函数的零点与方程的解-初中-数学-教学设计

教学设计：函数的零点与方程的解王峥西安国际港务区铁一陆港高级中学一、内容和内容解析（一）内容函数零点的概念和函数零点存在定理．（二）内容解析本节课选自人教A版(2019年)高中数学必修第一册第4章第5节《函数的应用（二）》的第一课时，着重突出函数的核心地位，注重用函数的特征来判定方程实数解的存在，体现用函数的观点研究方程实数解的基本方法，让学生在函数零点存在定理的探究过程以及定理的应用中感悟函数与方程的思想，化归与转化的思想，数形结合的思想，帮助学生通过直观想象进一步领悟函数的本质，提升学生的逻辑思维能力．基于以上分析，将本节的重点定为函数零点与方程实数解的关系，函数零点存在定理及其应用，难点定为函数零点存在定理的理解．二、学习目标设置（一）《普通高中数学课程标准》相关要求：结合学过的函数图象，了解函数零点的概念；结合具体的连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．（二）本节课的学习目标：（1）类比二次函数零点的概念，了解一般函数零点的概念．（2）了解“方程有实数解”、“函数有零点”、“函数的图象与轴有公共点”之间的转化关系．（3）通过由特殊到一般的过程探究并理解函数零点存在定理，应用函数零点存在定理解决问题．（4）让学生体会函数与方程的思想，化归与转化的思想，数形结合的思想．（5）提升学生数学抽象，直观想象和逻辑推理的核心素养．（三）学科素养：数学抽象：函数零点的概念；逻辑推理：零点判定定理；3.数学运算：运用零点判定定理确定零点范围；4.直观想象：运用图形判定零点；5.数学建模：运用函数的观点方程的根；三、学生学情分析学生在第二章时就初步接触了零点的概念，为本节课打下基础，学生通过对二次函数，指数函数，对数函数等函数的学习，已经具备观察图象简单特征的能力.本节通过与定理有关的一些正例、反例的图象来帮助学生加深对定理的理解.四、教学策略分析本节课主要采用以学生为主体的启发探究式教学方法，按照“概念—定理—应用”的线索展开课堂教学．首先，类比二次函数零点的概念，得出一般函数零点的概念．接下来通过问题“方程有实数解吗？”得到“方程有实数解，就是函数有零点，也就是函数的图象与轴有公共点”的结论，从具体到抽象，利于学生把握函数零点的本质．其次，在函数零点存在定理的探究过程中，引导学生认真思考，仔细分析．在对具体的存在零点的二次函数的研究中，学生可以观察出“函数的图象与轴相交”，用函数取值刻画就是“零点两侧端点的函数值异号”，这是一个数形结合，将形转化为数的过程．再让学生画几个存在零点的函数的图象，观察特征，得出一般性结论．进一步引导学生思考函数满足“两侧端点的函数值异号”时是否有零点，经过小组合作探究出函数零点存在定理，然后对函数零点的个数做初步的研究，让学生了解定理中的两个条件是充分不必要的．最后，在知识的应用中，引导学生探究求不同类型的函数零点的方法，问题的设置从简单到复杂，层层递进．再根据函数零点存在定理及函数的单调性判断函数零点的个数，探究解法的多样性．五、教学过程设计（一）复习引入在第二章，我们就知道对于二次函数，我们把的实数叫做二次函数的零点.与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象OOxyx1x2OOyxx1OOxy函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根结论：函数的零点⇔方程的根⇔图象与轴交点的横坐标（二）函数的零点练习：求下列函数的零点：；(2);(3);(4)方法总结：求函数零点：法一：令，解出方程的根就是函数的零点法二：画出函数的图象，图象与轴交点的横坐标就是函数的零点问题1：像这样的函数零点该如何求？（1）令，此方程我们无法解提示：对于方程的解，若不能求时：是否有解，有几解→大概在哪个范围内→范围越小越好（2）函数图象我们无法画提示:我们会画对数函数和一次函数的图象，所以可以把这个函数拆成两个函数.，移项得,函数零点个数即函数与的图象交点个数.总结：有的函数我们暂时无法求出零点，但如果能画出图象，可以通过图象来判断是否有零点，有几个零点.图象法判断的零点个数：令，得，的零点个数就是与图象的交点个数.我们可以从图象的角度来判断零点是否存在以及零点的个数，我们就从简单的具体的函数图象来研究“如何从数的角度判断零点是否存在”问题2：观察二次函数的图象，在零点附近的图象特征如何？函数值之间有什么关系？答：在零点-1的左侧，图象在轴上方，即函数大于0，在零点-1的右侧，图象在轴下方，即函数小于0.（2）同样的，在零点3的左侧，图象在轴下方，即函数小于0，在零点3的右侧，图象在轴上方，即函数大于0.在零点附近，图象连续不断，且“穿过”轴，左右两侧的函数值总是异号.（三）函数零点存在定理零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个就是方程的根.问题3：若图象不是连续不断，是断开的，那么零点存在定理还成立吗？请举例说明.答：若图象断开，则零点存在定理不成立.如图，在区间上，图象断开，没有穿过轴，即使满足，也可能不存在零点.问题4：若在区间上的图象连续不断，,在区间上一定没有零点吗？xxy0x1答：如图，图象没有穿过轴，在零点附近图象都在轴上方，满足，存在一个零点.所以，零点存在定理只能用于判断“变号零点”.问题5：若在区间上的图象连续不断，满足,在区间上只有一个零点吗？OOyxba答：零点存在定理只能判断在上存在零点，不能判断有几个零点.结论：若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且在内单调，满足，那么，函数在区间内只有一个零点.使用零点存在定理时要注意：（1）图象连续不断；（2）图象要穿过轴，即变号零点.（3）零点存在定理只能判断零点是否存在，不能判断有几个.若再加上单调的条件，则能判断只有一个零点.（四）新知巩固函数的零点是1，则=____.求的零点.函数的零点所在的大致区间是（）方程有______个实数根.（五）课堂小结零点概念图象法判断的零点个数零点存在定理及注意事项直观直观想象（六）课后作业基础巩固：课本144页练习1，课本155页2，3；拓广探索：课本155页7，课本156页13．六、板书设计函数的零点定义转化关系二、函数零点存在定理三、应用七、教学反思1．本节课的内容本节课的内容就是一个概念（函数的零点）、一种关系（“方程有实数解”、“函数有零点”、“函数的图象与轴有公共点”之间的转化关系）、一个定理（函数零点存在定理）．它反映了方程与函数的联系，体现了数与形的辩证统一，突出了函数的核心地位，体现了函数应用的广泛性．2．本节课的成功之处回顾用二次函数的观点认识一元二次方程，由具体到抽象得到一般函数零点的概念，引入自然，使学生容易接受．以探究活动为主线，环环相扣，通过逐步探究、辩证分析、独立思考、合作交流、小组展示、师生归纳等环节，引导学生经历由