二次根式及化简-初中-数学-教学设计

第二章第七节第一课时二次根式及化简刘智瑛西安铁一中滨河学校一.素养目标1.了解二次根式概念、积的算术平方根、商的算术平方根．2．能将一般的二次根式化为最简二次根式.3．通过利用二次根式的性质进行计算，理解最简二次根式的含义．在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识.教学重点、难点：重点：会利用积的算术平方根和商的算术平方根化简二次根式． 难点：利用二次根式的性质化简二次根式．二、教学过程（一）知识回顾1.如果x2＝a，那么x叫做a的____________；2．一个正数a有____________个平方根，其中正数a的正的平方根，叫做a的____________，如：9的平方根是____________，算术平方根是____________；3．(eq\r(a))2＝____________(a≥0).（二）新课引入从算术平方根的概念出发，以学生熟悉的代数式引发思考，分别从运算角度和代数式角度认识二次根式，提出新知。教师总结二次根式的概念：一般地，形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．强调条件：a≥0，eq\r(a)≥0，也就是说二次根式具有双重非负性．（三）合作探究1.二次根式有些什么性质呢？(1)计算下列各式，你能得到什么猜想？eq\r(4×9)＝6，eq\r(4)×eq\r(9)＝6；eq\r(\f(4,9))＝eq\f(2,3)，eq\f(\r(4),\r(9))＝eq\f(2,3)；eq\r(\f(25,49))＝eq\f(5,7)，eq\f(\r(25),\r(49))＝eq\f(5,7)．(2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流：eq\r(6×7)与eq\r(6)×eq\r(7)，eq\r(\f(6,7))与eq\f(\r(6),\r(7)).问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？归纳：eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)，eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)．即：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根．教师应强调：(1)公式中字母a≥0，b≥0(或b＞0)这一条件是公式的一部分，不应忽略．如eq\r(\f(－6,－7))≠eq\f(\r(－6),\r(－7))，eq\r(（－6）×（－7）)≠eq\r(－6)×eq\r(－7)；(2)eq\r(a·b·c…n)＝eq\r(a)·eq\r(b)·eq\r(c)…eq\r(n)，也就是说乘法法则可以推广；(3)eq\r(2\f(1,4))≠eq\r(2)×eq\r(\f(1,4))，也就是说遇见带分数，必须先化成假分数，即eq\r(2\f(1,4))＝eq\r(\f(9,4))＝eq\f(3,2).2．最简二次根式化简下列各式：(1)eq\r(16×25)；(2)eq\r(49×2)；(3)eq\r(\f(3,4)).解：(1)eq\r(16×25)＝eq\r(16)×eq\r(25)＝4×5＝20.(2)eq\r(49×2)＝eq\r(49)×eq\r(2)＝7×eq\r(2)＝7eq\r(2).(3)eq\r(\f(3,4))＝eq\f(\r(3),\r(4))＝eq\f(\r(3),2).观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？归纳：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.教师应总结最简二次根式的三种形式。（四）例题讲解例1(教材第42页例1)化简：(1)eq\r(81×64)；(2)eq\r(25×6)；(3)eq\r(\f(5,9)).解：(1)eq\r(81×64)＝eq\r(81)×eq\r(64)＝9×8＝72.(2)eq\r(25×6)＝eq\r(25)×eq\r(6)＝5eq\r(6).(3)eq\r(\f(5,9))＝eq\f(\r(5),\r(9))＝eq\f(\r(5),3).例2(教材第42页例2)化简：(1)eq\r(50)；(2)eq\r(\f(2,7))；(3)eq\f(1,\r(3)).解：(1)eq\r(50)＝eq\r(25×2)＝eq\r(25)×eq\r(2)＝5eq\r(2).(2)eq\r(\f(2,7))＝eq\f(\r(2),\r(7))＝eq\f(\r(2)×\r(7),\r(7)×\r(7))＝eq\f(\r(14),7).(3)eq\f(1,\r(3))＝eq\f(1×\r(3),\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(3),3).【变式训练】一个直角三角形的斜边长为8cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边长．解：由勾股定理，得eq\r(82－62)＝eq\r(64－36)＝eq\r(28)＝2eq\r(7)(cm)．所以另一条直角边长为2eq\r(7)cm.设计目标：灵活应用二次根式的性质进行化简，并把结果化成最简二次根式，并加深理解。教师应给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.（五）课堂检测1.下列二次根式中的最简二次根式是(A)A.eq\r(30)B.eq\r(12)C.eq\r(8)D.eq\r(\f(1,2))2．下列各式正确的是(D)A.eq\r(（－4）×（－9）)＝eq\r(－4)×eq\r(－9)B.eq\r(16＋\f(9,4))＝eq\r(16)×eq\r(\f(9,4))C.eq\r(4\f(4,9))＝eq\r(4)×eq\r(\f(4,9))D.eq\r(4×9)＝eq\r(4)×eq\r(9)3．把eq\r(200)化成最简二次根式是10eq\r(2)．4．化简：(1)eq\r(3×25×225)；(2)eq\r(（－12）×（－8）)；(3)eq\r(25\f(1,4))；(4)eq\r(（\f(4,5)）2＋（\f(2,5)）2).设计目的：通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.（六）课堂小结(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？设计目的：小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.（七）布置作业(1)必做题：习题2.9第1-4题(2