thenconstructedconstraintsbasedonexistingnutritionalknowledge,wroteaprogram,andthenenteredcorrespondingdataaccordingtotheprogramrequirementstofindtheoptimalsolutionforthelowestcostfooddistributionplan.Intheprocessofsolvingthisproblem,itinvolvesdisciplinessuchasmathematics,operationsresearch,nutrition,andcomputerscience.Itexertstheadvantagesofvariousdisciplinestoapplytheoreticalknowledgetothestudyofpracticalproblems.Nowadays,linearprogrammingmethodplaysanimportantroleinresearchindifferentfields,anditcansolvetransportation,mining,miningplanningandplanningofresourcesutilization,andmanyotherproblems.Itstillhasabroadapplicationspace.Keywords:linearprogramming;simplexmethod;operationsresearch;optimalsolution;nutrition目录摘要IAbstract=2\*ROMANII第1章绪论11.1课题背景及研究意义11.2关于线性规划11.2.1线性规划的提出与发展11.2.2线性规划在中国21.2.3线性规划的性质21.2.4日常饮食搭配问题21.3主要内容与研究方法2第2章线性规划单纯形法数学模型32.1线性规划数学模型的标准形式32.2线性规划数学模型标准形式的矩阵表示42.3线性规划的通用解法——单纯形法52.3.1单纯形法的基本思路52.3.2非唯一最优解的情况52.3.3判断是否为最优62.3.4选择新的基变量和被替换的基变量62.3.5终止条件62.4本章小结6第3章模型建立73.1成年人每日必需营养73.2各类食物营养成分表73.3基本食物费用模型83.4本章小结10第4章单纯形法求最优解104.1模型假设104.2约束方程组系数矩阵114.3目标函数的系数124.4计算及结果分析124.5本章小结13结论13参考文献14附录1：程序源代码15附录2：各类食物营养成分表16附录3：程序运行输出的结果18绪论课题背景及研究意义为了保持健康，成年人每日需摄入一定量的营养物质以维持人体正常生命活动。市场上不同食品提供的营养成分与含量各异，且所购买的食品价格也高低不等。营养价值高的食物往往相应价格高昂，但仍存在着价格称心如意的替代品。随着经济全球化的到来，可供我们挑选的商品相较于过去更多种多样，与此同时物价也时刻变动着，如何在购买食品时更理智有限地支出，是一种生活的智慧。在满足摄入营养量的条件下，配食方案存在多个可行解，限定支出金额，通过线性规划可求得最优解，即求得成本最低。研究此课题的目的是为了得出一项既满足人体营养需求又经济实惠的配食方案。线性规划主要研究在一些约束条件（用线性等式或不等式表示）下，使某一线性目标函数取得极值的问题。其为定量分析管理调配活动的重要方法之一，线性规划问题中包含决策变量、目标函数、约束条件三个重要因素。关于线性规划线性规划的提出与发展法国数学家Fourier（在1823年）和lavalleepoussinde（在1911年）都曾提出过线性规划的初步思想，但他们的工作并未引起重视，很快就被人们遗忘。[1][1]马国瑜.线性规划的发展历史[J].北京化工学院学报.1985(04):24-30.1939年，苏联学者Kantorovich发表了其重要著作“生产组织与计划中的数学方法”，提出了线性规划问题。[1]1947年，美国数学家G.B.Dantzig于军事行动计划有关实践中提出线性规划这一概念。[2][2]G.B.Dantzig,章祥荪,杜链.回顾线性规划的起源[J].运筹学杂志.1984(01):71-78.1951年，英国经济学家库普曼斯将线性规划运用至经济领域，而后与康托罗维奇一同获得了1975年的诺贝尔经济学奖。[2]1952年，美国数学家Dantzig和Orden提出对偶线性规划问题理论。[3][3]敖特根.单纯形法的产生与发展探析[J].西北大学学报(自然科学版).2012(05):22-62.1954年，加斯和萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题。[4][4]韩大卫.管理运筹学:模型与方法[M].北京:清华大学出版社,2009.33-39.1956年，塔克提出互补松弛定理。[4]1960年，丹齐克和沃尔夫提出分解算法等。[4]1979年，苏联数学家L.G.Khachian提出椭球算法以解决线性规划问题，并证明其为多项式时间算法。[4]对线性规划的研究也直接或间接推动了其他数学规划问题如整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。[4]随着数字电子计算机的飞速发展，不断涌现许多线性规划软件，如MPSX、OPHEIE、UMPIRE，以协助我们解决有数千个变量的线性规划问题。[5][5]赵娜.单纯形法解线性规划问题的算法探究[J].吉林广播电视大学学报,2011(3):112-115.线性规划在中国在1958-1959年间，北京和山东有许多数学工作者，结合实际运用线性规划，在生产运输、生产计划等方面，取得了一些成果，并且创造了简单可行的方法。之后由于种种原因，这方面的工作，停滞了很长时间。目前，随着经济建设的开展以及电子计算机的广泛应用，我国和国外的交流日益频繁，线性规划在国民经济中起到越发重要的作用。例如全国铁路调运方案就是每天由线性规划完成的。此外还应用在能源、水资源、企业调整、石油、农业、运输、矿业、人才规划及地区开发方面。[[6]母传伟.基于线性规划单纯形法优化矿山岩石运输调配[D].燕山:燕山大学,2016.线性规划的性质定理1线性规划问题的可行解X是基可行解的充要条件是X的非零分量对应的系数矩阵A的列向量线性无关。[7]定理2若一个线性规划问题有可行解，则它必有基本可行解。[7]定理3若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点达到最优。[[7]曾国斌.线性规划问题的单纯形算法研究[J].数学学习与研究,2013(21):87-89.日常饮食搭配问题在日常生活中，吃穿住行成为我们不可回避的话题。为了维持机体正常的生理功能和基础代写，我们每日需摄取一定量的营养，其主要分为六大类：糖类、蛋白质、维生素、无机盐和油脂及水。根据世界卫生组织出版的《热量和蛋白质摄取量》一书，一个健康的成年女性每天需要摄取1800~1900卡路里的热量，男性则需要1980~2340卡路里的热量。中国营养学会于2000年提出中国居民膳食能量参考摄入量指出，成年男性轻、中体力劳动者每日需要能量为2400~2700kcal；女性轻、中体力劳动者每日需要能量为2100~2300kcal。婴儿、儿童和青少年、孕妇和乳母、老年人各自的生理特点不同，能量需要也不尽相同。[8]姚滢秋.中国营养学会发布《中国居民膳食营养素参考摄入量》[8]姚滢秋.中国营养学会发布《中国居民膳食营养素参考摄入量》2013年修订版[J].营养学报,2014(04):313-317.主要内容与研究方法本课题主要研究内容是在市场上最常见的食品中找出满足营养需求的最低成本饮食搭配方案。根据所要解决的调配问题，需要完成以下研究内容：=1\*GB2⑴调查市面上常见的食品，根据其营养成分列出营养成分表；=2\*GB2⑵将不同类型的食品分类后按价格列出价格表；=3\*GB2⑶针对每类食品提供的营养物质含量及价格，建立线性规划模型；=4\*GB2⑷针对实际要求确定约束条件；=5\*GB2⑸数据整理完毕后用Matlab来实现，得出方案。本文将运用数学、运筹学及计算机科学等多学科技术进行饮食方案设计，充分利用并发挥计算机运算优势，找出最低成本的配食方案。主要研究方法有：=1\*GB2⑴列出所涉及到的变量，根据研究问题建立数学模型，单目标线性规划法设定目标函数及约束条件；=2\*GB2⑵编写计算机运算程序，求出方程最优解；=3\*GB2⑶验证此方案的可行性。原始数据资料来自中国营养学会官网及农产品价格数据中心/baojia/。线性规划单纯形法数学模型线性规划数学模型的标准形式线性规划研究主要内容是在一定约束条件下，如何合理安排人力、物力等各项资源，以获得最佳的经济效果。从数学层面而言即为求线性规划目标函数在特定线性约束条件下最大或最小值的极值问题。按现实问题，建立的线性规划数学模型有求最大值Max和最小值Min的形式；约束条件有“≥”、“≤”、“=”型；变量可以为非负要求，也可以无非负要求。[9[9]薛静芳.线性规划的单纯形算法研究及应用[D].大连:大连海事大学,2013.目标函数：MinZ=(2-1)约束条件1：j=1(2-2)约束条件2：i=1(2-3)非负条件：X(2-4)线性规划数学模型的标准形式有三个特点：(1)目标函数求Min；(2)所有约束条件均为等式，且等式右端的常数项均为非负值；(3)全部变量均要满足非负条件。求解线性规划问题要把需要求解的数学模型转化为标准形式。线性规划数学模型标准形式的矩阵表示线性规划数学模型的标准形式可以表示为如下的矩阵形式：MinZ=CX(2-5)s.t.AX=b(2-6)X (2-7)式中，A为约束条件中由变量系数组成的m×n阶矩阵，称为“系数矩阵”，即：A=(2-8)X为非负约束变量（包括原有变量和松弛变量）组成的n×1矩阵或n维列向量，即：X=(2-9)b为由约束条件各等式右端非负常数项组成m×1阶矩阵或m维列向量，即：b=(2-10)C由目标函数中各变量系数组成1×n阶矩阵或n维行向量，即：C=(2-11)0为由n个零组成的n×1阶矩阵或n维行向量，即：0=(2-12)线性规划的通用解法—单纯形法单纯形法的基本思路单纯形法是一种迭代算法，最早在1947年由美国数学家G.B.Dantzig提出，成为线性规划问题基本的求解方法，其为线性规划的发展奠定了基础。单纯形法算法的基本思路为先寻找一个初始基本可行解，然后在可行域中以此解所对应的顶点为起点，根据最优判别准则判断此基本可行解是否为最优解，若不是，则沿着可行域的某个可行下降边方向转换至一个相邻的“更好”极点，即得到一个新的基可行解，使目标函数数值不再增加。如此反复行进迭代，直至得出原问题的最优解或判断原问题无界或确定原问题不可行。[10][10]胡亦工,蓝伯雄.基于线性规划核心矩阵的单纯形算法[J].运筹学学报,1999(01)83-94.单纯形法存在两种求解形式——代数形式与表格形式。表格形式，也叫单纯形表，是通常采用的形式，其把标准化后的线性规划数学模型列为表格形式。若标准化后的目标函数方程等式右端仍含有常数项，从计算开始就令所含常数项参与矩阵变换。采用的单纯形表就是一个m+1n+1阶的矩阵。先把要求解的问题转化为数学模型，进一步标准化此数学模型，再据此构造初设单纯形表。然后根据该初始单纯形表系数是否为一个包含m阶单位子矩阵，将单纯形法分为一阶段单纯形法和二阶段单纯形法。[11]毛保华.线性规划的若干算法研究[D].杭州:杭州电子科技大学,2010.在标准形中，一般是m个约束条件（不包括非负约束），n个决策变量，且（n>m）。首先选取x(2-13)若能让非基变量等于0，则可求得基变量的值：x(2-14)如果为可行解，Ci大于0非唯一最优解的情况在少数情况下，一个线性规划问题不仅有最优解，而且最优解不唯一。当这类问题出现时，应先判定最优解是否唯一，确定非唯一最优解后再求其全部最优解。判断是否为最优目标函数z也能够用非基变量来表示：z=(2-15)当其取得最优解时，所有的σj应小于等于0。当存在j，σj>0时，当前的目标函数值为z0，则当中所有非基变量值均取为0。因为xj'=0[12]钱颂迪.运筹学[M].北京:清华大学出版社,2005.111-119.选择新的基变量和被替换的基变量假若有多个σj>0，则选择其中最大的σ如果选择非基变量xs'来作为下一次变换的基变量，则被替换基变量xj'会在下一轮中等于0作为非基变量。选择x终止条件若出现用非基变量线性组合表示的目标函数中所有系数均不再大于0的情况时，已表明目标函数达到最优。若存在一个非基变量的系数为0，其他都小于0，则表示目标函数存在无穷多个最优解。这是因为，目标函数的梯度与某一边界正交，在此边界上，目标函数的取值相等，均为最优。运用单纯形法以求解，输入的单纯形法松弛形式是一个大的矩阵，第一行是目标函数的系数，最后一个数字是轴值下的z值。[12]本章小结采用线性规划法求解配食问题时，应首先把需要求解的问题之数学模型转化为单纯形法的标准形式，然后再转化成矩阵形式，鉴别和寻求基本可行解是单纯形法的核心。若通过鉴别求得的基本可行解为非最优解，则需要进一步寻求新的基本可行解，使目标函数值减小，再通过矩阵旋转变换，使系数矩阵中保留一个m阶单位子矩阵I0，再令新的单纯形表中I0为基，可得一新的基本可行解。判断其是否是唯一最优解后再求全部最优解。若已经得出一个不满足最优性鉴别标准的基本可行解，但又不能再得出一个使目标函数值下降的新基本可行解，则可判定此问题有可行解而无最优解。总结出单纯形法求解步骤：=1\*GB2⑴确定初始基本可行解；=2\*GB2⑵检验最优解；=3\*GB2⑶基变换；=4\*GB2⑷迭代。模型建立成年人每日必需营养查阅“成年人每日所必需营养”可知：正常人每日水的摄入量为2500毫升。糖摄入量是每千克体重4-6克，蛋白质是每千克体重1-1.2克，脂肪每日50克（13为动物油，23为植物油），维生素是70-75毫克，钙是0.8-1.5克，铁是12-15毫克，钠是10克以下，钾是20克以下，钠：钾=1:2。[13]成年人每日所必需的营养,/s/blog_6f5605820100olpr.html,[13]成年人每日所必需的营养,/s/blog_6f5605820100olpr.html,2020.2.22各类食物营养成分表根据《中国居民膳食指南》，我们将食物分成五大类：第一类为谷类及薯类，谷类包括但不限于米、面及杂粮，薯类包含土豆、甘薯、木薯等，主要提供碳水化合物、蛋白质和B族维生素；第二类是动物性食品，包括但不限于肉、禽、鱼、奶、蛋，主要提供蛋白质、脂肪、矿物质、维生素A、B族维生素及维生素D；第三类是豆类和坚果，包含大豆、其他干豆类及花生、核桃、杏仁等坚果类，主要提供蛋白质、脂肪、膳食纤维、B族维生素和维生素E；第四类是蔬菜、水果和菌藻类，是矿物质、膳食纤维、维生素C、胡萝卜素、维生素K及益于人体健康的植物化学物质主要提供者；第五类是纯能量食物，包含动植物油、淀粉、食用糖和酒类，主要提供能量。动植物油还能提供维生素E和必需的脂肪酸。[14][14]中国居民膳食指南,/view/5e2e6f6ea66e58fafab069dc5022aaea988f4116.html,2020.2.22合理饮食的最低成本显然应由符合纳入考虑条件的食物的营养价值以及成本决定的。首先列出一个潜在的商品清单，列表越宽泛，则“适当”的饮食成本就越低。食物价格为一年来的平均价格，最低成本饮食在原则上会受到季节性价格模式的影响，这样季节性食物的作用很小，效果甚微。为了找出最低成本饮食，应先排除所有营养价值低于同类商品的食物。有些商品在重要营养成分上不如另一种商品，而在其他方面也只是略胜一筹。考虑以上后进行初步筛选，列出以下33类食物构成根据“各类食物营养成分含量表”[15]各类食物营养成分表,[15]各类食物营养成分表,/view/5d1418f4294ac850ad02de80d4d8d15abf230079.html,2020.2.22附录1：程序源代码A=input('A=');b=input('b=');c=input('c=');formatrat%可以让结果用分数输出[m,n]=size(A);E=1:m;E=E';F=n-m+1:n;F=F';D=[E,F];X=zeros(1,n);if(n<m)fprintf('不符合要求需引入松弛变量')flag=0;elseflag=1;B=A(:,n-m+1:n);cB=c(n-m+1:n);whileflagw=cB/B;panbieshu=w*A-c[z,k]=max(panbieshu);fprintf('b''./(B\\A(:,%d))为',k);b'./(B\A(:,k))if(z<0.000000001)flag=0;fprintf('已找到最优解！\n');xB=(B\b')';f=cB*xB';fori=1:nmark=0;forj=1:mif(D(j,2)==i)mark=1;X(i)=xB(D(j,1));endendifmark==0X(i)=0;endendfprintf('基向量为：');Xfprintf('目标函数值为：');felseif(B\A(:,k)<=0)flag=0;fprintf('\n此问题不存在最优解！\n');elseb1=B\b';temp=inf;fori=1:mif((A(i,k)>0)&&(b1(i)/(A(i,k)+eps))<temp)temp=b1(i)/A(i,k);r=i;endendfprintf('x(%d)进基，x(%d)退基\n',k,D(r,2));B(:,r)=A(:,k);cB(r)=c(k);D(r,2)=k;endendendend附录2：各类食物营养成分表附录3：程序运行输出的结果>>danchunxingA=[0.0990.0230.0190.0220.3630.2210.1150.0470.0140.020.0130.020.0220.0240.0060.0090.0230.0080.0050.0150.0090.0040.1670.2330.1480.2010.1790.0090.01200.0090.0310.078;0.0180.0020.0070.0010.1840.0080.020.013000.0030.0020.0030.0050.0030.0030000000.2880.0120.1160.040.04300.006000.0350.012;0.740.290.160.170.0250.590.070.030.030.040.040.020.020.040.020.070.030.020.060.050.030.020.01100.0050.0300.050.20.150.120.060.77;0.000380.000180.000110.000190.003670.000490.000680.00240.000330.00140.000620.00070.00160.000560.000080.000320.000220.000250.000110.000280.000180.000190.000110.000110.000550.000110.000360.000070.00010.000110.000260.00120.00008;0.0000420.0000040.0000090.0000060.000110.0000320.0000180.0000140.0000040.0000340.0000070.0000250.0000850.0000130.0000040.0000180.0000040.0000040.0000010.0000080.0000060.0000030.000020.0000150.0000270.00030.0000070.0000050.0000080.0000030.0000020.0000010;0.00000520.0003160.00018130.00004090.000010.0000070.0000400.00020.00060.00040.00030.000060.00020.00010.000080.000030.00020.000040.000080.00080.000200.0000010.0000050.00020.0000020.0010.00006070.00005020.00030110.000010.000002];b=[0.050.050.20.00080.0000120.00007];c=[6434461.542224535324243370301015206464163];panbieshu=1至4列-2041/70651/1112-1297/486-3681/4335至8列-3619/39-16466/169-4683/100-3921/2969至12列-4916/817-1300/93-1109/979-4948/28513至16列-4891/107-6433/565-613/110-4072/46717至20列-2681/211-3702/635-1047/707-6290/57121至24列143/1939-1154/4374225/119-9187/6425至28列-4583/325-26163/116-10587/131029至32列0*0*33列*b'./(B\A(:,23))为ans=255/62293-620/366979/5262-3/1612071/6090005/202354x(23)进基，x(31)退基panbieshu=1至4列-3475/1482061/1762-3299/1481-4548/6715至8列-11372/147-8320/101-861/22-1753/5819至12列-1091/276-6659/12413961/2850-3515/29413至16列-7036/227-2129/270-3104/595-2338/38117至20列-1303/127-4625/1057-1461/1487-3899/45321至24列464/545-1306/749*-6319/4925至28列-12382/629-14963/79-5760/77*29至32列**574/695*33列*b'./(B\A(:,11))为ans=2207/16703220/5053-534/2819-43/381910/424261-35/51946x(11)进基，x(30)退基panbieshu=1至4列-1967/59781/499-1145/327-3772/4455至8列-2644/21-3802/35-9488/175-6217/6769至12列-2777/487-1978/163*-1483/8313至16列-12605/264-1735/146-2021/335-4583/49917至20列-3119/232-1920/349-122/121-2855/25621至24列601/3090-1693/769*-10103/6325至28列-1261/38-31973/121-6754/71*29至32列0362/2751430/1159*33列0b'./(B\A(:,2))为ans=352/2765506/5749-743/1057-131/60051/1805411/31741x(2)进基，x(28)退基panbieshu=1至4列-1237/560-3587/1334-1756/2615至8列-16361/222-5031/62-6177/160-4343/18219至12列-3085/668-1267/191*-8749/71013至16列-2692/95-8500/1031-15097/2745-2948/50317至20列-1941/190-3097/613-901/814-683/7921至24列-3067/1357-1307/531*-116323/90725至28列-3205/169-46337/257-6034/81-2921/73329至32列0-239/2136-517/1516*33列*b'./(B\A(:,2))为ans=1/20-471497578156694-242725562426296448166198248663105-693410372729-1586600960595已找到最优解！基向量为：X=1至4列0-103/102005至8列00009至12列00511/629013至16列000017至20列000021至24列00205/1978025至28列000029至32列1587/158800341/119833列381/1211目标函数值为：f=7211/503总结出建模所需33类食物的营养成分表：表3-1每100克食物中各营养成分的含量(kg)食物蛋白质脂肪碳水化合物钙铁维生素面粉0.0990.0180.740.000380.000040.000005甘薯0.0230.0020.290.000180.0000040.0003土豆0.020.010.160.000110.0000090.0002芋头0.0220.0010.170.000190.0000060.00004黄豆0.3630.1840.0250.003670.00010.00001绿豆0.220.010.590.000490.000030.000007豆芽0.120.020.070.000680.000020.00004豆腐0.050.010.030.00240.000010白菜0.0100.030.000330.0000040.0002油麦菜0.0200.040.00140.000030.0006卷心菜0.0130.0030.040.000620.0000070.0004菠菜0.020.0020.020.00070.000030.0003芹菜0.0220.0030.020.00160.000090.00006韭菜0.020.010.040.000560.000010.0002番茄0.0060.0030.020.000080.0000040.0001胡萝卜0.0090.0030.070.000320.000020.00008茄子0.0200.030.000220.0000040.00003黄瓜0.0100.020.000250.0000040.0002南瓜0.0100.060.000110.0000010.00004丝瓜0.0200.050.000280.0000080.00008苦瓜0.0100.030.000180.0000060.0008冬瓜0.00400.020.000190.0000030.0002猪肉0.1670.2880.0110.000110.000020鸡肉0.2330.01200.000110.000020.000001鸡蛋10.000550.000030.000005基本食物费用模型（1）建立目标函数目标函数为每日食品总支出最少：minZ=A其中，Z表示每人每日的饮食开支总额。Ai表示第i种食品的市场单价，Xi表示第约束条件：每人每日需摄入的营养应达到标准。即每日各类食品之消耗量Xi乘以各类食品每公斤某种营养元素含量相累加，累加的总和应大于或等于这类营养的每日需求量。每天的热量、钙、铁等营养素摄入量应达到一定的标准。用公式表示为：i=1nCijXi≥Bj（注：C（2）变量X的含义表3-2变量X的含义变量XXXXXXXXXXX实际含义面粉甘薯土豆芋头黄豆绿豆豆芽豆腐白菜油麦菜卷心菜变量XXXXXXXXXXX实际含义菠菜芹菜韭菜番茄胡萝卜茄子黄瓜南瓜丝瓜苦瓜冬瓜变量XXXXXXXXXXX实际含义猪肉鸡肉鸡蛋猪肝草鱼辣椒香蕉苹果橘子牛奶大米（3）变量Ai表3-3变量Ai食品X面粉X甘薯X土豆X芋头X黄豆X绿豆X豆芽X豆腐X白菜X油麦菜X卷心菜单价（元/kg）6434461.54222食品X菠菜X芹菜X韭菜X番茄X胡萝卜X茄子X黄瓜X南瓜X丝瓜X苦瓜X冬瓜单价（元/kg）45353242433食品X猪肉X鸡肉X鸡蛋X猪肝X草鱼X辣椒X香蕉X苹果X橘子X牛奶X大米单价（元/kg）70301015206464163本章小结考虑到有些食物蕴含的营养成分较丰富，本文主要计算其中对人体不可或缺的六类营养物质，一些微量营养素暂时不纳入计算范围。根据以上的方案，找出最优解。在求解过程中，建立模型，给定约束条件，编制对应的表，将实际问题转化为线性规划单纯形法的标准形式，运用Matlab，辅助求出约束方程最优解，即最低成本的配食方案。单纯形法求最优解模型假设（1）假设“农产品价格数据中心”所提供的价格接近市场的提供价格；（2）假设“各类食物营养成分表”中列出的营养含量相当食物整体的营养含量；（3）假设模型选取的“成