勾股定理之最短路径问题-初中-历史-教学设计

《勾股定理之最短路径问题》贺宇婷西安国际港务区铁一中陆港初级中学教学目标【知识与能力】能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，归纳求最短路径时将空间问题平面化，解决实际问题的步骤.【过程与方法】在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.【情感态度价值观】激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验.教学重难点【教学重点】灵活运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.【教学难点】求最短路径时将空间问题平面化，从问题中合理抽象出数学模型.教学过程第一环节：核心检测内容：1.用文字和数学语言描述勾股定理及其逆定理的内容;2.说出正方体、长方体的展开图，并进行绘制；3.如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短.下面四种选址方案符合要求的是（）ABCD已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A、C，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，画出所得的圆柱侧面展开图；意图：通过核心检测1、2、3题复习勾股定理，正方体展开图与公理：两点之间线段最短；题目4的创设引入新课，激发学生探究热情．效果：从学生已经掌握的知识点入手，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：合作探究内容：一、以小组为单位探究圆柱与棱柱最短路径问题：圆柱：棱柱：二、课堂合作探究步骤1.小组成员在草稿本上先独立完成典型例题，之后起立交流讨论最短路径问题的处理步骤，以及判断最短路径的依据，将结果呈现在草稿本上；（5min）2.一组同学上黑板展示，其他小组进行补充.例1：在下列两个圆柱图形中请你设计出从A到B的最短路径：第一个圆柱直径为8，高为2；第二个圆柱直径为10，高为20.例2：在下列两个四棱柱中请你设计出从A到B的最短路径第一个正方体边长为3；第二个长方体长为5，宽为3，高为4.意图：通过学生的合作探究，找到解决“如何走最近”的方法，将立体图形最短距离问题转化为平面上两点之间最短距离问题并利用勾股定理求解．在小组合作讨论中体验数学模型思维，培养学生的合作解题能力，增强学生对于数学典型问题的探究能力，分析能力，发展空间观念．效果：1.圆柱最短路径问题：如下图，圆柱高h，底面半径为r，沿圆柱表面从A到B需计算两种情况进行比较找最短。通过计算可以得出结论：2.正方体和长方体展开图为长方形，其中正方体展开结果一种，长方体展开图结果三种，其中最短路径为较短两边和的平方加较长边平方的和再开方。正方体：长方体：方法提炼：几何体的表面路径最短问题，一般将立体图形展开为平面图形来计算。①展平：只需展开包含相关点的面，可能存在多种展开法。②定点：确定相关点的位置。③连线：连接相关点，构建直角三角形。④计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。第三环节：课内及时评价内容：1.如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（）A．12πcm B．11πcmC．10πcmD．9πcm2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm？如图，一长方体木板，长、宽、高分别为30cm，10cm，30cm，一只蚂蚁从A点出发到B点处吃食，需要爬行的最短路程是多少？如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是cm．意图：运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题，让学生学会提取关键信息，结合所学内容解决实际问题．效果：先鼓励学生自己解题寻找办法，再让学生自行核对，组内互讲，提升学生的合作探究能力并及时巩固所学知识．第四环节：拓展延伸内容：铁一陆港中学举办运动会，现需装饰一根高为9米，底面半径为2/π米的圆柱，如图，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上．用一根彩带（宽度不计）从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短是多少？意图：对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算．效果：学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．第五环节：交流总结内容：师生相互交流总结：1．解决立体图形中最短路径问题的方法是建立数学模型求解．2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．意图：引导学生结合本节课的所学内容谈谈自己的收获和体会，同时结合生活实例说出勾股定理及其逆定理的广泛应用．效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求空间中最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间线段最短进行求解．并认同勾股定理在人类发展中起着重要作用．第六环节：布置作业1．课本习题1．4第1~5题．2．如图，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走．注：作业2作为学有余力的学生的思考题．教学设计反思本节开始进行核心知识检测，通过回顾已学习的知识启发学生进行新问题的思考，从而自主探究，利用勾股定理及其逆定理解决相关的数学中最短路径问题，不仅仅再一次复习了课本内容，又在自主探究将实际问题抽象成几何图形过程中，学会了分析问题，提取关键信息的能力，期间更是渗透了数学建模的思想．在本设计中，注重以下两点：1．充分结合教材“蚂蚁最短路径”问题是第三小节的引入问题，学生对于此类问题比较感兴趣，同时教材的安排说明学生通过本章节学习需要具备一定的空间想象能力，发展学生的空间观念．2．分层教学根据本班学生学情，教师可在教学过程中选择：核心检测——巩固旧知；合作探究——启发思维；课内及时评价——作业1．根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的课堂