高考数学-专题-极值复习教学案

极值

一、教材分析:

本节课是人教A版数学选修1T第三章第三节《导数在研究函数中的应用》

第二课时《函数的极值与导数》的内容。导数是研究函数单调性、变化率、

最值等问题最一般、最有效的工具。本节是在研究了函数单调性与导数关

系的基础上继续研究导数在研究函数极值中的应用，同时也为后面学习

函数的最值打下坚实的基础，因此，本节内容具有承上启下的重要作用。

二、学情分析：

此前的学习中，学生对基本初等函数的认识主要以一次函数、二次函数、

指数函数、对数函数、基函数、三角函数等为载体，而这些函数多数为单

调函数（在整个定义域内或在定义域内若干子区间上），只有二次函数、

正弦函数、余弦函数存在极值，但它们同时也是函数在整个定义域内的最

值，因此学生在理解极值概念时会容易联系到最值的概念。所以，在教学

中要特别注意引导学生深刻理解极值的概念，辨析其与最值的区别。另外,

如何引导学生用导数去寻找函数的极值点是本节课另一个关键，教师应

该充分利用上节课学生用导数研究函数单调性的经验，引导学生学会运

用导数工具求函数极值，培养学生用导数研究函数的意识。（我自己注意

到了学生的数学经验，但却忽视了对学生而言更重要的生活经验，其实

根源在于对极值概念的实际背景、实际意义理解不到位，在备课中我确实

想到了一些，比如我们为什么要关注跳水运动员起跳的最高点，因为他

跳的越高，越利用他后面完成整套动作，但我自己却并未将这些传递给

学生，一厢情愿的带着学生开始研究函数极值，却没有告诉学生为什么

要引入这一概念，没有让学生明白极值对我们实际生活是有帮助的、有意

义的。）

三、教学目标：

1.知识与技能

（1）理解函数极值的概念，会通过函数图像直观感知函数的极值与导数

的关系。

（2）掌握利用导数求函数极值的一般方法，会用导数求函数的极大值与

极小值。

（3）了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

2.过程与方法

（1）通过结合实例，借助函数图象直观感知，培养学生观察、分析、归

纳、总结的能力。

（2）通过学生自主探究，培养学生分析问题、解决问题的能力，感受导

数在研究函数性质中的一般性和有效性，强化数形结合思想。

3.情感态度与价值观

（1）通过观察函数图像特征得出结论，培养学生细心观察的良好学习习

惯。

（2）通过对函数极值的研究提高学生分析问题、解决问题的能力。

（3）通过学习，培养学生思维的开放性、有效性、严密性，让学生体

会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

三、教学重点：理解极值的概念，利用导数求函数极值的方法。

教学难点：理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件。

四、教法分析：

遵循以教师为主导，以学生为主体的教学规律，充分调动学生的积极性，

让学生自主学习。通过教师的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、

自主探究、小组讨论去发现和接受新知识。

五、学法分析：学生观察、思考、讨论、探究。

六、教学基本流程

回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的藤索

提出问题，激发求知欲

组织学生自主探索，获得函数的极宿菽

通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的丽

七、教学过程：

（一）、创设情境，引出概念

1.以高台跳水为话题引出问题，充分调动学生的积极性，让学生初步感

受极值，为引出准确的极值概念做准备。

2、引导学生观察函数的图象，思考：函数在点的导数值是多少？

3.学生可能从图像直观感知点处切线平行于x轴，从而得到。教师适当

引导学生可以从点附近函数值以与导函数的变化情况进行分析。

学生得出结论：在t=a附近，函数值先增（t<a时，）后减（t>a

时，）.

这样，当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化,

于是有。（教师在学生回答过程中与时引导、补充）

（二”合作探究，生成概念

经验，

可以

较顺

利的

通过

自主

探究

完成

任务）

3、学

生以b

点为

例回

答探

究成

果，

教师

将学

生所

得结

论板

书于

表格

中：

X

+0—

单调递

fMf(b)单调递减

增

4.教师结合表格给出定义：在数学中，把点b叫做函数的极大值点，把叫

做函数的极大值（生成定义）。

3.教师引导学生类比b、d、f、h的情形研究a、c、e、g四个点（类比思

想的渗透）。

6、学

生以a

点为

例回

答探

究成

a的左侧aa的右侧

果，

教师

将学

生所

得结

论板

书于

表格

中：

X

一（X）—0+

单调递

/*)单调递增

减

7、学生结合表格类比极大值、极大值点的定义给出极小值、极小值点的

定义：

我们把点a叫做函数的极大值点，把叫做函数的极大值（生成定义）。

8、教师总结点评，给出极值、极值点的定义：

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

（这一环节的设计我对教材稍加改动，将极大值与极小值分组让学生探

究，引导学生运用类比思想根据极大值、极大值点的概念轻松得到极小

值、极小值点的定义。）

（三）、辨析研讨，深化概念

1、引导学生观察图1.370、1.3T1,辨析以下问题：（判断命题真假）

（1）图1.3T1中的d是函数），=/（力的极大值；

（2）函数的极大值就是函数的最大值；

（3）函数的极大值一定大于极小值；

（4）函数的极小值（或极大值）可能不止一个。

2.学生思考、辨析、回答，得出结论:

极值点不是点，指的是“高点”或“低点”的横坐标得值，极值是

纵坐标的值；

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；

函数的极大值和极小值之间没有确定的大小关系；

函数的极值可能不止一个。

(这一环节的设计，当时大家的意见是设置一个开放性问题：请大家再

思考函数的极值、极值点还有什么特征？我自己出于时间紧张的考虑,

选择了设置几个具有导向性的问题来加深学生对极值概念的理解。)

(四”例题解析，总结方法

1、学生自主完成例4:求函数的极值。

例4:求函数的极值。

解:・.・/⑴=#_+4,r(x)=寸_4=Q+2)(x-2)

令/'(x)=0,解得R=2,或X=-2

下面分两种情况讨论：

(1)当/(x)>0,即五〉2,或上<-2时；

(2)当/(x)<0,即-2c<2时；

当x变化时，/⑺，f(x)的变化情况如下表：

X(-00,-2)-2(-2,2)2(2,+oo)

+0——0+

4

单调递增单调递减单调递增

y~3

因此，当时，有极大值，且极大值为;

当时，有极小值，且极小值为。

函数的图象如右：

2.学生用实物投影展示并讲解自己的解答过程，

其他同学补充完善，教师引导规范步骤。

3.教师引导学生归纳出求函数极值

的一般方法步骤：

（1）求函数定义域（教师后补充）；

（2）求/'（X）;

（3）解方程/（力=0;

（4）列表讨论当变化时，、的变化情况；

（5）确定极值点，求出极值。

4.教师提问：导数值为0的点一定是极值点吗？

学生思考回答，教师引导学生举出反例，

通过辨析，得出结论：

某点导数值为0是该点为极值点的必要不充分条件，导数值为0且左右两

侧导数值异号才是极值点的充分条件。

（对于这个教学难点的设计，在上课之前我还担心问题过于开放，对学

生有一定挑战性，但最后上课时学生完成的车常顺利，这让我自己对“考

纲定重点，学生定难点”这句话又有了更深刻的理解°）

（五）、课堂练习

L求函数f（x）=33的极值

2、思考：已知函数f（x）32-2x在2,1处取得极值，

求函数f（x）的解析式与单调区间。

1、（六）、课后思考题:

若函数f（x）3-33b在（0,1）内有极小值，求实数b的范围。

已知f（x）32+（）1有极大值和极小值，求实数a的范围。

（七）、课堂小结：

1、函数极值的定义

2、函数极值求解步骤

3、一个点为函数的极值点的充要条件。

（八）、归纳小结，反思收获

教师引导学生从知识层面和思想方法层面总结本节课的收获。

1.知识上：函数极值、极值点的概念；用导数求函数极值的方法；导数值

为。与极值点的关系。

2、思想方法上：数形结合思想，类比思想，导数是研究函数的工具。

教学反思：

本节的教学内容是导数的极值，有了上节课导数的单调性作铺垫，借助函

数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值,教

学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表

示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学

生体会到列表方式的简便，同时为能够快速判断导数的正负，我要求学生

尽量把导数因式分解。本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与

充分条件，为了说明这一点多举几个例题是很有必要的。在解答过程中学

生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较低，