2025-2026学年北京二十一世纪学校八年级下学期期中数学试卷（含答案）

/北京二十一世纪学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷一、单选题1．若式子有意义，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．下列各式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（

）A．6，7，8 B．2，3，4 C．3，4，6 D．6，8，104．如图，在平行四边形ABCD，AE＝2，AD＝5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则CD的长为（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.55．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等C．对角线相等 D．对角线互相平分7．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（）

A．8 B．12 C．16 D．288．如图，在菱形中，对角线，交于点，为的中点，菱形的周长为28，则的长等于（

）A．3.5 B．4 C．7 D．149．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（）A．12 B．18 C． D．10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．（）n二、填空题11．计算的结果是____________．12．化简（且），得______．13．如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________．

14．计算：________．15．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发沿着北偏东的方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿着南偏东的方向航行，离开港口2小时后两船相距________海里．16．a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则+的值是_____．17．中，，，边上的高，则长为__________．18．如图，在中，D，E，F分别是的中点，点M是线段上任意一点，点N是和平分线的交点，连接．有以下结论：①；②的面积是面积的一半；③保持的大小不变，改变的长度可使四边形是菱形成立；④保持的长度不变，改变的大小可使四边形是正方形成立．其中所有正确结论是：______．（填序号即可）三、解答题19．计算：（1）；（2）．20．在如图所示的数轴上画出表示、的点．（不写画法，保留画图痕迹）21．先化简，再求值：，其中22．在中，E，F是对角线上两点，并且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形．23．如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.

（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求的长.24．如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，、交于点，连接、，（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．25．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．26．我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点P与上的任意一点Q，如果线段的长度最短，我们就称线段“理想距离”．

（1）如图1，点P在线段，上，点Q在线段上，如果为理想距离，那么的长为；（2）有射线，和线段，点P在线段上，点Q在射线上；①如图2，当，时，画出理想距离的示意图，的长为；②如图3，保持线段在x轴上（点A在点B的左侧），且为2个单位长度，，理想距离的长满足，画出示意图，写出m的取值范围．

答案1．【正确答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列式计算即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故选D．2．【正确答案】B【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义，逐项判断即可求解．【详解】A：不是最简二次根式，不符合题意；B：是最简二次根式，符合题意；C：不是最简二次根式，不符合题意；D：不是最简二次根式，不符合题意；故选B．3．【正确答案】D【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选．4．【正确答案】A【分析】由平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，可证得△BCE是等腰三角形，继而利用AB＝BE﹣AE，求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB，∴∠E＝∠ECD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝BC＝5，∴AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，∴CD＝3，故选A．5．【正确答案】C【分析】本题考查平方根的运算，熟练掌握基本运算法则是解题关键；利用平方根的运算法则对每个选项进行判断即可．【详解】A：，结果为而非，故错误，不符合题意；B：，结果为而非，故错误，不符合题意；C：，平方与平方根互为逆运算，结果正确，符合题意；D：，结果为而非，故错误，不符合题意；故选C．6．【正确答案】C【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．故选C．7．【正确答案】C【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，

由题意可知，，∴，∴中间小正方形的面积为，小正方形的外阴影部分的，∴阴影部分的面积为．故选C．8．【正确答案】A【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，由菱形的周长可求得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求得答案．【详解】解：∵菱形的周长为28，∴边长为，∵，∴,∵为的中点，∴．故选A．9．【正确答案】D【分析】按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，虚线①为矩形的对称轴，依据对称轴的性质虚线①平分矩形的长，即可得到沿虚线②裁下的直角三角形的短直角边为10÷2﹣4=1，虚线②为斜边，据勾股定理可得虚线②为，据等腰三角形底边的高平分底边的性质可以得到，展开后的等腰三角形的底边为2，故得到等腰三角形的周长．【详解】根据题意，三角形的底边为2（10÷2﹣4）=2，腰的平方为32+12=10，∴等腰三角形的腰为；∴等腰三角形的周长为：．故选D．10．【正确答案】B【详解】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，3个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×2，4个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×3，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．11．【正确答案】【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】解.12．【正确答案】【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．把分母有理化，即可获得答案．【详解】解：原式．13．【正确答案】【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可．【详解】根据题意可得，，∴四边形是菱形，∴设和交于点O，

∴，，∴∴∴四边形的面积．14．【正确答案】/【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算法则把所求式子变形为，据此计算求解即可．【详解】解：.15．【正确答案】40【分析】题目主要考查勾股定理的应用，根据题意得出两船航行方向垂直是解题关键．由北偏东的方向航行，与南偏东的方向航行成直角，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由北偏东的方向航行，与南偏东的方向航行成直角，∴由题意得两船相距海里．16．【正确答案】b﹣2a．【分析】根据数轴可知a小于0，b大于0，从而得到a﹣b小于0，根据负数的绝对值等于它的相反数可把第一个加数化简，然后根据=|a|及a为负数，把第二个加数化简，合并即可求出值．【详解】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，则+故答案为b﹣2a．17．【正确答案】4或14/14或4【分析】根据题意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解；在中，，，BC边上高，如图所示，当为锐角三角形时，在中,，，由勾股定理得：，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，∴BC的长为：；如图所示，当为钝角三角形时，在中，，由勾股定理得：，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，∴BC的长为：；综上可得：BC的长为：4或14．18．【正确答案】②③【分析】连接根据三角形内角和定理结合角平分线即可判断①；利用三角形等底等高面积相等结合中线的性质即可判断②；根据三角形中位线的性质，易证四边形是平行四边形，由长度再变化，当时，即即可得到四边形是菱形，即可判断③；由四边形是平行四边形，的大小再变化，当时，四边形是矩形，只有当时，四边形是正方形即可判断④【详解】解：如图，连接，分别平分和，，，，即，故①错误；D，F分别是的中点，是三角形的中位线，，与等底等高，与的面积相等，E是的中点，的面积等于的一半，的面积是面积的一半，故②正确；，四边形是平行四边形，的大小不变，若是菱形，则，，当时，则是菱形成立，故③正确；同理，当时，四边形是矩形，当且仅当时，四边形是正方形，故④错误；故正确的有②③.19．【正确答案】（1）3（2）【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键.（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先根据负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可．【详解】（1）解：；（2）解：．20．【正确答案】见详解【分析】根据勾股定理，在数轴上构造直角边为2和，构造直角边为2和，利用画弧截取的方式得出答案．【详解】解：如图所示．21．【正确答案】，【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式，当时，原式．22．【正确答案】见详解【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形．【详解】证明：连接，交于O，如图所示：∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，即．∴四边形是平行四边形．23．【正确答案】（1）是直角三角形；（2）．【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用．（1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可；（2）由是的边上的高，利用面积法计算即可．【详解】（1）解：∵在中，，，，根据勾股定理，∵，∴是直角三角形；（2）解：∵是的边上的高，∴，∴．24．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定．（1）先证明四边形是平行四边形，再证明其临边相等即可；（2）过点作于，先求BO，再求，最后根据勾股定理求．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点、分别是、的中点四边形是平行四边形，且四边形是菱形；（2）如图，过点作于由（1）知，四边形是菱形，，．25．【正确答案】（1）见详解；（2）80°.【分析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．26．【正确答案】（1）（2）①见详解，；②见详解，【分析】（1）由点在