2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第9讲 抛物线

第9讲抛物线1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离eq\x(\s\up1(01))相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的eq\x(\s\up1(02))焦点，直线l叫做抛物线的eq\x(\s\up1(03))准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴eq\x(\s\up1(04))x轴eq\x(\s\up1(05))y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\x(\s\up1(07))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝eq\x(\s\up1(09))1准线方程eq\x(\s\up1(10))x＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(11))x＝eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(12))y＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(13))y＝eq\f(p,2)范围eq\x(\s\up1(14))x≥0，y∈Req\x(\s\up1(15))x≤0，y∈Req\x(\s\up1(16))y≥0，x∈Req\x(\s\up1(17))y≤0，x∈R开口方向向eq\x(\s\up1(18))右向eq\x(\s\up1(19))左向eq\x(\s\up1(20))上向eq\x(\s\up1(21))下抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．1．(人教A选择性必修第一册练习T2改编)抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,8) B．y＝－eq\f(1,4)C．y＝－eq\f(1,2) D．y＝－1答案：A解析：由y＝2x2，得x2＝eq\f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq\f(1,8).故选A.2．若抛物线x2＝2py(p＞0)上一点M(n，6)到焦点的距离是4p，则p的值为()A．eq\f(12,7) B．eq\f(7,12)C．eq\f(6,7) D．eq\f(7,6)答案：A解析：因为抛物线x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－eq\f(p,2)，由题意可得6＋eq\f(p,2)＝4p，解得p＝eq\f(12,7).故选A.3．(人教B选择性必修第一册2.7.1练习BT5改编)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案：D解析：∵点M到F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，∴点M的轨迹方程为y2＝16x.4．(人教A选择性必修第一册3.3.1练习T3改编)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，|PF|＝6，则点P的横坐标为()A．6 B．5C．4 D．2答案：C解析：设点P的横坐标为x0，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2.∵点P在抛物线上，|PF|＝6，∴x0＋2＝6，∴x0＝4.故选C.5．(人教B选择性必修第一册习题2－7CT1(1)改编)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．答案：4解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.考向一抛物线的定义及标准方程(1)(多选)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程可以是()A．y2＝－eq\f(9,2)x B．y2＝eq\f(9,2)xC．x2＝－eq\f(4,3)y D．x2＝eq\f(4,3)y答案：AD解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－eq\f(9,2)，m＝eq\f(4,3)，所以抛物线的标准方程为y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y.故选AD.(2)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则点M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．答案：54eq\r(5)解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因为|FM|＝6，所以xM＋eq\f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq\r(5)，所以S△FMN＝eq\f(1,2)×(5－1)×2eq\r(5)＝4eq\r(5).求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，常采用以下两种模式设抛物线的标准方程：焦点在x轴上设为y2＝ax(a≠0)焦点在y轴上设为x2＝ay(a≠0)1.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到定点F(3，0)的距离比P到y轴的距离大3，则动点P满足的方程为______________．答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝12x，x≥0，,y＝0，x＜0))解析：动点P到定点F(3，0)的距离比P到y轴的距离大3，当x≥0时，动点P到定点F(3，0)的距离等于到直线x＝－3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线的方程为y2＝2px，则eq\f(p,2)＝3，即p＝6，所以y2＝12x；当x＜0时，y＝0，满足条件．综上所述，动点P的轨迹方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝12x，x≥0，,y＝0，x<0.))2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为____________．答案：y2＝4x或y2＝16x解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋eq\f(p,2)＝5，得x0＝5－eq\f(p,2)，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为eq\f(5,2)，而圆的半径为eq\f(5,2)，于是得该圆与y轴相切于点(0，2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4))，从而有42＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)))，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.考向二抛物线的几何性质(1)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1，0) D．(2，0)答案：B解析：因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，且OD⊥OE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx＝∠EOx＝eq\f(π,4)，所以D(2，2)，代入y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，所以C的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).故选B.(2)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案：x＝－eq\f(3,2)解析：解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq\f(1,2).所以直线PQ的方程为y－p＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq\f(5,2)p.所以|FQ|＝eq\f(5,2)p－eq\f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－eq\f(3,2).解法二：由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．1.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若△AFB是边长为6的等边三角形，则p的值是()A．3 B．3eq\r(3)C．6 D．6eq\r(3)答案：A解析：由题意知，|AF|＝|AB|，则AB⊥l.设准线l与x轴交于点D，则AB∥DF.又△AFB是边长为6的等边三角形，故∠ABF＝60°，所以∠BFD＝60°，|DF|＝|BF|cos∠BFD＝6×eq\f(1,2)＝3，即p＝3.故选A.2．已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为()A．(3，5) B．(5，7)C．(6，8) D．(6，8]答案：C解析：如图所示，圆E的圆心为(1，0)，半径为3，抛物线的焦点为(1，0)，准线方程为x＝－1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,（x－1）2＋y2＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2\r(2)，))不妨令A(2，2eq\r(2))，B(2，－2eq\r(2))，所以2<xM<4.设平行于x轴的直线MN交抛物线的准线x＝－1于点D，根据抛物线的定义可知|NE|＝|ND|，所以△MNE的周长为|ME|＋|NE|＋|MN|＝3＋|ND|＋|MN|＝3＋|MD|.而|MD|＝xM＋1∈(3，5)，所以3＋|MD|∈(6，8)，即△MNE周长的取值范围是(6，8)．故选C.考向三与抛物线有关的最值问题角度1到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题(多选)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的是()A．|PF|的最小值为1B．|QF|的最小值为eq\r(10)C．|PF|＋|PQ|的最小值为4D．|PF|＋|PQ|的最小值为eq\r(10)＋1答案：AC解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.对于A，由抛物线的性质可知，|PF|的最小值为|OF|＝1，故A正确；对于B，注意到F是定点，由圆的性质可知，|QF|的最小值为|CF|－r＝eq\r(10)－1，故B错误；对于C，D，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|，故|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|，|PM|＋|PQ|的最小值为点Q到准线x＝－1的距离的最小值，故最小值为4，故C正确，D错误．故选AC.角度2到定直线的距离最小问题已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2 B．3C．eq\f(11,5) D．eq\f(37,16)答案：B解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，点F到直线l1的距离为d3＝eq\f(|3×0－4×1－6|,\r(32＋（－4）2))＝2，由d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，当且仅当PF⊥l1且P在F与l1之间时，等号成立，即动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3.故选B.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．1.(2024·江苏徐州一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则p＝()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．4答案：C解析：由y2＝2px(p＞0)，得焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设抛物线上一点P(x，y)，则由抛物线的定义知，|PF|＝x＋eq\f(p,2)≥eq\f(p,2)，所以1＝eq\f(p,2)，解得p＝2.故选C.2．(多选)(2025·湖北襄阳模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q(m，n)，点P到点Q和到y轴的距离分别为d1，d2，则()A．抛物线C的准线方程为y＝－1B．若m＝n＝1，则△PQF周长的最小值为3C．若(m－3)2＋n2＝1，则d1的最小值为2D．若m－n＝－4，则d1＋d2的最小值为eq\f(5\r(2),2)－1答案：BD解析：对于A，由抛物线方程可知，抛物线的准线是l：x＝－1，A错误；对于B，F(1，0)，当m＝n＝1时，点Q到直线l的距离d3＝2，△PQF的周长L＝|PQ|＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，B正确；对于C，因为(m－3)2＋n2＝1，所以Q(m，n)在圆上，圆心为M(3，0)，所以d1≥|PM|－1，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，t))，则|PM|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)－3))eq\s\up12(2)＋t2＝eq\f(1,16)(t2－4)2＋8≥8，所以|PM|≥2eq\r(2)，所以d1的最小值为2eq\r(2)－1，C错误；对于D，若m－n＝－4，则Q(m，n)在直线l1：x－y＋4＝0上，点F到直线l1的距离d4＝eq\f(|1－0＋4|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(5\r(2),2)，d1＋d2＝d1＋|PF|－1≥d4－1＝eq\f(5\r(2),2)－1，D正确．故选BD.课时作业一、单项选择题1．(2025·重庆模拟)已知点P(x，y)满足eq\r(（x－1）2＋y2)＝|x＋1|，则点P的轨迹为()A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆答案：C解析：eq\r(（x－1）2＋y2)表示点P(x，y)到点(1，0)的距离，|x＋1|表示点P(x，y)到直线x＝－1的距离．因为eq\r(（x－1）2＋y2)＝|x＋1|，所以点P(x，y)到点(1，0)的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1的距离，所以点P的轨迹为抛物线．故选C.2．(2024·山东烟台二模)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线x＝－2的距离为4，则p的值为()A．1 B．2C．4 D．8答案：C解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，则有eq\f(p,2)＋2＝4，解得p＝4.故选C.3．(2024·四川德阳一模)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))) B．(0，－1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,8)))答案：A解析：∵点A(2，－2)在抛物线上，∴－2＝a×22，∴a＝－eq\f(1,2)，∴抛物线方程为y＝－eq\f(1,2)x2，即x2＝－2y，∴2p＝2，eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，∴抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).故选A.4．(2025·广东潮汕实验中学模拟)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为()A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：如图，过点A作直线x＝－1的垂线，垂足为E，过点B作直线x＝－1的垂线，垂足为D，且与抛物线交于点A′，则|AF|＋|AB|＝|AE|＋|AB|≥|BD|＝3，当且仅当点A与点A′重合时取等号．所以|AF|＋|AB|的最小值为3.故选B.5．(2025·河南开封模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则线段MN的中点的横坐标为()A．eq\f(3,2) B．2C．eq\f(5,2) D．3答案：B解析：∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1，0)，准线方程为x＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝6，解得x1＋x2＝4，∴线段MN的中点的横坐标为2.故选B.6．(2025·云南昆明五华区校级模拟)已知点F是抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C在该抛物线上，若点F恰好是△ABC的重心，则|eq\o(AF,\s\up6(→))|＋|eq\o(BF,\s\up6(→))|＋|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝()A．10 B．11C．12 D．13答案：C解析：由题意可知，点F的坐标为(2，0)，又F为△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝2，即xA＋xB＋xC＝6.由抛物线的定义可知，|eq\o(AF,\s\up6(→))|＋|eq\o(BF,\s\up6(→))|＋|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋6＝6＋6＝12.故选C.7．(2024·山东泰安二模)设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(4\r(3),3)C．eq\r(3) D．eq\f(2\r(3),3)答案：A解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，设P(m，n)，n＞0，则Q(m，－1)，m2＝4n，由抛物线的定义可得|PF|＝|PQ|＝n＋1，在△PQF中，∠PFQ＝∠PQF＝30°，∠FPQ＝120°，可得|FQ|＝eq\r(3)|PQ|＝eq\r(3)(n＋1)，即有eq\r(m2＋4)＝eq\r(4n＋4)＝eq\r(3)(n＋1)，解得n＝eq\f(1,3)(负值舍去)，则|PQ|＝n＋1＝eq\f(4,3).故选A.8．(2024·天津一模)以双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线y2＝2px(p＞0)于A，B两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，则抛物线的焦点到准线的距离为()A．eq\f(4,3)或4 B．eq\f(5,3)C．eq\f(5,3)或4 D．4答案：A解析：双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1的右顶点坐标为(2，0)，焦点为(±eq\r(13)，0)，渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x，即3x±2y＝0，焦点(eq\r(13)，0)到渐近线3x＋2y＝0的距离为eq\f(|3\r(13)＋0|,\r(9＋4))＝3，所以题中圆的方程为(x－2)2＋y2＝9，因为圆(x－2)2＋y2＝9和抛物线y2＝2px(p＞0)都关于x轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，则B(x1，－y1)，则|AB|＝2y1＝4eq\r(2)，所以y1＝2eq\r(2)，因为点A在圆(x－2)2＋y2＝9上，所以(x1－2)2＋8＝9，解得x1＝1或x1＝3，所以A(1，2eq\r(2))或A(3，2eq\r(2))，当A(1，2eq\r(2))时，8＝2p，解得p＝4；当A(3，2eq\r(2))时，8＝6p，解得p＝eq\f(4,3).综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为eq\f(4,3)或4.故选A.二、多项选择题9．(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则()A．p＝4B．|MF|≥|OF|C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2eq\r(3)答案：ABC解析：因为F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以eq\f(p,2)＝2，即得p＝4，A正确；设M(x0，y0)在y2＝8x上，所以x0≥0，所以|MF|＝x0＋eq\f(p,2)≥eq\f(p,2)＝|OF|，B正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|＝x0＋2，等于M到C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C正确；当∠OFM＝120°时，x0>2，不妨设点M在第一象限，则y0>0，eq\f(y0,x0－2)＝tan60°＝eq\r(3)，又yeq\o\al(2,0)＝8x0，所以eq\r(3)yeq\o\al(2,0)－8y0－16eq\r(3)＝0，y0＝4eq\r(3)或y0＝－eq\f(4\r(3),3)(舍去)，所以S△OFM＝eq\f(1,2)|OF|×|y0|＝4eq\r(3)，D错误．故选ABC.10．已知抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A．焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))B．若直线MN过焦点F，则x1x2＝－eq\f(1,16)C．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为eq\f(1,2)D．若|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为eq\f(5,8)答案：BCD解析：易知焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，A错误；根据抛物线的性质知，当MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－eq\f(1,16)，B正确；若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则MN过焦点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即eq\f(1,2)，C正确；抛物线x2＝eq\f(1,2)y的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，准线方程为y＝－eq\f(1,8)，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq\f(3,2)，所以|PP′|＝eq\f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq\f(3,4)，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(5,8)，D正确．故选BCD.11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq\r(3)，则()A．|BF|＝3B．△ABF是等边三角形C．焦点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x答案：BCD解析：根据题意，作出图形如图所示．因为以|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|，又|FA|＝|AB|，所以△ABF为等边三角形，所以B正确；因为∠ABD＝90°，所以AB∥x轴，所以∠BFO＝60°，所以|BF|＝2p，S△ABF＝eq\f(\r(3),4)|BF|2＝eq\f(\r(3),4)·4p2＝9eq\r(3)，解得p＝3，所以|BF|＝6，所以A不正确；焦点F到准线的距离为p＝3，所以C正确；抛物线C的方程为y2＝6x，所以D正确．故选BCD.三、填空题12．(2024·北京高考)抛物线y2＝16x的焦点坐标为________．答案：(4，0)解析：抛物线的标准方程为y2＝16x，所以其焦点坐标为(4，0)．13．(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．答案：x2＝12y解析：圆N的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，设圆M的半径为r，则点M到直线l′：y＝－3的距离与点M到点N的距离相等，都是r＋2，故点M的轨迹是以N为焦点，l′为准线的抛物线，故点M的轨迹方程为x2＝12y.14．(2024·辽宁沈阳一模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点(4，0)的距离最近的点，则|QF|＝________．答案：3解析：由题意知F(1，0)，设Q(x0，y0)，A(4，0)，其中x0≥0，则|QA|＝eq\r(（x0－4）2＋yeq\o\al(2,0))＝eq\r(xeq\o\al(2,0)－8x0＋16＋4x0)＝eq\r(（x0－2）2＋12)，∵点Q是抛物线C上到点(4，0)的距离最近的点，∴x0＝2，∴|QF|＝x0＋1＝3.四、解答题15．已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解：(1)∵F(c，0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A，B两点，则直线AB的方程为x＝c，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝c，,y＝±\f(b2,a)，))则|AB|＝eq\f(2b2,a).抛物线C2的方程为y2＝4cx，把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，∴|CD|＝4c.∵|CD|＝eq\f(4,3)|AB|，即4c＝eq\f(8b2,3a)，∴2b2＝3ac.又b2＝a2－c2，∴2c2＋3a