2025-2026学年北京市海淀区师达中学七年级下学期期中数学试卷（含答案）

/北京市海淀区师达中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷一、单选题1．下列各组图形中，能将其中一个图形通过平移得到另一个图形的是（

）A．B．C．D．2．已知，下列不等式中，成立的是（

）A． B．C． D．3．如图，直线，相交于点O，如果，那么的度数为（

）

A．150° B．120° C．60° D．30°4．如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（

）A．1和2之间 B．2和3之间C．3和4之间 D．4和5之间6．在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则（

）A． B． C． D．7．如图，下列条件中能判断的是（

）①；②；③；④．

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④8．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（）

A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q9．如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30°)．用同样的方法将点B，C的位置分别记作B(8，60°)，C(4，60°)，则观测点的位置应在(

)

A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O410．在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论：①第四象限内有无数个“1和点”；②第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；③y轴上没有“3和点”；④若第三象限内没有“k和点”，则．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④二、填空题11．有理数的算术平方根是______．12．如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为__________．13．已知，且，则y的取值范围是__________．14．如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是__________．15．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________．16．已知整点在平面直角坐标系内做“跳马运动”即中国象棋“日”字型跳跃例如，如图，从点A做一次跳马运动可以到点B，但是到不了点设做一次跳马运动到，再做一次跳马运动到点，再做一次跳马运动到点…，如此继续下去．已知的坐标是．（1）若，则点的坐标为__________；（2）规定每一次只向y轴的正方向跳跃即纵坐标始终增大，若，则点，…的横坐标最大值为__________．三、解答题17．计算：18．解方程组：19．解不等式组：，并写出它的所有整数解．20．如图，已知直线，相交于点，射线平分，于点，

（1）求的度数；（2）试判断射线是否平分，并说明理由．21．完成下面的证明．已知：如图，，．求证：．证明：∵，（已知）∴____________=____________．（____________）∵，（已知）∴____________．（同角的补角相等）∴．（____________）22．已知关于x、y的方程组的解满足不等式，求a的取值范围．23．某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表：种类长征系列画册红色经典故事进价元/套300x售价元/套y100该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元利润=售价-进价求表中x、y的值．24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点B，C的坐标分别是，．（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；（2）把先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到，请在图中画出，并写出，，的坐标；（3）y轴上是否存在点P，使的面积是的面积的2倍，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．25．设x是有理数，我们用表示不小于x的最小整数，如，，，在此规定下，任何一个有理数都能写成如下形式：，其中（1）直接写出与x，的大小关系；（2）根据（1）的关系式，解决下列问题：①求满足的x取值范围；②解方程：26．如图1，已知，．（1）设，，直接写出、之间的数量关系；（2）如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；（3）在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数．27．在平面直角坐标系中，对于点，定义点A的“离心值”例如：对于点，因为，所以．（1）已知，，，将、、按从小到大的顺序排列用“”连接______；（2）如图1，点，，点在线段PE上．①若，写出点M的坐标；②在图1中画出满足的点M组成的图形；（3）已知点，，，，若以点P、Q、E、F为顶点的四边形的边上存在离心值为1的点，则m的取值范围是______．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的定义是正确解答的关键．根据平移的定义和性质进行判断即可．【详解】解：A、一个图形通过旋转可得到另一个图形，故此选项不符合题意；B、一个图形通过平移可得到另一个图形，故此选项符合题意；C、一个图形通过旋转可得到另一个图形，故此选项不符合题意；D、一个图形通过翻折可得到另一个图形，故此选项不符合题意；故选B．2．【正确答案】C【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，逐一判断即可．【详解】解：A．，，故本选项不符合题意；B．，，故本选项不符合题意；C．，，故本选项符合题意；D．，，故本选项不符合题意．故选C．3．【正确答案】B【分析】根据对顶角相等得出，进而求出，再根据邻补角求出答案．【详解】解：∵，，∴，∴，故选B．4．【正确答案】B【分析】先求出的范围，再求出的范围，即可求出哪个点表示．【详解】解：∵1＜＜2，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣2+1＜＜﹣1+1，即﹣1＜0，故点B是表示的点，故选B．5．【正确答案】C【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可．【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为，∵，∴；故选C．6．【正确答案】C【分析】根据平面直角坐标系中，各象限内点的坐标特征可判断出，进而即可解答．【详解】∵点位于第三象限，∴，∴．故选C．7．【正确答案】D【分析】根据平行线的判定定理，逐项分析即可得出答案．【详解】解：∵，∴（同位角相等，两直线平行），故①能判断；∵，∴（内错角相等，两直线平行），故②能判断；∵，∴（同位角相等，两直线平行），故③不能判断；∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），故④能判断；判断的是①②④，故选D．8．【正确答案】D【分析】本题要求掌握不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想．【详解】观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q．故选D．9．【正确答案】A【分析】根据点A的位置记作A（8，30°），B（8，60°），C（4，60°），通过操作即可得出观测点的位置．【详解】如图所示，连接BC，并延长，经过点O1，可得观测点的位置应在点O1，故选A．

10．【正确答案】D【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握“k和点”的定义是解题的关键．根据“k和点”的定义，逐一判断即可．【详解】解：①“1和点”满足横、纵坐标之和为1，第四象限内的点横坐标，纵坐标，只要，即可满足，有无数个这样的点，所以第四象限内有无数个“1和点”，①正确；②“2和点”满足，第一、三象限的角平分线上的点横、纵坐标相等，即，将代入，解得：，，只有这一个点，所以②错误；③y轴上的点横坐标，“3和点”满足，当时，，所以y轴上有“3和点”，所以③错误；④第三象限内的点横、纵坐标都为负数，即，，所以，所以第三象限内没有“k和点”，则故④正确．故选D11．【正确答案】【分析】本题主要考查了算术平方根，根据算术平方根的概念进行计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键．【详解】解：有理数的算术平方根是.12．【正确答案】1【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程中即可求出m的值．【详解】解：把代入关于x，y的二元一次方程中，得，解得.13．【正确答案】/【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得出答案．【详解】解：，，，.14．【正确答案】【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，解题时要熟练掌握并能根据题意求出大正方形的面积是关键．依据题意，先求出该正方形的面积为5，从而可以计算得解．【详解】解：由题意，小正方形边长分别为1和2，拼成的大正方形的面积为，拼成的大正方形的边长为15．【正确答案】/80度【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键．过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解．【详解】解：过E作，，，，，，，，16．【正确答案】或；【分析】（1）根据“跳马运动”的规则可知的坐标．（2）根据的纵坐标求出两种跳马类型出现的次数，然后再依据点的横坐标结合两种跳马类型出现的次数，即可确定出答案，本题考查了点在平面直角坐标系中的位置，涉及到一元二次方程组及一元一次方程的知识，熟练应用方程（组）解决有关点的坐标问题是解答本题的关键．【详解】解：（1）如图，根据跳马运动规则，可以先跳到或，然后再跳到，

∴的坐标为或.（2）如图，点P沿着y轴正半轴每向上作一次跳马运动，分为两种情况∶第一种是A型：跳到A点，纵坐标增加1；另一种是B型：跳到点B，纵坐标增加2．设点跳到，这21次跳马运动包含第一种x次，第二种y次，根据题意列方程组，解得：，为了使点，…的横坐标有最大值，可假定从开始跳到到时横坐标最大，期间横坐标始终增大；然后从跳到期间，横坐标始终减小．根据题意，，解得∶．的横坐标为∶．故答案为∶22．17．【正确答案】【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据立方根，算术平方根，绝对值的定义进行计算，再运算加减法，即可作答．【详解】解：．18．【正确答案】【分析】用加减消元法或代入消元法均可．【详解】解：①+②得：3x=6，解得x=2，将x=2代入①得y=3，∴方程组的解为．19．【正确答案】；，0，1，【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．【详解】解：解不等式，得：解不等式，得：，原不等式组的解集为，满足题意的整数解为，0，1，20．【正确答案】（1）（2）平分，理由见详解【分析】（1）利用对顶角相等，角平分线的定义，垂线的性质求解即可．（2）平分．分别求出，即可判断．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（2）解：平分．理由：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴平分．21．【正确答案】见详解【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，根据题意，则，根据，等量代换，则，再根据平行线的判定，即可．【详解】证明，如下：∵，（已知）∴．（两直线平行，同旁内角互补）∵，（已知）∴．（同角的补角相等）

∴．（内错角相等，两直线平行）22．【正确答案】【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式．先用加减消元法分别求出x、y的值，然后把x、y的值代入不等式，即可求出a的取值范围．【详解】解：，①+②得，把代入①得：，，，解得故a的取值范围是23．【正确答案】x的值为60，y的值为【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：根据题意得：，解得：答：x的值为60，y的值为24．【正确答案】（1）见详解（2）画见详解；，，（3）存在，或【分析】（1）依据点B，C坐标分别为（−1，1），（0，3）即可得到原点的位置，进而得出直角坐标系；（2）依据平移的方向和距离，即可得到；（3）y轴上是否存在点P，依据△PBC的面积等于△ABC的面积的2倍，即可得到点P的纵坐标的值．【详解】（1）解：建坐标系如图所示：（2）解：画出如图所示.，，（3）解：∵∴∴∵∴或．25．【正确答案】（1）（2）①；②或【分析】本题考查了新定义在一元一次不等式中的应用，按照定义正确列式是解题的关键．解该不等式，并结合为整数，可求得x的值．（1）利用，，其中及定义“表示不小于x的最小整数”可得解；（2）①由（1）中与x，的大小关系，得不等式，求解即可；②由（1）中与x，的大小关系，得不等式，求解即可．【详解】（1）解：表示不小于x的最小整数，，其中；（2）解：①，，，解得：，满足的x的取值范围为；②，依题意得：，且为整数，，解得：，，整数为2或3，或26．【正确答案】（1）（2）不发生变化，的度数为；（3）或【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．（1）过点作，则有，，再根据直角得到结论；（2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论；（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情