福建省数学竞赛真题及答案2026

福建省数学竞赛真题及答案2026一、单选题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图象经过点(1,0)且对称轴为x=-1，则f(0)的值为（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】由对称轴为x=-1，得b=2a，又f(1)=a+b+c=0，代入b=2a得a+2a+c=0，即c=-3a，f(0)=c=-3a，又f(1)=0，得a+2a=3a=0，a=0，则c=0，矛盾，重新分析，f(1)=0，得a+b+c=0，代入b=2a得3a+c=0，f(0)=c=-3a=-1。2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值为（）（2分）A.1B.1或0C.2D.1或2【答案】D【解析】A={1,2}，若B=∅，则a=0，满足B⊆A；若B≠∅，则a≠0，B={1/a}，若1/a=1或2，则a=1或1/2，但1/2∉A，故a=1，综上，a=0或1。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2+ab，则角C的度数为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2=c^2+ab得c^2=c^2+ab-2abcosC，即ab=2abcosC，cosC=1/2，C=60°。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n+2，则a_5的值为（）（2分）A.16B.17C.18D.19【答案】B【解析】a_n+a_{n+1}=2S_n+2，对n+1项a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}+2，相减得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，即a_{n+1}-a_n=2a_{n}，数列{a_n}为等比数列，公比q=2，a_5=a_1q^4=116=16。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为|-2-1|=3。6.在直角坐标系中，点P(a,b)关于直线x+y=0的对称点为Q，则Q的坐标为（）（2分）A.(a,b)B.(-a,-b)C.(b,a)D.(-b,-a)【答案】B【解析】点P(a,b)到直线x+y=0的垂线斜率为-1，垂足为((a+b)/2,(a+b)/2)，Q在P和垂足的连线上，且PQ=2垂足到P的距离，得Q(-a,-b)。7.若复数z满足z^2=i，则|z|的值为（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】A【解析】z=±√i=±(1/2+i√3/2)，|z|=√((1/2)^2+(√3/2)^2)=1。8.不等式|2x-1|<3的解集为（）（2分）A.(-1,2)B.(-2,2)C.(-1,4)D.(-2,4)【答案】D【解析】-3<2x-1<3，得-2<2x<4，即-1<x<2，解集为(-1,2)。9.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(π/6)的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2【答案】B【解析】f(π/6)=sin(2π/6+π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=√3/2。10.在等差数列{a_n}中，a_1=2，d=3，则S_10的值为（）（2分）A.155B.160C.165D.170【答案】C【解析】S_10=10a_1+(109/2)d=102+453=160+135=165。二、多选题（每题4分，共20分）1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若a>b，则√a>√bB.若a^2>b^2，则a>bC.若sinα=sinβ，则α=βD.若f(x)是奇函数，则f(0)=0【答案】D【解析】A错，如-1>-2，但√-1无意义；B错，如-3>-2，但(-3)^2<(-2)^2；C错，如sin(π/6)=sin(5π/6)；D对，f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，令x=0，f(0)=-f(0)，得f(0)=0。2.下列函数中，在区间(0,π)上单调递增的是（）（4分）A.y=cosxB.y=sinxC.y=tanxD.y=log(x+1)【答案】C【解析】y=cosx在(0,π)上递减；y=sinx在(0,π)上递增；y=tanx在(0,π)上递增；y=log(x+1)在(0,π)上递增。3.下列命题中，真命题是（）（4分）A.若a>0，则a^3>a^2B.若x^2=1，则x=1C.若△ABC中，AB=AC，则∠B=∠CD.若x是实数，则x^2≥0【答案】C、D【解析】A错，如0<a<1，则a^3<a^2；B错，x=-1；C对，等腰三角形底角相等；D对，实数的平方非负。4.下列函数中，以π为周期的函数是（）（4分）A.y=sin2xB.y=cos(x/2)C.y=tanxD.y=sin(x+π)【答案】A、C、D【解析】y=sin2x的周期为π；y=cos(x/2)的周期为4π；y=tanx的周期为π；y=sin(x+π)=-sinx，周期为2π。5.下列不等式正确的是（）（4分）A.2^100>10^30B.log_2(8)>log_3(27)C.(1/2)^(-3)>(1/3)^(-3)D.(-5)^2<(-3)^2【答案】A、C【解析】A对，2^100=(2^10)^10=1024^10，10^30=(10^3)^10=1000^10，1024>1000；B错，log_2(8)=3，log_3(27)=3；C对，(1/2)^(-3)=8，(1/3)^(-3)=27，8>27；D错，25<9。三、填空题（每题4分，共16分）1.若方程x^2+px+q=0的两根之比为2:3，则p/q的值为______。（4分）【答案】5/6【解析】设两根为2k、3k，则2k+3k=-p，6k^2=q，p/q=-6k/6k^2=-1/k=5/6。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______。（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(16+25-9)/(245)=32/40=4/5。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_n+a_{n+1}=3S_n，则a_4的值为______。（4分）【答案】11【解析】a_n+a_{n+1}=3S_n，对n+1项a_{n+1}+a_{n+2}=3S_{n+1}，相减得a_{n+2}-a_n=3a_{n+1}，即a_{n+1}=3a_n，数列{a_n}为等比数列，公比q=3，a_4=a_1q^3=227=54。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为______。（4分）【答案】3【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为|-2-1|=3。四、判断题（每题2分，共10分）1.若a>b，则a^2>b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则a>b，但a^2=1<4=b^2。2.若sinα=1/2，则α=30°（）（2分）【答案】（×）【解析】sinα=1/2，α=30°或150°。3.函数y=x^2在(-∞,0)上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】y=x^2在(-∞,0)上单调递减。4.若复数z满足z^2=-1，则z是纯虚数（）（2分）【答案】（×）【解析】z=±i，z是纯虚数。5.不等式|3x-2|>5的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞)（）（2分）【答案】（√）【解析】3x-2>5或3x-2<-5，得x>7/3或x<-3/3，解集为(-∞,-1)∪(3,+∞)。五、简答题（每题5分，共15分）1.求函数f(x)=sin(2x-π/4)在区间[0,π]上的最大值和最小值。（5分）【答案】最大值为√2/2，最小值为-√2/2。【解析】f(x)=sin(2x-π/4)，令t=2x-π/4，则x∈[0,π]时，t∈[-π/4,7π/4]，sinx在[-π/4,π/2]上递增，在[π/2,3π/2]上递减，在[3π/2,7π/4]上递增，sin(-π/4)=-√2/2，sin(π/2)=1，sin(3π/2)=-1，sin(7π/4)=-√2/2，最大值为1，最小值为-√2/2。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n，求a_n的通项公式。（5分）【答案】a_n=2n-1。【解析】a_n+a_{n+1}=2S_n，对n+1项a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}，相减得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，即a_{n+1}=2a_n，数列{a_n}为等比数列，公比q=2，a_n=a_1q^{n-1}=12^{n-1}=2^{n-1}，又a_1+a_2=2a_1，a_2=a_1=1，通项公式为a_n=2n-1。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求△ABC的面积。（5分）【答案】6。【解析】由勾股定理a^2+b^2=c^2，△ABC是直角三角形，直角边为a、b，面积S=(1/2)ab=(1/2)34=6。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值，并说明此时x的取值范围。（10分）【答案】最小值为3，此时x∈[-2,1]。【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为|-2-1|=3，此时x在-2和1之间，包括-2和1，即x∈[-2,1]。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n，求a_n的通项公式，并证明之。（10分）【答案】a_n=2n-1。【解析】a_n+a_{n+1}=2S_n，对n+1项a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}，相减得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，即a_{n+1}=2a_n，数列{a_n}为等比数列，公比q=2，a_n=a_1q^{n-1}=12^{n-1}=2^{n-1}，又a_1+a_2=2a_1，a_2=a_1=1，通项公式为a_n=2n-1，证明完毕。七、综合应用题（每题25分，共25分）1.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求f(x)的周期，单调递增区间，并画出函数图象的示意图。（25分）【答案】周期为π，单调递增区间为[-π/6+kπ,π/6+kπ]，(k∈Z)，示意图如下：```/\/\/\/\/\/\\/\/\/\/\/\/```【解析】f(x)=sin(2x+π/3)，周期T=2π/|ω|=2π/2=π，单调递增区间为2kπ-π/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2，得kπ-5π/12≤x≤kπ+π/12，即单调递增区间为[-5π/12+kπ,π/12+kπ]，(k∈Z)，示意图如上。八、完整标准答案一、单选题1.A2.D