浙江杭州市2026届高三下学期教学质量检测（二模）数学试卷（含答案）

浙江杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测数学试卷一、单选题1．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（

）A．3 B．5 C．6 D．72．若（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．设，若，则（

）A．且 B．且C．且 D．且4．我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2.规格一号二号三号四号五号尺寸（单位：cm）288×192240×160192×128144×9696×64根据上表，可以判断五种规格国旗的（

）A．周长构成等差数列 B．周长构成等比数列C．面积构成等差数列 D．面积构成等比数列5．设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（

）A．1 B．2 C． D．6．设函数的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．7．已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．8．设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上.若，则四边形面积的最大值为（

）A． B．4 C． D．2二、多选题9．在中，，，，则（

）A． B．的面积为6C． D．10．已知函数，则（

）A．，是增函数B．，是奇函数C．若有三个不同的零点，，，则D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则11．选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”.则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（

）A．，B．，，C．，D．，，三、填空题12．设函数，则______.13．已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且.若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______.14．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______.四、解答题15．设公比为q的等比数列的前n项和为，且.(1)求q和;(2)求.16．如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点.(1)证明：平面；(2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值.17．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：等待时间频数2014106(1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数.（i）证明：对于任意的，有；（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.18．已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上.(1)求的方程；(2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令.（i）求点P的坐标（用t表示）；（ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由.19．（1）已知，证明：；（2）设，若恒成立，求正整数的最大值；（3）求证：.参考答案题号12345678910答案DCBACBDBBCACD题号11答案ABD12．213．/14．8215．（1）解:(1)设数列公比为，那么当时,,又,所以,,当时,两式相减得,即,所以，,，解得;（2）由(1)得.16．（1）因为的所有棱长相等，点是棱的中点，所以，，又因为，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，设，由（1）知平面，则为平面的法向量.则，，设平面的法向量为，则，可取，记平面与平面所成角为，则.当时，取到最大值.17．（1）平均时间.（2）（i）证明：由题意知，，分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B，则.所以对于任意的，有.（ii）由（i）知，，所以费用的期望是（元）.18．（1）将点代入得，所以：.（2）（i）过M点斜率为2的直线，直线方程，由得，可得，设，由得，即，解得，所以.（ii）因为，所以直线方程为，解方程组，得，所以，直线：，整理得，因此直线过定点.又，所以，所以点F到直线的最大距离为.19．（1）一方面，记，.则，故在上单调递增，即.另一方面，记，.所以，故在上单调递增，即.综上，，成立.（2）当时，由（1）知