四边形及其内角和课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.1.1四边形及其内角和第二十一章

四边形新课导入说一说在生活中，你在哪些地方见到过四边形的形象？问题1：观察画四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗？探究点1：四边形的概念在平面内，由不在同直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.思考：为什么要强调“在平面内”呢？这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内.ABCD问题2：四边形各组成部分的名称有哪些？ABCD边：组成四边形的各条线段叫作四边形的边.顶点：每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形可以按照顶点的顺序，记作“四边形

ABCD”.对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.如线段

BD、线段

AC.探究点1：四边形的概念ABCD内角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角.外角：四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.内角外角探究点1：四边形的概念请在图

中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角.想一想：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？(1)

如图(1)，画出四边形

ABCD

的任何一条边(例如

CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.本节我们只研究凸多边形.ABCDACBD(2)图(2)中的四边形ABCD

不是凸四边形，因为画出边

CD（或BC

所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧探究点1：四边形的概念思考：我们知道，三角形的内角和是

180°，长方形的内角和是

360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？分析：由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形.ABCD四边形有关问题三角形有关问题探究点2：四边形的内角和与外角和由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D)＝180°＋180°＝360°.证明：

如图，在四边形

ABCD

中，连接对角线

AC，则四边形ABCD

被分为△ABC和△ACD

两个三角形，在△ABC

中，由三角形内角和定理，得同理∠2＋∠4＋∠D＝180°.∠1＋∠B＋∠3＝180°.ABCD即四边形的内角和等于360°.2134探究点2：四边形的内角和与外角和【练一练】1.

如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，

∠C，∠D

的度数之比为11:10:5:10.求四边形

ABCD

四个内角的度数.解：设∠B=∠D=(10x)°，则∠A=(11x)°，∠C=(5x)°由题意，得11x+10x+5x+10x=360.解得

x=10.故∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为110°，100°，50°，100°.探究点2：四边形的内角和与外角和例1

如图，在四边形的每个顶点处各取个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少?ABCD2134分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.探究点2：四边形的内角和与外角和ABCD2134解：如图.∵∠DAB与∠1是邻补角，∴∠DAB＋∠1＝180°.同理∠ABC＋∠2＝180°，∠BCD＋∠3＝180°，∠CDA＋∠4＝180°.∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°.而∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.探究点2：四边形的内角和与外角和四边形外角和

360°.探究点2：四边形的内角和与外角和【练一练】2.

如图，∠1，∠2，∠3，∠4分别是四边形ABCD的四个外角，若∠1＋∠2＝210°，则∠3＋∠4＝

.150°探究点3：四边形的不稳定性大小和形状固定不变三角形的稳定性

在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？探究

如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(1)(2)

如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会没变吗？为什么？探究点3：四边形的不稳定性

可以发现，四边形木架的形状会改变，因为两边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性，

而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变.(1)(2)探究点3：四边形的不稳定性想一想：在日常生活中，四边形的不稳定性，有着较为广泛的应用，

你能举出应用四边形不稳定性的其他例子吗?升降机伸缩门探究点3：四边形的不稳定性想一想：在日常生活中，

有哪些是需要克服四边形不稳定性的例子呢?在图中的栅栏两横梁之间加钉斜木条探究点3：四边形的不稳定性四边形及其内角和定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形内角和与外角和：四边形的内角和是360°，四边形的外角和等于360°四边形的不稳定性1.下列图形中哪些具有稳定性？√√【选自教材第49页练习第3题】2.求下列图中x的值.

x＝

.

x＝

⁠.69

65

3.一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？已知：∠1+∠2=180°，求∠3与∠4的关系.解：如图，若∠1+∠2=180°，由四边形的内角和等于360°，得∴它的另一组对角也互补.∠3+∠4=360°－(∠1+∠2)=360°－180°=180°.4.如图，在四边形ABCD中，∠1＋∠2＋