高中数学 第一章 计数原理 1.1 基本计数原理课堂探究教学设计 新人教B版选修2-3

高中数学第一章计数原理1.1基本计数原理课堂探究教学设计新人教B版选修2-3学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析高中数学第一章“计数原理”中的1.1节“基本计数原理”是本章节的核心内容，旨在帮助学生掌握计数原理的基本概念和方法。本节课的教学设计紧扣新人教B版选修2-3教材，通过课堂探究的形式，引导学生深入理解排列、组合的概念及其应用，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过探究排列组合的基本计数原理，学生能够学会运用数学语言描述现实问题，运用逻辑推理分析问题，并能够构建数学模型解决实际问题，从而提升学生的数学思维品质和解决问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在进入本节课之前，学生已经学习了基础的数学知识和逻辑推理能力，对集合、函数等概念有一定的了解。然而，对于排列组合和计数原理的相关知识，学生可能仅有初步的感性认识，缺乏系统性的学习和实践。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学学科普遍存在一定兴趣，但兴趣点可能因人而异。部分学生可能对实际问题解决和逻辑推理更感兴趣，而另一部分学生可能更偏好抽象思维和理论证明。学生的能力水平也参差不齐，有的学生逻辑思维能力强，能够迅速把握问题本质；有的学生则需要更多的时间和指导来理解复杂概念。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习基本计数原理时，可能会遇到以下困难：一是理解排列组合的原理，特别是当涉及到多个条件限制时，如何正确运用原理；二是如何将实际问题转化为数学模型，并进行有效的计算；三是对于部分学生来说，逻辑推理的难度可能是一个挑战，需要教师通过适当的引导和练习帮助学生克服。教学方法与策略1.教学方法：采用讲授与探究相结合的教学方法，通过讲解基本概念和原理，引导学生自主探究，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

2.教学活动：设计“计数游戏”和“实际问题解决”等教学活动，让学生在游戏中体验计数原理的应用，通过解决实际问题加深对原理的理解。

3.教学媒体：利用多媒体课件展示计数原理的直观模型和实例，以及通过在线平台提供互动练习，增强学生的学习体验和参与度。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。设计预习问题：围绕“基本计数原理”，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何通过实例理解排列与组合的区别？”和“在日常生活中，如何运用计数原理解决问题？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解“基本计数原理”的知识点。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解“基本计数原理”，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过讲述“七巧板拼图”的故事，引出“基本计数原理”的课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解排列与组合的定义、公式及其应用，结合实例如“生日问题的概率计算”帮助学生理解。

组织课堂活动：设计“组合计数”小组竞赛，让学生在实践中运用计数原理解决实际问题。

解答疑问：针对学生在活动中提出的“如何选择合适的排列顺序？”等问题，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组竞赛，体验计数原理在解决问题中的应用。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解“基本计数原理”的知识点。

实践活动法：设计小组竞赛，让学生在实践中掌握计数原理的应用。

合作学习法：通过小组竞赛等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解“基本计数原理”，掌握其应用方法。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据“基本计数原理”，布置“设计班级活动安排”的作业，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与“基本计数原理”相关的拓展资源（如数学竞赛题目、趣味数学故事等），供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的“基本计数原理”知识点和技能。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理1.计数原理概述

计数原理是数学中用于解决计数问题的基本原理，主要包括排列原理和组合原理。

2.排列原理

排列原理是指从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列的方法数。排列原理的公式为：A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

3.组合原理

组合原理是指从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑元素的顺序，所组成的不同组合的方法数。组合原理的公式为：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]。

4.排列与组合的关系

排列与组合既有联系又有区别。联系在于它们都涉及到从n个不同元素中选取m个元素的问题；区别在于排列考虑顺序，而组合不考虑顺序。

5.排列与组合的应用

排列与组合在日常生活、科学研究、工程技术等领域有着广泛的应用。以下列举几个实例：

（1）生日问题：假设有n个人，问至少有多少人，使得其中至少有2人的生日相同？

（2）密码设置：设计一个由数字和字母组成的6位密码，问共有多少种不同的密码？

（3）排列组合在概率问题中的应用：例如，掷两个骰子，求两个骰子点数和为7的概率。

6.排列与组合的扩展

（1）多重集合的排列与组合：当元素之间存在重复时，排列与组合的公式需要进行调整。

（2）排列与组合的递推关系：通过递推关系，可以简化排列与组合的计算过程。

（3）排列与组合的对称性：在排列与组合中，存在一些具有对称性的性质，如对称排列、对称组合等。

7.排列与组合的实际应用

（1）计算机科学：在计算机科学中，排列与组合广泛应用于算法设计、数据结构等方面。

（2）运筹学：在运筹学中，排列与组合用于解决资源分配、优化决策等问题。

（3）统计学：在统计学中，排列与组合用于计算概率分布、估计参数等。

8.总结

排列与组合是数学中重要的计数原理，掌握其基本概念、公式及应用方法对于解决实际问题具有重要意义。在学习过程中，要注重理论与实践相结合，提高解决实际问题的能力。典型例题讲解1.例题：从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，求选出的3人的不同组合数。

解答：首先计算所有可能的组合数，即从9人中选3人，应用组合公式C(9,3)=9!/[3!*(9-3)!]=84种组合。然后计算没有女生的情况，即从5名男生中选3人，应用组合公式C(5,3)=5!/[3!*(5-3)!]=10种组合。最后，用总的组合数减去没有女生的组合数，得到至少有1名女生的组合数：84-10=74种。

2.例题：有6个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，求不同的放法数。

解答：首先，每个盒子至少放1个球，可以将问题转化为先放1个球到每个盒子中，然后再将剩余的3个球放入3个盒子中。这相当于从3个球中选3个球放入3个盒子，即C(3,3)=1种方法。然后，剩下的3个球可以任意放入3个盒子中，每个球有3种选择，所以总的方法数为3^3=27种。因此，总的不同放法数为1*27=27种。

3.例题：一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个，但第一位数字不能为0，求这个密码锁的不同密码数。

解答：第一位数字有9种选择（1到9），第二位、第三位和第四位数字各有10种选择（0到9）。因此，总的不同密码数为9*10*10*10=9000种。

4.例题：从5个不同的书架上选取3本书，要求每个书架上至少有1本书，求选法的不同组合数。

解答：由于每个书架上至少有1本书，可以将问题转化为先从5本书中选出3本，然后分配到5个书架上。这相当于先从5本书中选出3本，有C(5,3)=10种选法。然后，将这3本书分配到5个书架上，有5!种分配方法。因此，总的不同组合数为10*5!=600种。

5.例题：一个班级有8名男生和6名女生，要组建一个3人篮球队伍，要求队伍中至少有2名女生，求组建队伍的不同方法数。

解答：首先，计算至少有2名女生的组合数。可以是2名女生和1名男生，或者3名女生。对于2名女生和1名男生的组合，有C(6,2)*C(8,1)=15*8=120种。对于3名女生的组合，有C(6,3)=20种。因此，总的不同方法数为120+20=140种。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：在讲解基本计数原理时，引入实际案例，如商业促销活动中的抽奖方案设计，让学生在实践中理解计数原理的应用。

2.互动式学习：通过小组讨论和角色扮演，让学生在互动中学习，提高他们的参与度和学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对理论知识的理解不够深入：部分学生在学习基本计数原理时，对公式和概念的理解停留在表面，缺乏深入思考。

2.实践应用能力不足：学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用计数原理，需要加强实践训练。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要依赖于作业和考试，缺乏对学生综合能力的全面评估。

反思改进措施（三）改进措施

1.加强理论联系实际：通过设计更多贴近生活的案例，帮助学生将理论知识与实际应用相结合。

2.实践活动多样化：组织丰富的实践活动，如数学竞赛、小组项目等，提高学生的实践操作能力。

3.评价方式多元化：引入过程性评价，关注学生的学习过程和进步，同时结合终结性评价，全面评估学生的学习成果。内容逻辑关系①基本概念

-排列的定义：从n个不同元素中，按照一定的顺序选取m个元素的方法数。

-组合的定义：从n个不同元素中，不考虑顺序选取m个元素的方法数。

-排列与组合的关系：排列考虑顺序，组合不考虑顺序。

②公式与计算

-排列公式：A(n,m)=n!/(n-m)!

-组合公式：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

-公式的应用：解决实际问题，如生日问题、密码设置等。

③应用实例

-生日问题：至少有多少人，使得其中至少有2人的生日相同？

-密码设置：设计一个由数字和字母组成的6位密码，共有多少种不同的密码？

-概率计算：掷两个骰子，求两个骰子点数和为7的概率。

-资源分配：将一定数量的资源分配到不同的项目中，计算不同的分配方案。

④扩展与深化

-多重集合的排列与组合

-排列与组合的递推关系

-排列与组合的对称性

-计数原理在其他领域的应用：计算机科学、运筹学、统计学等。教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的参与度、提问回答和解决问题的能力，评估学生对基本计数原理的理解和应用。例如，记录学生是否能准确运用排列和组合公式，是否能将实际问题转化为数学模型。

2.小组讨论成果展示：小组讨论是本节课的重要环节，通过小组讨论，可以评估学生的团队合作能力、沟通能力和逻辑思维能力。评价标准包括小组讨论的活跃度、讨论内容的深度和广度，以及最终的解决方案是否合理。

3.随堂测试：在课堂结束时，进行随堂测试，检验学生对排列和组合原理