小学数学五年级下册“因数与倍数”单元错题辨析与培优专题教学设计

小学数学五年级下册“因数与倍数”单元错题辨析与培优专题教学设计

一、教学基本信息

（一）课题名称：基于核心素养的“因数与倍数”单元深度辨析与思维进阶专题课

（二）学科与学段：小学数学五年级下册

（三）课时安排：2课时（每课时40分钟，可分两次实施，也可整合为80分钟的大课时）

（四）授课对象：已完成“因数与倍数”单元新授课学习，但在练习与检测中呈现出典型共性错误，且需要进一步提升思维层次的学生群体。本设计兼顾基础薄弱学生的查漏补缺与优等生的思维拓展。

二、教学背景与设计理念

（一）设计理念

本教学设计深度契合《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，以发展学生核心素养为导向，特别是聚焦“数感”、“量感”、“推理意识”和“抽象意识”。本课并非简单的习题讲评，而是将“错题”作为一种宝贵的教学资源，通过“辨析-归因-矫正-重构-拓展”的认知路径，引导学生在对典型错误的深度剖析中，完成对“因数与倍数”这一核心概念体系的自我建构与完善。同时，融入大单元教学理念，打通本单元知识与后续分数运算、数论初步学习的内在关联，通过结构化的变式练习和探究性问题，实现从知识习得到思维品质提升的跨越。

（二）教学内容分析

“因数与倍数”是数论知识在小学阶段的启蒙，是学生从研究“一个数”的单一属性，转向研究“数与数之间关系”的重要转折点。【基础】【核心概念】本单元核心知识体系包括：因数和倍数的相互依存关系、2、3、5倍数的特征、奇数和偶数、质数和合数、以及分解质因数。这些概念抽象、易混，且逻辑推理要求高，是学生形成初步的数学抽象和逻辑推理能力的关键载体。学生在新授阶段暴露出的错误，往往集中于概念本质理解不清、判断依据混淆、以及无法灵活运用概念解决综合性问题。

（三）学情分析

五年级学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期，仍需要具体例子的支撑，但已经开始具备初步的逻辑推理潜能。

【常见错因深度分析】：

1.概念依存性模糊：常孤立地说“2是因数，8是倍数”，忽略了“相互依存”的关系表达。

2.特征与概念混淆：例如，能熟练判断一个数是否是2、3、5的倍数，但在判断质数、合数时，却忘记从“因数的个数”这一本质出发，而错误地只看个位或进行不完全试除。【难点】

3.合数分解的不彻底性：在分解质因数时，常出现分解结果中仍有合数，或表达格式不规范（如不使用连乘式）。【基础】

4.综合应用能力薄弱：在面对“组数问题”、“密码破译”、“求一个数的最小因数与最大因数”等实际问题时，缺乏有序思考和全面分类讨论的意识。【重要】【高频考点】

三、教学目标设计

（一）基础性目标（面向全体）

1.通过典型错题的辨析与矫正，进一步理解因数、倍数、质数、合数等核心概念的本质，厘清概念间的内在联系与区别。

2.熟练掌握2、3、5倍数的特征，能准确、快速地判断一个数的奇偶性以及其是否为质数或合数（100以内）。

3.能规范、正确地对合数进行分解质因数。

（二）拓展性目标（面向多数）

1.经历“找错因、析错因、改错题、编错题”的过程，初步形成反思与自我修正的学习习惯。

2.能运用本单元知识，解决简单的、需要分类讨论和有序思考的实际问题，发展推理意识和应用意识。

（三）挑战性目标（面向学有余力者）

1.能够从“因数个数”的视角重新审视自然数的分类，感知自然数的无限性和数论研究的基本方法。

2.能创造性地将本单元知识与已学的奇偶性分析、未学的公因数思想等结合，解决具有一定开放性的思维挑战题，形成初步的数论探究能力。

四、教学重难点

（一）教学重点：核心概念（因数倍数依存性、质数合数本质特征）的深度辨析与典型错误的彻底矫正。

（二）教学难点：1.在复杂情境中，综合运用概念进行逻辑推理和有序分类讨论（如：既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数等）。2.建立“因数个数”的模型思想，为后续学习奠定基础。

五、教学准备

教师准备：精选并整理班级及区域内同类学校的典型错题形成“错题集锦”；设计“课前自我诊断卡”；制作希沃白板课件（包含错题动画演示、思维导图构建、互动游戏）；设计分层“挑战卡”。

学生准备：完成“课前自我诊断卡”，梳理自己在“因数与倍数”单元中最困惑的1-2个问题；回顾本单元知识，尝试绘制简单的知识网络图。

六、教学实施过程（核心环节）

第一课时：聚焦错因，澄清概念（基础辨析与矫正）

（一）唤醒经验，暴露元认知（约5分钟）

1.开门见山，揭示课题：同学们，我们已经完成了“因数与倍数”的学习。数学家笛卡尔曾说：“最有价值的知识是关于方法的知识。”今天，我们不急于做新题，而是通过分析我们自己的“思维痕迹”——错题，来寻找更优的思考方法。请看大屏幕（展示几道具有代表性的学生错题原稿截图，隐去姓名）。

2.任务驱动：请快速浏览老师发给大家的“课前自我诊断卡”中的共性错题（【材料1】），这些题目，有的是我们练习中的，有的是单元测验里的。请你在小组内轻声交流一下，看看这些题最容易在哪里出错？初步感知错误类型。

（二）任务一：辨析核心，破除迷思——聚焦“依存关系”与“特征误用”（约15分钟）【非常重要】

1.错题情境1：概念依存性错误

原题呈现：判断“因为8÷4=2，所以8是倍数，4是因数。”（学生常见判断为“正确”）。

辨析引导：

（1）师：这道题错在哪里？请大家抓住关键词。（引导学生关注“是倍数”、“是因数”的表述）

（2）生讨论后反馈：必须说“谁是谁的倍数”，“谁是谁的因数”。倍数和因数表示的是两个数之间的关系，不能单独存在。

（3）师：【核心点拨】没错，因数和倍数就像一对形影不离的朋友，它们是相互依存的。【板书模型】A是B的倍数，B是A的因数。我们可以用“一对儿”来理解它们。

（4）变式巩固：判断“因为18÷3=6，所以18是倍数，3和6是因数。”（进一步巩固依存关系的表达，并渗透一个数的因数可以是多个）

2.错题情境2：2、3、5倍数特征与质数合数本质混淆

原题呈现：判断“一个数如果个位上是3、6、9，那么这个数一定是3的倍数。”（学生常见判断为“正确”）以及“所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。”（学生常见判断为“正确”）。

辨析引导：

（1）展示第一题。师：3的倍数的特征是什么？判断一个数是否是3的倍数，关键看什么？（引导学生明确：看各个数位上的数字之和是否是3的倍数，个位特征只适用于2和5）

（2）举例反证：13、16、19、23等，个位是3、6、9，但除以3有余数。请学生现场计算验证。

（3）展示第二题。师：判断一个数是质数还是合数，我们的依据是什么？是看它是奇数还是偶数吗？

（4）生：【本质回归】质数与合数的分类标准是“因数的个数”。只有1和它本身两个因数的数是质数；除了1和它本身还有别的因数的数是合数。

（5）引导辨析：奇数里有没有合数？（如9、15、21、25……）偶数里有没有质数？（2，唯一的偶质数）【重要】【高频考点】从而引出“2”的特殊性。

（6）【构建知识网络】：教师在黑板上或课件中，动态构建以“因数的个数”为核心，辐射出质数（2个因数）、合数（2个以上因数）、1（1个因数）的分类体系，并与奇数、偶数（按是否是2的倍数分类）这两条线进行对比，形成十字交叉图。【非常重要】

（三）任务二：操作矫正，规范表达——聚焦“分解质因数”与“找因数倍数”（约15分钟）【基础】

1.错题情境3：分解质因数格式不规范或不彻底

原题呈现：把18分解质因数。错误答案示例：18=2×9；18=1×2×3×3；或者写成18=2×3×3，但过程用短除法时，除数选用了合数。

辨析引导：

（1）展示错误。师：这些答案为什么不对？问题出在哪里？

（2）逐项分析：“18=2×9”为什么不行？（因为9是合数，还可以分解，分解质因数必须分解到所有因数都是质数为止。）

“18=1×2×3×3”为什么不行？（1既不是质数也不是合数，分解质因数时，因数中不能出现1。）

（3）【格式示范】：教师严格示范短除法的规范步骤：从最小的质数开始除，直到商是质数为止。然后写出连乘式：18=2×3×3。强调书写格式和思考的有序性。

（4）分层练习：请学生在练习本上规范分解24、36、45。小组内互查，重点关注除数的选择和最后的书写格式。教师巡视，对个别学生进行手把手指导。

2.错题情境4：找因数倍数不完整

原题呈现：写出50以内9的倍数。错误答案：9、18、27、36。

辨析引导：

（1）师：这个答案漏掉了谁？（45、54？54超出50了，对，45没写）。找倍数时，我们要注意什么？（有顺序地乘1、2、3、4……直到结果接近规定的范围为止，做到不重不漏。）

（2）同理，找一个数的所有因数时，也需养成“成对找”的习惯，如找36的因数，从1开始一对一对地找（1和36，2和18，3和12，4和9，6和6），直到中间数相遇为止。

（四）课堂练习与即时反馈（约5分钟）

下发【矫正练习卡】，包含以下题目：

1.填空题：在4、9、12、15、23、30、31、45中，质数有（），合数有（），奇数有（），偶数有（），同时是2、3、5的倍数的数是（）。

2.判断题：一个数的倍数一定比它的因数大。（）说明理由。

3.分解质因数：把42和56分解质因数。

学生独立完成，同桌交换批改，当堂反馈，确保基础人人过关。

第二课时：思维进阶，培优拓展（综合应用与思维提升）

（一）回顾引入，搭建脚手架（约3分钟）

1.师：上节课，我们通过辨析错题，澄清了概念。数学不仅需要准确，更需要灵活。今天，我们要像侦探一样，利用我们手中的数学工具——因数、倍数、质数、合数，去破解一个又一个的数学谜题。

（二）任务三：综合应用，发展推理——聚焦“组数问题”与“条件推理”（约15分钟）【重要】【高频考点】

1.挑战性问题1：组数游戏

题目：从下面四张数字卡片中任选三张，组成一个三位数。数字卡片：0、5、6、7。

（1）组成的数是2的倍数的有（）。

（2）组成的数同时是3和5的倍数的有（）。

（3）组成的数既是奇数，又是合数的有（）。

实施过程：

（1）独立思考，尝试列举。提示学生可以使用“有序枚举”的策略。

（2）小组合作，交流方法。重点讨论第（2）问和第（3）问的思考路径。

（3）全班展示，思维碰撞。

针对第（2）问：同时是3和5的倍数，需要满足什么条件？（个位是0或5，且各个数位数字和是3的倍数）。以此为筛子，先确定个位，再组合十位和百位。学生可能遗漏570或750等。教师引导分析为什么570（5+7+0=12，是3的倍数）和750符合要求。

针对第（3）问：既是奇数又是合数。首先，个位必须是奇数（5或7）。然后，从这些奇数组合中，筛选出合数。比如，605（虽然是奇数，但605÷5=121，121=11×11，所以605是合数，605符合吗？注意三位数要从三张卡片中选，所以可能组合是：675？等等，需要学生严谨地一一列出所有奇数组合：个位是5的有605？但6、0、5能组成605，是个三位数，且是奇数，605是否是合数？可以让学生现场分解，605÷5=121，121=11×11，所以是合数。同样，765（个位是5），但7、6、5组合，765是奇数吗？个位是5，是奇数，且765÷3=255，255÷5=51，51=3×17，是合数。通过此过程，极大地锻炼了学生的数感、试除能力和分类讨论能力。【难点】

2.挑战性问题2：破译密码

题目：小明设置了一个四位数的开机密码，密码是ABCD。其中A既是偶数又是质数；B是所有自然数的因数；C是3的倍数，且是一位数中最大的合数；D是最小奇数的6倍。请问密码是多少？

实施过程：

（1）学生独立根据条件推理。

（2）抽生汇报推理过程：

A：既是偶数又是质数，只能是2。（唯一偶质数，再次强化认知）

B：是所有自然数的因数，那只能是1。

C：是3的倍数，且是一位数中最大的合数。3的倍数有3、6、9，其中最大的合数是9（3是质数，6是合数，9是合数，9>6）。

D：最小的奇数是1，它的6倍是6。

（3）得出密码：2196。此题将本单元多个核心概念融于一题，综合性强，且具有趣味性。

（三）任务四：拓展探究，建模思想——聚焦“因数个数”与“数的结构”（约12分钟）【挑战性目标】

1.问题呈现：一个长方形，长和宽都是整厘米数，面积是36平方厘米。这个长方形的长和宽可能是多少厘米？你能想到几种不同的围法？

2.问题转化：这个问题其实是在求什么？（引导学生发现：长×宽=36，长和宽都是整数，实际上就是在找36的所有因数对。）

3.探究活动：

（1）学生独立找出36的所有因数（1，2，3，4，6，9，12，18，36）。

（2）找出因数对：（1，36）、（2，18）、（3，12）、（4，9）、（6，6）。所以有5种不同的围法（正方形是特殊的长方形）。

4.【思维拓展】：

（1）师：如果面积变成24平方厘米，有多少种围法？请你猜想一下，因数的个数和围法的种数有什么关系？（围法的种数=因数对个数=因数的个数÷2，当因数的个数为偶数时；当因数的个数为奇数时，如36，说明有一个因数是完全平方数，它和自己配对。）

（2）引导探究：一个数的因数个数是奇数，这个数有什么特征？（它是完全平方数，如4、9、16、25、36……）让学生举例验证。

（3）【高阶展望】：同学们，你们已经发现了数论中一个非常有趣的规律。到了初中，我们还会继续研究如何快速计算一个数的因数个数（指数加1连乘）。今天，我们用“成对找因数”的方法，已经触摸到了数学的奥秘。

（四）任务五：自主编题，创新应用（约10分钟）

1.活动要求：以小组为单位，模仿刚才的“组数问题”或“破译密码”，利用本单元的概念，合作创编一道“有陷阱”或“有挑战性”的数学题。

2.活动流程：

（1）小组讨论，确定考察的知识点和题型。

（2）合作编写题目，并制定出详细的答案和评分标准。

（3）小组间交换题目，进行“试做”和“批改”。

3.教师总结：肯定学生的创造力，选取优秀的题目作为课后思考题或下节课的课前挑战题。此环节旨在将知识内化为能力，通过“输出”倒逼“输入”，实现深度学习。

七、板书设计

左侧区域（概念辨析区）：中央区域（核心模型区）：右侧区域（拓展提升区）

因数倍数依存关系：自然数的多维分类破译密码：2196

A是B的倍数，B是A的因数。按因数