2025-2026学年天津市第二十一中学下学期八年级数学期中试卷（含答案）

/天津市第二十一中学2025-2026学年下学期八年级数学中试卷一、单选题1．下列根式中不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（

）A． B．C． D．3．正方形面积为，则对角线的长为（）A．6 B． C．9 D．4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（

）．A． B． C． D．5．如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（

）A． B． C． D．7．如图，在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则菱形的周长为（）A． B． C． D．8．如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（）A．12 B．6 C．4 D．39．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（

）A．3 B． C． D．410．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米11．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．412．如图所示，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题13．已知菱形的对角长，，则菱形的面积为________．14．在中，，．（1）若，则________，________；（2）若，则________．15．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________．

16．如图，正方形的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且，则四边形的面积为__________．

17．（1）如下图，在的网格中，________．（2）点、、、、是如下图所示的正方形网格中网格线的交点，则________．（3）如下图，在正方形网格中，、、、、均为格点，则________．18．如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________．三、解答题19．计算：（1）；（2）．（3）20．已知a、b满足等式．

（1）求出a、b的值分别是多少？（2）试求的值．21．如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知．（1）求证：；（2）若，，求的长．22．通过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做和谐三角形．（1）根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形和谐三角形．（填写“是”或“不是”）（2）已知某三角形的三边的长分别为，3，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由．（3）在，三边长分别为a，b，c，且，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由．23．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．

（1）求证：四边形为平行四边形（2），求线段的长度．24．如图1，在菱形中，，为边上一点，为延长线上一点，．（1）求证：；（2）连接，若，，则________；（3）如图2，交于点，延长，交的延长线于点，探究，与的数量关系．并说明理由．25．已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边A，DC上.

（1）如图1，若，，求的度数；（2）如图2，若，点E，F分别是上的动点，求证：的周长是定值；（3）如图3，若，和交于点O，且，求请直接写出线段的长度.

答案1．【正确答案】C【详解】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开的尽方的因数或因式．=2，故不是最简二次根式．故选C．2．【正确答案】D【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；故选D．3．【正确答案】B【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．【详解】设对角线长是x．则有x2=36，解得：x=6．故选B．4．【正确答案】D【分析】根据题意得出b＜0＜1＜a，进而化简求出即可．【详解】解：由数轴可得：b＜0＜1＜a，则原式=a-b．故选D．5．【正确答案】D【详解】解：（1）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．（2）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．（3）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．（4）S1=，S2=，S3=，∵，∴S1+S2=S3．综上，可得：面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．故选D．6．【正确答案】B【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A．，故可以构成直角三角形，不符合题意；B．，故无法构成直角三角形，符合题意；C．，故可以构成直角三角形，不符合题意；D．，故可以构成直角三角形，不符合题意．故选B7．【正确答案】C【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C．8．【正确答案】B【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，则CDAB12＝6，故选B．9．【正确答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，先根据两点距离计算公式得到，再由矩形对角线相等即可得到．【详解】解；如图所示，连接，∵点的坐标是，∴，∵四边形是矩形，∴，故选C．10．【正确答案】A【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则：，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴，设，则，在中，，在中，，∵，∴，即：，解得：，∴，∴．故选A．11．【正确答案】A【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定与性质，中点四边形的性质，由中点四边形的性质得出四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可判断①；由矩形的判定即可判断②；由平行四边形的性质即可判断③；由正方形的判定与性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：点分别是四边形边的中点，，，，，四边形是平行四边形，①若，则，则四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意；②若，则，则四边形为矩形，故原说法错误，不符合题意；③若四边形是平行四边形，不能判定与互相平分，故原说法错误，不符合题意；④若四边形是正方形，则，，则与互相垂直且相等，故原说法正确，符合题意；综上所述，正确的有④，共个，故选A．12．【正确答案】C【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上定理与性质是解题关键．由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得，可判断①；然后延长，交延长线于，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，可得，再证明，可判断②；由，可得，结合，则，可判断③；设，则，再分别表示：，，从而可判断④．【详解】解：①∵是的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故①正确；②如图，延长，交延长线于，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵为中点，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故②正确；③∵，∴，∵，∴，故③错误；④设，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故④正确．综上可知：一定成立的是①②④，故选C．13．【正确答案】36【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题．【详解】解：∵四边形是菱形，，，∴菱形的面积．14．【正确答案】2；；【分析】本题考查了直角三角形中特殊角的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握含角的直角三角形性质以及勾股定理的应用．（1）利用含角的直角三角形性质求出，再用勾股定理求．（2）利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出和．【详解】在中，．，即．将代入，.（2）在中，，则，．．由勾股定理，又，则，解得．15．【正确答案】【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．【详解】如图：过点作于点，

，由题意得：平分，，，，，，，.16．【正确答案】1【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决．【详解】解：∵四边形ABD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面积＝△BOF的面积，∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1.17．【正确答案】45；45；45【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等，正确作出辅助线是解题的关键；（1）证明，得到，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，，则，据此可得答案；（2）连接．设图中每个小正方形的边长为，由勾股定理的逆定理和勾股定理证明，是等腰直角三角形，则可得到．再由平行线的性质可得，据此可得答案；（3）证明，得到．则．同理可得，即。【详解】解：（1）如图，连接，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，.（2）如图，连接．设图中每个小正方形的边长为，∴，，，，，，是等腰直角三角形，．由题意得，，，，.（3）如图，连接、，∵，∴，∴．，．设图中每个小正方形的边长为，由勾股定理得，，，，是等腰直角三角形，，，即.18．【正确答案】13【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．【详解】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，∵AP=CQ，∴AD-AP=BC-CQ，∴DP=QB，DPBQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PBDQ，PB=DQ，则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB=PE，∴PC+PB=PC+PE，连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，∵BE=2AB=12，BC=AD=5，∴CE==13．∴PC+PB的最小值为13．19．【正确答案】（1）（2）（3）7【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的混合运算即可．（1）把二次根式化为最简二次根式后合并即可；（2）先根据二次根式的乘法计算，再化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（3）前半部分利用平方差公式计算，后半部分根据二次根式的除法法则计算，最后进行加减运算。【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．（3）解：原式．20．【正确答案】（1）a=3，b=﹣9；（2）﹣6．【分析】（1）根据二次根式的定义得2a﹣6≥0且9﹣3a≥0；（2）根据二次根式的性质，先化简，再加减.【详解】（1）由题意得，2a﹣6≥0且9﹣3a≥0，

解得a≥3且a≤3，所以，a=3，b=﹣9（2），

=，=6﹣9﹣3，=﹣6．21．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键．（1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明；（2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长．【详解】（1）证明：点为的中点，，，，在和中，，；（2）解：，，四边形是平行四边形，，点为的中点，，，．22．【正确答案】（1）是（2）该三角形是和谐三角形，理由见详解（3）当c为斜边时，该三角形不是和谐三角形，当b为斜边时，该三角形是和谐三角形，理由见详解【分析】（1）直接利用和谐三角形的定义进行判断即可；（2）根据及和谐三角形的定义即判断；（3）需要进行分类讨论，当c为斜边，b为斜边时进行分类讨论．【详解】（1）解：是，理由如下：不妨设等边三角形的边长为，则，则，所以等边三角形是和谐三角形，故是．（2）解：该三角形是和谐三角形．理由：∵，∴该三角形是和谐三角形．（3）解：①当c为斜边时，，而，，，不满足两边的平方和等于第三边平方的2倍，∴该三角形不是和谐三角形．②当b为斜边时，，∵，∴，∴该三角形是和谐三角形，答：当c为斜边时，该三角形不是和谐三角形，当b为斜边时，该三角形是和谐三角形．23．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．【详解】（1）解：∵点D、E分别为的中点，∴，∵点G、F分别为、的中点．∴，∴，∴四边形为平行四边形；（2