二次函数的应用-初中-数学-教学设计

二次函数的应用任飞飞西安铁一中滨河学校【教学内容】《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第二章第4节的内容。本节课共两个课时，本文的教学设计是关于本课时《二次函数的应用》第2课时。它的内容包括：应用二次函数的性质解决最大利润难问题。【课时安排】2课时【教材】北师大版八年级数学上册第三章第2节一、教学目标1.知识与技能目标：（1）能够将一些较简单的实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型，确定二次函数的最值，从而解决实际问题；（2）进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数最值的关系，并明确当函数图象开口向下时函数取得最大值，当函数图象开口向上时函数取得最小值.2.过程与方法目标：（1）从事对现实世界中实际问题转化为数学问题、分析问题、抽象出数学模型和建立二次函数模型等活动，进一步发展学生的建模能力；（2）经历探索销售中最大利润的过程，进一步发展数形结合意识与应用意识，初步建立模型思想.3.情感、态度与价值观目标：以小组为单位，经历数学活动的过程，体会二次函数在现实生活中的应用，增强学生学好数学的信心，激发学生的学习兴趣，形成积极参与数学活动的意识并积累操作活动经验.二、教学重难点重难点：将简单的实际问题转化为数学问题，分析和表示变量间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题的最值；正确理解题意，从实际问题中抽象出二次函数模型。三、教学过程【第一环节】情境导入，让学生感知实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型是解决实际问题的重要方式。教师活动1：给出情境，感知实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型是解决实际问题的重要方式。情境一：请求出下列二次函数的最大值或最小值：(1)y=2x2-4x-5;(2)y=-x2+3x归纳：通过回顾二次函数的最值问题,为新课讲解做铺垫.情景二：请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数.且L=-x2+2000x-10000，则产量是多少时总利润最大？最大利润是多少？解：求最大利润就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少。L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时，总利润最大，最大利润为990000元。学生活动1：结合具体情境，让学生独立解题并在小组中展示，树立信心，可以向学生追问有什么疑惑。教师活动2：根据回答，用PPT呈现。学生活动2：学生观看PPT，直接给出实际问题中的二次函数表达式，学生能直接上手求得最大值，得到最大利润，获得成功感，为本节课展开探究积累经验和信心。【第二环节】实践探究，再次感知销售中最大利润问题，建立二次函数模型，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。教师活动3：服装厂生产某品牌的T恤衫，成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件。请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？学生活动3：思考后，得出结论，小组讨论交流。教师活动4：教师设问：第一，本题反映了哪两个变量之间的关系？第二，设批发单价为x(10<x≤13)元,那么(1)每件T恤衫的利润可以表示为_______；(2)经销量可以表示为_______；(3)厂家获利可以表示为_______；(4)设厂家获利y元,则y与x的关系可以表示为_______。学生活动4：小组讨论交流想法后，组内达成共识。找一名学生展示，教师适时点拨强调。学生展示后，教师及时追问以下问题：教师活动5：(5)厂家获利y元与批发单价x元是什么关系？(6)厂家批发单价是多少时可以获利最多？你是如何做的？与同伴交流。学生活动5：以小组卫单位，让学生进行互评，对于不同的求解方法组内分享交流，对比不同计算方法的优劣.教师活动6：教师借助多媒体展示学生求解问题(6)的过程，让学生进行互评，教师适时点评强调，对于不同的求解方法要给予表扬鼓励，同时引导学生对比不同计算方法的优劣。学生活动6：小组交流后达成共识，得出结论：销售中最大利润问题中“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题。【第三环节】体会用二次函数解决最优化问题的过程，并感受数学的应用价值.教师活动7：给出探究活动：某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？学生活动7：独立思考后，全班展示各自所列举出来的思路和方法。【第四环节】作业布置A.层次：利用函数来解决生活中的利润类问题是经常出现的题型，因此掌握它们的等量关系就显的非常重要了，请你写出你已经掌握的关于利润问题的等量关系。B.层次：我们班小明家的旅行社组团去外地旅游，30人起组团,每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？四、案例评析此设计开场很新颖，本节课以生活场景引入问题，通过探索思考解决问题，前后呼应。体现了学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，学生的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。为什么会这样处理？一是执教者认为“生活中的数学处处可见”，因此，在施教的过程中努力的践行自己的观点；二是本课涉及的最大利润问题，这些内容学生在小学有所接触，在生活中也较为常见，有了一定的经验可以作为认知的基础。整个教学活动的设计是在新课改合作学习模式下进行的充分发挥你了学生的主观能动性，这点值得肯定。用二次函数解决最优化问题在日常生活中着广泛的应用，因此有关最大利润的活动必然会和一定的现实情境相联系，通过对现实问题的抽象、分析与解决，最终完成相应内容的学习。此教学设计中随处可见生活中的实例；正是通过这些问题，帮助学生感知学习销售中最大利润问题，建立二次函数模型是生活的需要，激发了学生学习数学解决实际问题的积极性和主动性；认清了销售中最大利润问题的本质：销售中最大利润问题中“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题。又通过让学生解决“旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高”的生活实例，引发学生思考，达到学以致用，让学生不仅感受到学习数学知识