数运算本质统领下“两位数除以一位数（首位不能整除）”跨学科项目化教学（三数·沪教版）

数运算本质统领下“两位数除以一位数（首位不能整除）”跨学科项目化教学（三数·沪教版）

一、教学主题与课时信息

学科领域：小学数学·数与代数

适用年级：小学三年级第一学期

教材版本：沪教版义务教育教科书《数学》三年级上册第四单元

单元定位：《用一位数除》单元第3课时——首位不能整除的两位数除以一位数笔算

核心课题：具身认知视域下“两位数除以一位数（首位不能整除）”的算理探源与模型建构

总课时：1课时（35分钟）

授课性质：核心素养导向下的大概念教学、跨学科项目化学习种子课

二、学习目标层级锚点：从“抽象表述”走向“行为锚定”

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与运算”领域第二学段要求，本课不再停留于“掌握竖式”的工具性目标，而是将看不见的核心素养拆解为可观测、可记录、可干预的具体学习行为。依据“目标层—行为层—情境层”三维联动机制，设定如下素养锚链：

（一）数学眼光与量感具身（行为锚点：动作表征）

学生能在“分彩色磁条”或“分小棒”的真实操作中，通过实物拆分自觉发现“整十数不够平均分”时所产生的认知冲突；能主动将剩余的一个十拆成10个一，并与个位原有的单根合并，用肢体动作与学具摆放复现“化整为零”的数学化过程。

（二）数学思维与算理推演（行为锚点：语义转化与反例设计）

学生能用自己的语言解释“十位余下的数为什么必须和个位移下来的数合在一起除”，而非机械记忆“落下来”；能在竖式书写过程中，同步指认每一步竖式计算对应着哪一次分拆动作，实现“程序性知识”与“概念性知识”的语义映射；能通过设计反例（如不拆开剩余的整捆是否能继续分），从反面验证“拆分与合并”的不可回避性，发展演绎推理的萌芽。

（三）数学语言与模型表达（行为锚点：符号建模与跨媒介叙事）

学生能通过“横式记录分步口算”“竖式记录抽象逻辑”“连环画脚本记录分物故事”三种不同媒介，对同一计算问题（如52÷4）进行多元表征，深刻理解除法竖式是人类对“平均分活动”最简洁、最浓缩的逻辑约定，而非凭空产生的符号游戏。

（四）跨学科迁移与社会化应用（行为锚点：工程思维启蒙）

结合科学与工程实践中的“等分与材料利用率”问题，学生能在给定长度（如彩带、铁丝）条件下，为解决“裁剪等长段”的真实任务进行试错与优化，初步建立“余数敏感性”与“资源最大化利用”的工程价值观，实现从数学课堂向社会生活的认知跃迁。

三、教学重点与弹性难点

（一）确定性重点：首位不能整除时“商的位置确定”与“余数合并除”的程序性操作。这是笔算技能的核心，必须人人过关，全员达成。

（二）弹性难点：竖式压缩逻辑与分物展开逻辑的“一一映射”。难点不在于“怎样算”，而在于“为什么这样写竖式是合理的，甚至是最好的”。此为素养发展的关键跳板，允许部分学生在此处经历较长时思考，不追求全班当堂绝对统一的无认知停顿，保留认知张力。

四、教学准备：认知工具包与思维外化载体

（一）教具系统：

1.数形结合主教具：强力磁性贴片学具（每片代表“十”，每粒代表“一”），黑板贴有数位表（百位、十位、个位），可将分物过程与竖式书写左右对照陈列，形成“左边分小棒，右边写竖式，箭头连一连”的思维可视化场域。

2.数字化增强工具：PPT动态演示“铅笔装盒”动画，支持逐帧播放与回放，尤其对“十位剩余1个十拆开”进行慢镜头特写，使用拟声词增强记忆锚点。

3.跨学科引入具象载体：工程情境卡——“我是材料员：为航天模型小组裁切等长轻木条”。

（二）学具系统：

每桌一个学具篮：4捆小棒（每捆10根）加12根散装；或使用彩色多米诺磁条（每10节一断），共计52节。同时配备软磁板，便于学生将分的过程整体粘贴展示。

五、教学实施过程：问题链驱动·思维桥接·素养梯升

本过程摒弃“例题—示范—模仿”的线性传递，采用“认知冲突产生—具身操作求解—符号化压缩—跨场景迁移”的四阶循环结构。

（一）第一阶：工程情境导入——制造认知冲突与“工具失灵”体验

1.跨学科情境投射：教师呈现航天社团真实照片——学生们正在制作长征火箭模型，需要将每根长52厘米的轻木翼梁条，平均分给4个小组用于尾部支架。学生观察后发现：整根条不能弯折，必须裁切成整厘米段，且4个小组得到的小段必须一样长。

2.问题直接抛出：52÷4等于多少？学生迅速调动已有经验：52÷2=26，因为26×2=52；但52÷4，口诀中没有直接对应的4的乘法口诀能一步到位。旧知（整除、表内除法）与新知（非整除表内口诀覆盖范围）产生认知断层。

3.暴露原始思维：教师不做任何算法暗示，直接邀请学生进行首轮“笔算前测”：请你试着写一写52÷4的竖式，哪怕不会，猜一猜怎么写。此环节采集典型错例——大量学生可能在十位商5（因为5×4=20，离5最近但超过5），或个位直接写8（因为4×8=32，忘记十位处理）。将这些错例原样呈现在黑板一侧，作为后续认知修正的靶向资源。

（二）第二阶：具身分拆与“思维桥”搭建——动手之前不抽象

1.任务驱动：每组领取52厘米模拟条（实际为10厘米长的磁条4根+1厘米磁粒12粒）。教师指令清晰：“请你们真的分一分，让4个小组拿到的材料一样长，且每一段都是完整的厘米数，不准浪费材料（即全部分完）。”

2.过程放大与关键停顿：绝大多数小组会经历以下思维历程——

第一步：先拿出4个十，每人分到一个十（10厘米）。此时磁板上显示：分掉40，还剩1个十（10厘米）和2个一（2厘米）。

第二步：认知阻塞。教师巡视时介入追问：“现在每人已经有1个十了，但还剩一整条10厘米，能直接分给4个人吗？为什么？”学生必然回答：“不能，因为10厘米分给4个人，每人分不到整厘米。”——此即“余数小于除数”的具身感知，是算理的第一块基石。

第三步：创造性突破。经过小组讨论，学生自发将这一整条10厘米磁条拆开，变成10个1厘米小磁粒，与原有的2粒合在一起，变成12粒。12÷4=3，每人再得到3粒。

第四步：结果汇总。每人分得：1个十（10厘米）+3个一（3厘米）=13厘米。验算：13×4=52。

3.语言建模：请小组代表带着磁性学具到黑板前，一边拖动磁粒，一边完整叙述分物的全过程。教师同步在黑板的左侧板书“横式分步算式”：40÷4=10，12÷4=3，10+3=13。此时不介入竖式，刻意维持“分物语言”与“横式语言”的纯化状态。

（三）第三阶：竖式发生学——将“动作电影”压缩为“逻辑照片”

1.认知冲突升级：教师追问：“刚才我们用三句话讲完了这个故事，但数学家觉得三行字还是太啰嗦，他们想用一层楼（竖式）就把这件事全部讲清楚，而且每一步都不能丢。你们猜，他们会把这句故事藏在哪里？”此问旨在将“被动接受竖式”转变为“主动发明竖式”。

2.竖式诞生四步法与元认知注释：

教师不在黑板上完整演示标准竖式，而是以“学生口述分物步骤，教师逐次板书符号”的方式，师生共建竖式。

第一步（定位商）：“先从哪一部分开始分？十位。4个十被4组平分，十位商几？”学生回答商1。教师板书：在十位上方写“1”。追问：“这个‘1’在竖式里表示什么故事？”生：“表示每人拿到了1个十。”

第二步（乘减）：“分掉了多少？”生：4个十，即40。教师板书：1×4=4，写在十位下，5-4=1。追问：“这个减出来的‘1’是什么故事？”生：“是分完十位后还剩的1个十。”

第三步（落位合并）：“剩下的这1个十能直接分吗？不能。所以我们把它和个位的2请下来，变成12。”教师用彩色粉笔（或红色箭头）从被除数个位引下“2”，与前一步余数“1”视觉并置为“12”。此处必须进行元认知语感训练：全班齐说——“为什么落2？因为2在等着合并；为什么能合并？因为十位的1已经拆成了10个一。”

第四步（个位再除）：“12÷4，个位商3，3×4=12，12-12=0。”板书完整。

3.竖式-动作双向连线：学生用软磁板将自己刚才分好的小棒模型保持不动，另一只手在练习本上书写竖式。教师指令：“请用铅笔在你的竖式上画箭头，从竖式的每一步指向磁板上对应的那堆小棒。比如，‘12’这个数字，在磁板上是哪一堆小棒？”学生需要发现：磁板上根本没有单独的一堆“12根”，而是“1条拆开后的10粒与原有的2粒混合”。这一发现极为关键——学生从此理解竖式中的“12”是一个动态组合的结果，而非静态的既有数字。

4.反例证伪法：教师呈现课前采集的典型错例（如直接在十位商2，52÷4=1?），组织“数学医院”诊断。学生运用刚才建立的映射标准，一针见血指出：“商2太大了，因为2×4=8，8-5减不动；商1太小了？不，不是商小，是步骤错了，应该先分十位再分个位，不能跳步。”

（四）第四阶：变式比较与结构化贯通——打破“一课一得”的碎片化

1.同位异质比较：呈现两组算式组——

A组：52÷4=13，72÷3=24，91÷7=13（首位不能整除，且十位均有余数）。

B组：42÷2=21，84÷4=21，63÷3=21（首位能整除）。

学生观察：两组在分物第一步有什么本质区别？A组第一次分完总会有剩余，必须拆；B组第一次分完干干净净，无需拆。继续追问：拆与不拆，在竖式上最明显的记号是什么？学生聚焦——A组竖式十位写完乘积后一定有减法且差不为0，B组十位差为0且个位直接除。

2.算法多样性确认：教师出示一种非主流正确算法——如52÷4，先将52看成50和2，50÷4=12……2，2+2=4，4÷4=1，12+1=13。问：这样对吗？为什么可以这样？引导学生评价：思路正确，但步骤比标准竖式更繁琐，且容易遗忘余数的处理。通过对比，学生心悦诚服地认同：除法竖式之所以被全世界通用，是因为它把“拆、合、除、减”安排得最严谨、最不会遗漏。

3.模型抽象：师生共同提炼两位数除以一位数（首位不能整除）的“三字诀”——从高位、商对齐、余下数、合起除。但强调：口诀是为了方便记忆，不是为了替代思考。凡是忘记口诀时，只要想象“分小棒”的动作，就能还原竖式。

（五）第五阶：跨学科项目输出——数学逻辑反哺工程设计

1.微项目发布：“为学校劳技教室设计最优裁剪方案”。任务单：

——场景A：一根彩带长58厘米，要扎成5束同样的花，每束用彩带多少厘米？还剩多少厘米？

——场景B：一根铝丝长74厘米，要折成6个相同的正方形框架，每个框架边长多少厘米？如何裁剪最节省？

2.素养嫁接点：数学计算出结果（58÷5=11……3）后，科学教师（或由数学教师兼任）追问：“剩下的3厘米，在现实中还能做什么？”学生讨论：可以回收做小挂饰、连接成更长的带子、或作为废料率统计。教师引出工程思维核心概念——材料利用率。学生计算：若用52厘米裁4段13厘米，利用率100%；若用58厘米裁5段11厘米，利用率94.8%。并非所有除法都能完美分完，有余数是常态，学会接受并优化余数处理，是理性思维与工程伦理的双重启蒙。

3.认知复盘：学生完成“KWL反思卡”——Know（这节课我知道了竖式每一步对应分东西的动作）；Wonder（我还想知道三位数除以一位数怎么分，分不完怎么办）；Learn（我学会了遇到不够分就拆开）。

六、表现性评价量规：从“结果对错”转向“思维丰满”

本课不使用单一的对勾叉号评价，而是采用“认知流畅度+语义转化度+工具创新度”三维表现性评价，全程嵌入小组互评与教师观察记录。

（一）水平1（记忆复现型）：能模仿例题完成52÷4的竖式计算，但无法独立解释“为什么十位商1而不商2”，在分物操作中需要同伴全程提示下一步动作。评价干预：启动同伴微辅导，回归学具操作。

（二）水平2（理解关联型）：能独立进行首位不能整除的计算，且能用自己的话讲述竖式每一部分对应哪一步分物过程。能在给定标准题中稳定迁移。评价认定：达成基础性教学目标。

（三）水平3（批判迁移型）：不仅掌握算法，能主动发现同伴错例中“数位不对齐”“余数漏掉”的根源，并能用学具演示加以纠正；在跨学科情境任务中，能主动使用除法估算判断“方案是否可行”，并尝试提出“余数再利用”的非标准解法。评价认定：高阶思维发生，授予“数学工程师”勋章。

七、作业设计：长程学习与思维反刍

（一）必做·夯实性作业：

任选2道首位不能整除的算式（如85÷5，96÷7），完成“三位一体”作业单——第一格：画一画（用圆圈图表示分的过程）；第二格：写一写（横式分步算式）；第三格：算一算（竖式计算并用箭头连接关键数字与图示）。此作业旨在强迫思维外显，防止竖式沦为纯程序操练。

（二）选做·探究性作业（跨学科融合）：

家庭实验室任务：测量一根吸管的长度（整厘米数），尝试将它平均剪成3段或5段。先通过除法算出每段理论长度，再用剪刀实际操作。如果除不尽，测量实际剩余长度与数学余数是否一致？思考：为什么有时候剪刀剪出的长度和算出来的有误差？（引导误差分析：测量误差、裁剪损耗、材料延展性）——此任务将数学“理想分物”与工程“现实加工”进行认知剥离，帮助学生建立更加辩证的数学现实观。

（三）挑战性作业·数学微写作：

题目：《如果没有小棒，我怎么相信竖式是对的？》。要求学生尝试不用学具，仅凭逻辑推理向同桌或家长证明“52÷4=13”是唯一正确的答案。鼓励学生使用乘法逆运算、连减法、加法等多种途径进行三角互证，培养演绎推理与说理能力。

八、板书设计：思维生长的化石记录

黑板分为三区，全程保留师生共创痕迹，拒绝擦除重写：

左区（具身区）：磁性学具定格展示“52根分4份”的最终布局，旁边配有学生手写的分步横式。

中区（符号区）：师生共建的标准竖式，竖式两侧放射状粘贴彩色箭头便利贴，便利贴上由学生亲笔书写箭头所指竖式部分对应的“动作注释”——如“这是剩下的1捆”“这是拆开后的10根”“这是合起