2020世少赛九年级模拟卷配套2020真题试题及答案

2020世少赛九年级模拟卷配套2020真题试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.一元二次方程$x^2-3x+2=0$的根是（）A.$x_1=1$，$x_2=2$B.$x_1=-1$，$x_2=-2$C.$x_1=1$，$x_2=-2$D.$x_1=-1$，$x_2=2$2.若点$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，则（）A.$y_1<y_2<y_3$B.$y_2<y_1<y_3$C.$y_3<y_2<y_1$D.$y_1<y_3<y_2$3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.圆4.下列计算正确的是（）A.$a^2+a^3=a^5$B.$a^2\cdota^3=a^6$C.$(a^2)^3=a^6$D.$a^6\diva^2=a^3$5.已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形6.下列命题中，假命题是（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.对角线相等的菱形是正方形7.化简$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}-\frac{x-1}{x+1}$的结果是（）A.$-\frac{2}{x+1}$B.$\frac{2}{x+1}$C.$-\frac{2}{x-1}$D.$\frac{2}{x-1}$8.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A.15πcm^2B.20πcm^2C.25πcm^2D.30πcm^29.若关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+m=0$有两个相等的实数根，则$m$的值是（）A.-1B.0C.1D.410.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB=6，BC=8，则△AOE的面积是（）A.6B.12C.24D.48二、填空题（每题2分，共20分）1.计算：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=$______。2.分解因式：$x^3-4x=$______。3.不等式组$\begin{cases}x+1>0\\2x-1<3\end{cases}$的解集是______。4.数据2，4，5，6，8的中位数是______。5.若$x^2+kx+9$是完全平方式，则$k=$______。6.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长是______。7.方程$x^2-2x-3=0$的解是______。8.已知点A(1，y_1)，B(2，y_2)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且$y_1<y_2$，则k的取值范围是______。9.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，则△ADE与△ABC的周长之比是______。10.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=1/4CD，连接AE，AF，EF，设△AEF的面积为S，则S的值是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.方程$x^2-3x+4=0$有两个不相等的实数根。（）2.对角线互相垂直的四边形是菱形。（）3.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。（）4.若$a>b$，则$a^2>b^2$。（）5.圆锥的侧面展开图是一个扇形。（）6.相似三角形的对应边成比例，对应角相等。（）7.函数$y=\frac{1}{x}$的图象在第一、三象限。（）8.数据1，2，3，4，5的方差是2。（）9.矩形的对角线相等且互相垂直。（）10.若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是八边形。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.先化简，再求值：$(a+2)(a-2)+a(4-a)$，其中$a=\frac{1}{4}$。2.解方程组：$\begin{cases}3x+2y=7\\2x+3y=8\end{cases}$。3.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。4.某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：|产品|A|B||--|--|--||成本（万元/件）|2|5||利润（万元/件）|1|3|若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？五、讨论题（每题5分，共20分）1.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)。（1）求该二次函数的解析式。（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。（3）当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，点F是BC边上的动点，且∠EDF=90°。（1）求证：△ADE∽△BDF。（2）设AE=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式。（3）当△DEF是等腰三角形时，求AE的长。3.如图，在⊙O中，AB是直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB于点D，E是BC的中点，连接DE。（1）求证：DE是⊙O的切线。（2）若BC=2$\sqrt{3}$，DE=3，求⊙O的半径。（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积。4.某商场销售一种进价为每件20元的护眼台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，当销售单价为25元时，每天可卖出250件；当销售单价为30元时，每天可卖出200件。（1）求y与x之间的函数关系式。（2）如果商场要想每天获得2000元的利润，并且使销售量尽可能大，那么销售单价应定为多少元？（3）设商场每天获得的利润为w元，当销售单价定为多少元时，商场每天获得的利润最大？最大利润是多少元？答案：一、单项选择题1.A2.D3.D4.C5.D6.B7.A8.A9.C10.A二、填空题1.$\sqrt{3}$2.$x(x+2)(x-2)$3.$-1<x<2$4.55.±66.2π7.$x_1=-1$，$x_2=3$8.$k>0$9.2:510.10三、判断题1.×2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.原式$=a^2-4+4a-a^2=4a-4$，当$a=\frac{1}{4}$时，原式$=4\times\frac{1}{4}-4=-3$。2.①×3得：$9x+6y=21$③，②×2得：$4x+6y=16$④，③-④得：$5x=5$，$x=1$，把$x=1$代入①得：$3+2y=7$，$2y=4$，$y=2$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$。3.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=CD，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以AE=CF，又因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形。4.设A产品生产x件，则B产品生产(10-x)件，根据题意得：$x+3(10-x)=14$，$x+30-3x=14$，$-2x=-16$，$x=8$，则10-x=2，所以A产品生产8件，B产品生产2件。五、讨论题1.（1）设二次函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，把C(0，3)代入得：$-3a=3$，$a=-1$，所以二次函数解析式为$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$。（2）$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，所以顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线$x=1$。（3）因为$a=-1<0$，所以抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，所以当$x>1$时，$y$随$x$的增大而减小。2.（1）因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5，因为点D是AB的中点，所以AD=BD=2.5，因为∠C=∠EDF=90°，所以∠ADE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°，所以∠ADE=∠BDF，又因为∠A=∠B，所以△ADE∽△BDF。（2）因为△ADE∽△BDF，所以$\frac{AE}{BD}=\frac{AD}{BF}$，即$\frac{x}{2.5}=\frac{2.5}{y}$，$y=\frac{6.25}{x}$。（3）当DE=DF时，因为△ADE∽△BDF，所以AD=BD，所以AE=BF，因为AE=x，BF=y，所以$x=y$，代入$y=\frac{6.25}{x}$得：$x^2=6.25$，$x=\pm2.5$（舍去），当DE=EF时，过点E作EM⊥AB于点M，因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5，因为点D是AB的中点，所以CD=2.5，因为∠C=∠EDF=90°，所以四边形CEMD是矩形，所以EM=CD=2.5，DM=CE=2，因为DE=EF，EM⊥DF，所以DF=2DM=4，因为△ADE∽△BDF，所以$\frac{AE}{BD}=\frac{AD}{BF}$，即$\frac{x}{2.5}=\frac{2.5}{4}$，$x=\frac{6.25}{4}=1.5625$，当DF=EF时，同理可得$x=\frac{6.25}{4}=1.5625$，所以AE的长为1.5625或2.5。3.（1）连接OC，因为AB是直径，所以∠ACB=90°，因为E是BC的中点，所以BE=CE，因为OC=OB，所以∠B=∠OCB，因为CD⊥AB，所以∠CDB=90°，所以∠B+∠BCD=90°，因为∠BCD+∠DCE=90°，所以∠B=∠DCE，所以∠OCB=∠DCE，因为OC是半径，所以DE是⊙O的切线。（2）因为E是BC的中点，所以BE=CE=BC÷2=$\sqrt{3}$，因为DE是⊙O的切线，所以∠OED=90°，在Rt△ODE中，OD=OC-CD，设⊙O的半径为r，则OD=r-3，根据勾股定理得：$r^2=(r-3)^2+(\sqrt{3})^2$，$r^2=r^2-6r+9+3$，$6r=12$，$r=2$，所以⊙O的半径为2。（3）因为∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC=90°，所以△CDE∽△BDC，所以$\frac{CD}{BD}=\frac{DE}{CD}$，即$CD^2=BD\cdotDE$，因为BD=AB-AD=4-2=2，DE=3，所以$CD^2=2\times3=6$，$CD=\sqrt{6}$，所以$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{\triangleBCD}=\frac{1}{4}\pi\times2^2-\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{6}=\pi-\sqrt{6}$。4.（1）设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$，把(25，250)，(30，200)代入得：$\begin{cases}25k+b=250\\30k+b=200\end{cases}$，解得：$\begin{cases}k=-10\\b=500\end{cases}$，所以y与x之间的函数关系式为$y=-10x+500$。（2）根据题意得：$(x-20)(-10x+500)=2000$，$-10x^2+500x+200x-10000=2000$，$-10x^2+700x-12000=0$，$x^2-70x